非球面透镜组激光光束整形系统_范增明

第41卷第2期红外与激光工程2012年2月Vol.41No.2Infrared and Laser Engineering Feb.2012
非球面透镜组激光光束整形系统
范增明，李卓，钱丽勋
(北京理工大学光电学院，北京100081)
摘要：在激光显示等领域常常需要光强均匀分布的激光光束，为此，深入分析了一种非球面透镜组激光光束整形系统的设计方法，该方法可以将入射光束为准直的单模高斯激光光束整形为光强均匀分布的准直平顶激光光束；给出了该非球面透镜组设计的基本过程，主要包括输出光束函数的选择、光线映射函数的确定和非球面参数的确定；最后选择光线映射函数具有解析解形式的匀化洛伦兹函数作为输出光束分布函数，分别确定了伽利略型和开普勒型的非球面透镜组激光光束整形系统的参数。

关键词：激光光束整形；激光光束匀化；非球面透镜组；匀化洛伦兹函数
中图分类号：TN249文献标志码：A文章编号：1007-2276(2012)02-0353-05
Aspherical lens laser beam shaping system
Fan Zengming,Li Zhuo,Qian Lixun
(School of Optoelectronics,Beijing Institute of Technology,Beijing100081,China)
Abstract:Laser beam with uniform light intensity distribution is usually used in the areas such as laser displays.A method of using two aspherical lens to convert a single mode collimated laser beam with Gaussian light intensity distribution to a collimated flat-top beam with uniform light intensity distribution was introduced.Also the basic process of designing an aspherical lens system,mainly including choosing the function of the output beam,determing the ray mapping function and the parameters of the aspherical lens was proposed.According to this design method,the parameters of Galilean configuration and Keplerian configuration aspherical lens laser beam shaping system were determined respectively by selecting the Flattened Lorentzian function as the output beam distribution function which had an analytical ray mapping function.
Key words:laser beam shaping;laser beam homogenization;aspherical lens system;
flattened Lorentzian function
收稿日期：2011-06-22；修订日期：2011-07-19
基金项目：国防预研项目
作者简介：范增明(1987-),男，硕士研究生，主要从事激光光束整形方面的研究。

Email:fankunsimon@
导师简介：李卓(1958-)，男，教授，博士生导师，主要从事红外动态目标仿真方面的研究。

Email:lizhuo@
红外与激光工程第41卷
0引言
激光由于其高单色性以及高亮度等优点，得到
了广泛的应用，但是在显示、全息、平板印刷、光存储
等应用领域常常需要均匀性很好的光束[1-2]。

由于激
光光束的光强一般并不是均匀分布的(服从高斯分
布)，所以需要对高斯光束进行整形，以便得到均匀
性好的光束，此即激光光束整形的目的[3-4]。

早期人们常常利用的方法是先将激光光束扩束，然后将此光束通过光阑，光阑只允许光束中光强分布较为均匀的部分通过，从而可以得到均匀分布的光强[5]，这种方法虽然简单，但是能量损失很严重；也有利用不同透过率的光学元件对于光束光强大的地方有较低的透过率，对光强小的地方有较高的透过率，这样激光光束通过不同透过率的光学元件以后也可以得到均匀分布的光束[6]，但是同样存在能量损失严重的缺陷。

1965年，Frieden提出了基于位相移动的非球面透镜组整形方法[7]，该方法能量损失很小，并且对于单模激光光束可以得到均匀分布良好的光束输出。

文中主要介绍利用非球面透镜组实现光束整形的方法。

1基本原理
非球面透镜组整形系统通常由两个非球面透镜组成，根据第一个非球面的形状可以分为两种类型：当第一个非球面是凹面时为伽利略型，当第一个非球面为凸面时为开普勒型。

如图1、图2所示。

两种类型的设计方法是一致的，只不过是加工时凸面型的较为容易。

下面以图1所示伽利略型光束整形装置为例说明其实现光强均匀分布的基本原理。

系统由一个关于光轴旋转对称的平-凹非球面镜L1和一个关于光轴旋转对称的平-凸非球面镜L2组成，经过准直的激光光束经过L1调制以后在非球面镜L2上得到强度均匀分布的光束，L2的主要作用是调整光束的相位分布以保证光束可以平行出射。

系统设计的依据主要有3点：入射光束和出射光束能量守恒、斯涅尔折射定律和两个非球面透镜之间任意光束的光程相等，以下将具体介绍非球面透镜组整形系统的设计方法。

2出射光束分布的选择
激光光束匀化要求出射光的光强均匀分布，因此需选择合适的输出光束的形状。

鉴于出射光束的要求，其函数应近似为阶梯形的分布，要求边界较为陡峭，常常选用的均匀分布的光束函数主要有费米-狄拉克函数、超高斯函数、超洛伦兹函数[4]、匀化洛伦兹函数[8]等，此处主要介绍超高斯函数和匀化洛伦兹函数。

为分析方便，将入射高斯光束和出射的平顶光束都归一化，即：
2π
∞
乙I in(r1/ω0)r1d r1=2π∞0乙I out(r2/R0)r2d r2=1(1)
式中：I
in
(r
1
/ω
)为入射高斯光束的光强分布；ω
为基模
高斯光束的束腰半径；I
out
(r
2
/R
)为出射平顶光束的
光强分布，R
为出射平顶光束的曲线半高宽，于是对于入射高斯光束，可以表示为：
I
in
(r
1
/ω
)=2
πω
exp-2
r
1
ω
乙乙2
乙乙(2)
对于出射光束，此处介绍两种函数：超高斯光束和匀化洛伦兹光束，对于超高斯光束，其归一化的函数表达式为：
I
out
(r
2
/R
SG
)=
41/p
2πR
SG
Γ
2
p
乙乙exp-2r2R SG
乙乙p
乙乙(3)
图1伽利略型激光整形系统
Fig.1Galilean configuration laser beam shaping system
图2开普勒型激光束整形系统
Fig.2Keplerian configuration laser beam shaping system
354
第2期
式中：右边第一项代表归一化常数，R
SG
为超高斯函数的半高宽，p值的大小决定了超高斯函数的形状，如图3所示。

利用公式(3)绘制出了p取不同值时的函数图形，可以看出合理选择p值(如p=12)即可得到所需的平顶光束。

图3不同p值时超高斯光束分布函数图
Fig.3Super-Gaussian beam function under different values of p 若选择匀化洛伦兹函数作为输出光束，则其归一化表达式为：
I FL (r
2
/R
FL
)=1
πR
FL
1
1+(r
2
/R
FL
)q
1+2
(4)
式中：右边第一项同样也代表归一化常数，R
FL
为匀化洛伦兹函数的半高宽，与超高斯函数类似，匀化洛伦兹函数的形状由q决定。

图4为不同q值时的匀化洛伦兹函数的图形，易知合理选择q值即可得到所需的平顶光束。

由以上分析可知：选择合理p值时的超高斯光束或合理q值时的匀化洛伦兹光束都可以得到所需的平顶光束分布。

在确定了输出光束的分布后，还需要确定两个非球面之间的光线映射函数，以及两个非球面各自的形状和间距，以完成系统的设计。

图4不同q值时的匀化洛伦兹光束分布函数图
Fig.4Flattened-Lorentzian beam function under different values of q 3光线映射函数的确定
要想求得两个非球面的形状，首先需要确定图2中所示的r1和r2之间的函数关系，即光线映射函数[9]。

确定光线映射函数的依据是出射光束包含在r1范围内的能量与出射光束包含在r2内的能量相等，即入射光束与出射光束之间能量守恒。

选择合理q值的匀化洛伦兹函数作为输出光束的分布函数，则由能量守恒关系可得：
r1
乙2π2
πω2
exp-2
r
1
′
乙乙2
r1′d r1′=
r2
乙2π1
πR2
FL
1
1+(r
2
′/R
FL
)q
1+2q
r
2
′d r
2
′(5)积分可得：
1-exp-2
r
1
ω
乙乙2
=1+(r2/R FL)-q
-(2/q)(6)
由上式可得到r
2
关于r
1
的光线映射函数：
r
1
(r
2
)=±ω
-1
2
ln1-1+r
2
/R
FL
)-q
-(2/q)
乙乙
姨(7)这里需要注意的是式中右端项的符号决定了非球面的类型，取正值时为伽利略型非球面整形结构，取负值时为开普勒型非球面整形结构。

反解公式(7)可以
得到r
1
关于r
2
的光线映射函数：
r
2
(r
1
)=±
R
FL
1-exp-2
r
1
乙乙2
姨
1-1-exp-2
r
1
ω
乙乙2
乙乙q/2
q姨(8)
公式(8)中的正负号的作用与公式(7)中的相同，用于确定非球面的形式。

公式(7)和(8)即为所需的光线映射函数，可用于确定非球面的参数。

4非球面参数的确定
利用几何光学的方法，可以确定描述两个非球面形状的方程，主要依据是光线传输时的几何关系、斯涅尔折射定律和等光程条件，早在1969年Kreuzer 就提出了一种十分通用的方法[10]，下面具体分析非球面的确定方法。

图5给出了非球面形状的计算原理图。

图中，r1和r2分别表示入射光线与第一个非球面的交点与光轴的垂直距离和出射光线与第二个非球面的交点与光轴的垂直距离，R表示两个透镜的最大尺寸，d表示两个非球面之间的间距，t 表示透镜的两个平面之
范增明等：非球面透镜组激光光束整形系统355
红外与激光工程第41卷
图5非球面形状计算原理图
Fig.5Principle of calculating aspherical planes
间的间距，设计前可以根据实际情况合理确定d和t，入射角θi和折射角θr，θ角表示两个非球面间的光线与光轴的夹角，w表示该光线位于两个非球面之间部分的长度。

为简化分析，这里设两个透镜的折射率均为n，两个非球面之间所夹介质为空气，折射率为1，图中两个非球面的形状分别由z1(r)和z2(r)描述。

由图中几何关系可以得到：
r2-r1=w sinθ(9)对于任意光线的光程可以表示为：
L(r)=w+n(t-w cosθ)(10)沿光轴光线的光程可以表示为：
L(0)=d+n(t-d)(11)于是由等光程条件可以得到：
d(n-1)+w(1-n cosθ)=0(12)由公式(12)可解得：
w=-(n-1)d
-n cosθ
(13)将公式(13)代入公式(9)可得：
1-n cosθ=-(n-1)d
21
=q(14)由斯涅尔折射定律有：
n sinθi=sinθr(15)代入图中几何关系θr=θi+θ可得：
tanθi=-sinθ(16)求两个曲面的形状可以从曲面的斜率入手，由图中可知：入射光线与第一个非球面相交处的斜率等于光线与第二个非球面相交处的斜率，因此，对于两个非球面分别有：
tanθi=d
d r
1
z(r
1
)(17)
tanθi=d
2
z(r
2
)(18)由公式(14)对q平方可得：
q2=(1-n cosθ)
2
sinθ
(19)
于是有：
q2-1+n2=(cosθ-n)
2
sin2θ
(20)
对公式(16)两边取平方可得：
tan2θ=sin2θ
(cosθ-n)2
(21)所以由公式(20)和公式(21)易知：
tan2θ=1
q2-1+n2
(22)
将q=-(n-1)d
r
2
-r
1
代入上式可得：
tan2θ=1
(n2-1)+
(n-1)d
r
2
-r
1
2(23)将公式(23)两边开根号然后分别代入公式(17)、(18)，再两边取积分可以得到两个非球面的方程分别为：
z
1
(r)=
r
乙(n2-1)+(n-1)d
r
2
-r
1
2
乙乙-1/2d r1(24)
z
2
(r)=
r
乙(n2-1)+(n-1)d
r
2
-r
1
2
乙乙-1/2d r2(25)
至此得到了描述两个非球面的方程，它们都不存在解析解，计算时需要求得各自的数值解，公式(24)表示第一个非球面的方程，计算时需要利用r1关于r2的光线映射函数公式(8)代替此式中的r2，同理计算第二个非球面的公式(25)时需要利用r2关于r1的光线映射函数公式(7)代替此式中的r1即可。

采用数值积分的方法便可以求得描述两个非球面方程的数值解。

5设计实例
选择匀化洛伦兹函数作为输出光束的光强分布函数，根据不同q值时的函数形状，取其光束参数q=15，光束半高宽R FL=3.153mm，其他参数取法
356
第2期
如下：两个非球面中心的间距d=150mm，两个非球面镜的半径R=5mm，入射光束束腰半径ω0=2.366mm，两个透镜的折射率n都是1.46071，根据这些参数，利用公式(8)、(24)可以求得第一个非球面的数值解，同理利用公式(7)、(25)可以求得第二个非球面的数值解。

图6给出了伽利略型非球面方程的数值解曲线，图7给出了开普勒型非球面方程的数值解曲线，两种类型的非球面都是关于光轴旋转对称的。

图6伽利略型非球面透镜数值解曲线
Fig.6Numerical curves of Galilean configuration
aspherical lens system
图7开普勒型非球面透镜数值解曲线
Fig.7Numerical curves of Keplerian configuration
aspherical lens system
实际设计时，采用伽利略型或开普勒型结构均可，二者主要区别就在于伽利略型的第一个非球面为凹面结构，而开普勒型的第一个非球面为凸面结构，另外，由以上计算结果可知开普勒型的曲面要比伽利略型的弯曲程度大。

6结论
利用非球面透镜组光束整形的基本原理，通过合理选择输出光束参数，设计了两种不同结构的非球面透镜整形装置：伽利略型和开普勒型。

给出了两种类型非球面的数值解。

通过具体设计实例说明了用于准直单模高斯光束整形的非球面透镜的基本设计方法。

计算中忽略了衍射效应的影响，若想得到在距离出射面一定距离范围内匀化效果更好的光束，还需综合考虑衍射效应及其他因素的影响[11]。

通过优化输出光束函数的选择以及数值计算的精度，得到更为精确的数值解。

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