2024-2025学年河南省郑州市郑州枫杨外国语学校数学九年级第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

2024-2025学年河南省郑州市郑州枫杨外国语学校数学九年级第一学期开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列命题中：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2、（4分）多项式的一个因式为（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）点P 是△ABC 内一点，且P 到△ABC 的三边距离相等，则P 是△ABC 哪三条线的交点（）A ．边的垂直平分线B ．角平分线C ．高线D ．中位线4、（4分）下列关于向量的等式中，不正确的是()A ．OE ED OD +=B ．AB BC CA -=C ．AB AC CB -=D ．0AB BA +=5、（4分）甲、乙两个同学在四次数学模拟测试中，平均成绩都是112分，方差分别是s ＝
5，s ＝12，则甲、乙两个同学的数学成绩比较稳定的是（）.
A ．甲
B ．乙
C ．甲和乙一样
D ．无法确定
6、（4分）如图：在菱形ABCD 中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（）
A ．5
B ．10
C ．6
D ．87、（4分）将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l 1∥l 2，则∠α的度数是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．
70°8、（4分）正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(m ，4)，且y 的值随x 值的增大而减小，则m ＝()A ．2B ．－2C ．4D ．－4二、填空题（本大题共5个小题，每小题
4分，共20分）9、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 垂直平分BO 于点E ，则AD 的长为_____．10、（4分）从一副扑克牌中任意抽取1张：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”．其中发生的可能性最大的事件是_____．（填序号）11、（4分）一根竹子高10尺
,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是______尺.
12、（4分）当x =__________时，代数式223x x -+取得最小值．
13、（4分）如图所示，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，连接EF ，给出下列四个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③∠PFE ＝∠BAP ；④EC ，其中正确结论的序号是_______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）一家公司准备招聘一名英文翻译，对甲、乙和丙三名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：应试者听说读写甲82867875乙73808582丙81828079（1）如果这家公司按照这三名应试者的平均成绩（百分制）计算，从他们的成绩看，应该录取谁？（2）如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶4∶2∶1的权重确定，计算三名应试者的平均成绩（百分制），从他们的成绩看，应该录取谁？（3）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照1∶2∶3∶4的权重确定，计算三名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？15、（8分）先化简，再求值：22()a b a b a b b a a ab ++÷---，其中a b 、满足||0a =.16、（8分）已知，一次函数443y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 和B ．()1求A ，B 两点的坐标，并在如图的坐标系中画出函数4
43y x =+的图象；
()2若点C 在第一象限，点D 在x 轴的正半轴上，且四边形ABCD 是菱形，直接写出C ，D 两点的坐标．
17、（10分）某高速公路要对承建的工程进行招标，现在甲、乙两个工程队前来投标，根据两队的申报材料估计：若甲、乙两队合作，24天可以完成；若由甲队单独做20天后，余下的工程由乙队做，还需40天完成，求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
18、（10分）为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
频数（人
组别成绩x分
数）
第1组25≤x＜304
第2组30≤x＜356
第3组35≤x＜4014
第4组40≤x＜45a
第5组45≤x＜5010
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一组数据3，4，x，6，7的平均数为5，则这组数据的方差______．
20、（4分）如图，将ABC
∆绕点C按逆时针方向旋转得到DEC
∆，使D点落在AB
上，若66
CAB
∠=︒，则BCE
∠的大小是______°.
21、（4分）定义运算“*”：a*b=a-ab,若1
a x
=+,b x
=，a*b3
=-,则x的值为_________．
22、（4分）使分式的值为0，这时x=_____．
23、（4分）某校对n名学生的体育成绩统计如图所示，则n＝_____人．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）化简求值：
2
2
224
⎛⎫
+÷
⎪
-+-
⎝⎭
x x x
x x x，其中x=1．
25、（10分）先化简，再求值
2
221
(1)
11
x
x x
-
÷-
-+
，其中2
x=-
26、（12分）已知：如图，点B ，C ，D 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
BE 交AC 于点F ，AD 交CE 于点H ，（1）求证：△BCE ≌△ACD ；（2）求证：CF ＝CH ；（3）判断△CFH 的形状并说明理由．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据全等三角形的判定定理逐项分析，作出判断即可．
【详解】
解：①两直角边对应相等，两直角相等，所以根据SAS可以判定两直角边对应相等的两个直角三角形全等．故①正确；
②两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，因为对应边不一定相等．故②错误；
③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据HL判定它们全等．故③正确；
④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可以根据AAS判定它们全等．故④正确；
⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形，可以根据AAS或ASA判定它们全等．故⑤正确．
综上所述，正确的说法有4个．
故选：C．
本题考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
2、C
【解析】
直接提取公因式进而合并同类项得出即可.
【详解】
则一个因式为:.
故选C.
此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确合并同类项是解题关键.
3、B
【解析】
根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答．
【详解】
∵P到△ABC的三边距离相等，
∴点P在△ABC的三条角平分线上，
∴P是△ABC三条角平分线的交点，
故选：B．
本题考查的是角平分线的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
4、B
【解析】
根据平面向量的加法法则判定即可．
【详解】
A、OE ED OD
+=，正确，本选项不符合题意；
B、AB BC CA
-≠，错误，本选项符合题意；
C、
AB AC AB CA CA AB CB
-=+=+=，正确，本选项不符合题意；
D、0
AB BA
+=，正确，本选项不符合题意；
故选B．
本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5、A
【解析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
∵甲、乙两个同学的平均成绩都是112分，方差分别是S
甲2=5，S乙2=12，
∴S
甲2＜S
乙
2，
∴成绩比较稳定的是甲；
故选A．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6、A
【解析】
试题分析：根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出．
解：设AC与BD相交于点O，
由菱形的性质知：AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4
在Rt△OAB中，AB===1
所以菱形的边长为1．
故选A．
考点：菱形的性质．
7、C
【解析】
先由两直线平行内错角相等，得到∠A=30°，再由直角三角形两锐角互余即可得到∠α的度数．
【详解】
解：如图所示，
∵l1∥l2，
∴∠A=∠ABC=30°，
又∵∠CBD=90°，∴∠α=90°﹣30°=60°，故选C ．此题考查了平行线的性质和直角三角形的性质.注意：两直线平行，内错角相等．8、B 【解析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．【详解】把x=m ，y=4代入y=mx 中，可得：m=±2，因为y 的值随x 值的增大而减小，所以m=-2，故选B ．本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx （k≠0）的图象为直线，当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 值随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 值随x 的增大而减小．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA ＝AB ＝OB ＝6，得出BD ＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB ＝OD ，OA ＝OC ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，
∵AE 垂直平分OB ，∴AB ＝AO ，
∴OA ＝AB ＝OB ＝6，∴BD ＝2OB ＝12，
学校___
__
_____
___
__
_班级__
_____
__
___姓名_
____
_____
__考场_
_____
___
___准考证号…
…
…
……
…
…
…
……
密…
…
…
…封…
………
线
…
…
…
…内
…
…
…
…不
…
…
…
…
要
……
……
答
…
…
…
…
题
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
∴2263.AD BD AB =-=故答案为：6 3.此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．10、②【解析】根据可能性等于所求情况与总数情况之比即可解题.【详解】解：一副扑克一共有54张扑克牌,A 一共有4张,∴这张牌是“A”的概率是425427=,这张牌是“红心”的概率是1354,这张牌是“大王”的概率是154,∴其中发生的可能性最大的事件是②.本题考查了简单的概率计算,属于简单题,熟悉概率公式是解题关键.11、9120【解析】设折断处离地面的高度是x 尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解.【详解】设折断处离地面的高度是x 尺，根据勾股定理得x 2+32=(10-x)2,
解得x=9120
故折断处离地面的高度是9120尺.
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.
12、1
【解析】
运用配方法变形x 2-2x+3=（x-1）2+2；得出（x-1）2+2最小时，即（x-1）2=0，然后得出答
案．【详解】∵x 2-2x+3=x 2-2x+1+2=（x-1）2+2，∴当x-1=0时，（x-1
）2+2最小，∴x=1时，代数式x 2-2x+3有最小值．故答案为:1．此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，得出（
x-1）2+2最小时，即（x-1）2=0，这是解决问题的关键．13、①③④．【解析】连接PC ，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP=∠CBP=45°，然后利用“边角边”证明△ABP 和△CBP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC ，对应角相等可得∠BAP=∠BCP ，再根据矩形的对角线相等可得EF=PC ，对边相等可得PF=EC ，再判断出△PDF 倍解答即可．【详解】解：如图，连接PC ，在正方形ABCD 中，∠ABP=∠CBP=45°，AB=CB ，∵在△ABP 和△CBP 中，AB CB
ABP CBP BP BP
⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，
∴△ABP ≌△CBP （SAS ），
∴AP=PC ，∠BAP=∠BCP ，
又∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，
∴四边形PECF 是矩形，
∴PC=EF ，∠BCP=∠PFE ，∴AP=EF ，∠PFE=∠BAP ，故①③正确；∵PF ⊥CD ，∠BDC=45°，∴△PDF 是等腰直角三角形，∴PF ，又∵矩形的对边PF=EC ，∴PD=EC ，故④正确；只有点P 为BD 的中点或PD=AD 时，△APD 是等腰三角形，故②错误；综上所述，正确的结论有①③④．故答案为：①③④．本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，但难度不大，连接PC 构造出全等三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1)应该录取丙;(2)应该录取甲；（3）应该录取乙【解析】(1)分别算出甲乙丙的平均数，比较即可；（2）由听、说、读、写按照的比3∶4∶2∶1确定,根据加权平均数的计算方法分别计算不同权的平均数,比较即可；(3)由听、说、读、写按照的比1∶2∶3∶4确定,根据加权平均数的计算方法分别计算不同权的平均数,比较即可.【详解】（1）甲的平均成绩：82+86+78+75=80.25
4乙的平均成绩：73+80+85+82=80
4丙的平均成绩：81+82+80+79=80.5
4∵80.5>80.25>80
∴应该录取丙
（2）甲的平均成绩：823+864+782+751=82.13+4+2+1⨯⨯⨯⨯乙的平均成绩：733+804+852+821=79.13+4+2+1⨯⨯⨯⨯丙的平均成绩：813+824+802+791=813+4+2+1⨯⨯⨯⨯∵82.1>81>79.1∴应该录取甲（3）甲的平均成绩：821+862+783+754=78.81+2+3+4⨯⨯⨯⨯乙的平均成绩：731+802+853+824=81.61+2+3+4⨯⨯⨯⨯丙的平均成绩：811+822+803+794=80.11+2+3+4⨯⨯⨯⨯∵81.6>80.1>78.8∴应该录取乙.本题考查的是加权平均数的实际应用，熟练掌握加权平均数是解题的关键.15、a b ，【解析】先利用分式的性质和计算法则化简，再通过0a +=求出a 、b 的值，最后代入求值即可.解：原式()
2
a a
b a b a a b a b b -+⎛⎫=-⨯ ⎪--⎝⎭()
2
a a
b b a b b -=⨯-a
b
=
∵0
a =
∴a =1
b =-
∴原式31a b ===-16、(1)A ()3,0-，B ()0,4，画图见解析；(2)()5,4C ，()2,0D ．【解析】（1）先求出A,B 两点的坐标，再画函数图象；（2）根据图形，结合勾股定理和菱形性质推出边长，得到C.D 的坐标.【详解】解：()1将0x =代入443y x =+，可得4y =；将0y =，代入443y x =+，可得3x =-；∴点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()0,4，如图所示，直线AB 即为所求；()2由点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()0,4，可得
3AO =，4BO =，
Rt AOB ∴中，5AB =，
四边形ABCD 是菱形，
5BC AB AD ∴===，
2OD ∴=，
()5,4C ∴，()2,0D ．
本题考核知识点：一次函数与菱形.解题关键点：熟记菱形的判定与性质.
17、甲队独做需30天，乙队独做需120天
【解析】
设甲队独做需a天，乙队独做需b天，根据题意可得两个等量关系为：甲工效×工作时间+乙工效×工作时间=1；甲工效×20+乙工效×40=1．列出方程组，再解即可．
【详解】
设甲队独做需a天，乙队独做需b天．
建立方程组
24241 20401
a b
a b
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，
解得
30
120
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
经检验a＝30，b＝120是原方程的解．
答：甲队独做需30天，乙队独做需120天．
本题考查了分式方程（组）的应用．得到工作量1的等量关系是解题的关键．18、（1）16；（2）详见解析；（3）52%
【解析】
（1）直接总数减去其他组的人数，即可得到a
（2）直接补充图形即可
（3）先算出不低于40分的人数，然后除以总人数即可
【详解】
（1）a=50-4-6-14-10=16
（2）如图所示.
（3）本次测试的优秀率是161050+=52%答：本次测试的优秀率是52%本题主要考查频数分布直方图，比较简单，基础知识扎实是解题关键一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】先由平均数的公式求出x 的值，再根据方差的公式计算即可．【详解】解：数据3，4，x ，6，7的平均数为5，()34x 6755∴++++=⨯，解得：x 5=，∴这组数据为3，4，5，6，7，∴这组数据的方差为：(2222221S [(35)(45)(55)(65)75)25⎤=-+-+-+-+-=⎦．故答案为：1．本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，1x ，2x ，n x ⋯的平均数为x ，则方差(222212n 1
S [(x x)(x x)x x)n ⎤=-+-+⋯+-⎦，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20、48°
【解析】
根据旋转得出AC=DC ，求出∠CDA ，根据三角形内角和定理求出∠ACD ，即可求出答案．
【详解】
∵将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转，得到△DCE ，点A 的对应点D 落在AB 边上，∴AC=DC ，∵∠CAB=66°，∴∠CDA=66°，∴∠ACD=180°-∠A-∠CDA=48°，∴∠BCE=∠ACD=48°，故答案为：48°．本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用，能求出∠ACD 的度数是解此题的关键．21、±2【解析】先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可．【详解】解：由题意可得：x+1-（x+1）•x=-3，-x 2=-4，解得：x=±2，故答案为：±2本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能根据已知得出一元二次方程，题目比较新颖，难度适中．22、1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.
答案为1.
考点：分式方程的解法
23、1
【解析】
根据统计图中的数据，可以求得n 的值，本题得以解决．
【详解】
解：由统计图可得，n ＝20+30+10＝1（人），故答案为：1．本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，提取统计图中的有效信息解答．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、3x+2，2.【解析】先将括号内异分母分式通分计算，再将除法变乘法，约分化简，再代入数据计算.【详解】解：原式=2(2)(2)(2)(2)(2)(2)++-+-⋅+-x x x x x x x x x =(32)(2)(2)(2)(2)++-⋅+-x x x x x x x =3x+2，当x=1时，原式=2．本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分与约分是解题的关键.25、2,1x -【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式2(1)11(1)(1)11x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪+-++⎝⎭2
11
x
x
x =÷++211x x x
+
=⋅+2
x
=当2x =-时，
原式2
2
1
2x ===--
【解析】
（1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．
（3）由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．
【详解】
解：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD．
又BC=AC、CE=CD，
∴△BCE≌△ACD．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH．
又BC=AC，
∴△BCF≌△ACH．
∴CF=CH．
（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．
本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全
等是正确解答本题的关键．。