江苏省南通市2012届高三数学学科基地密卷(1)

2012届南通市数学学科基地密卷(一)
数 学I
一、填空
题：本大题
共14小题,每小题5分,
共计70分．请把答
案填写在答．卷纸的．．．相应位置上．．．．．．
1．
2z mi =+,m R
∈,若11z i
-+对应点在第二象限，则m 的取值范围为
▲ ．
2.已知全集U R =，集合{}2
50
A x Z x x =∈-+≤，{}40
B x x =-<则()U
C
A B 中最
大的元素是 ▲ ． 3．已知(cos ,sin )(0),(1,3)m x x n ωωω=>=,若函数()f x m n =•的最小正周期是2，
则(1)f = ▲ ．
4.执行以下语句后,打印纸上打印出的结果应是: ▲
．
5．已知函数()f x =12tan x x
+-，
(0,)
2
x π
∈，则
()
f x 的单调减区间是
▲ ．
6．在数轴上区间[]3,6-内，任取三个点,,A B C ，则它们的坐标满足不等式:
()()0A B B C x x x x --<的概率为
▲ ．
7．P 为抛物线2
4y
x =上任意一点，P
在y 轴上的射影为Q ，点M （4，
5），则PQ 与PM 长度之和的最小值为: ▲ ．
8、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列正确命题序号是 ▲ ．
(1）若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ， （2）若,m m n
α⊥⊥则//n α
(3)若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥；(4)若β⊂m ，βα//,则α//m
9. 定义在R 上()f x 满足:(2)
()1f x f x +=,当(0,2)x ∈时，()f x =1
()2
x ,
则(2011)f = ▲ ．
10。

过平面区域20
20
20x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩
内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，
记APB α∠=，则当α最小时cos α= ▲ ．
11。

如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,他们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个
数且两端的数均为1(2)n n
≥,每个数是它下一行左右相邻两数的和,
如:111111111,,1
2
22
3
63
412
=+=+=+…，则第(3)n n ≥行第3个数字是 ▲ ．
12。

已知正方形ABCD 的坐标分别是(1,0)-，(0,1)，(1,0),(0,1)-，动点M 满
足：12
MB
MD k
k =-
则MA MC += ▲ ．
13. “18
a ≥”是“对∀正实数x ，2a x c x
+≥”的充要条件，则实数c =
▲ ．
14.函数
()f x 的定义域为D
,若满足①()f x 在D 内是单调函数,②存在
[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],b a --，那么()y f x =
叫做对称函数，
现有()2f x x k =--是对称函数， 那么k 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知二次函数f （x )=x 2+mx+n 对任意x ∈R，都有f (－x ) = f （2＋x )成立,设向量
错误!
= ( sinx , 2 ) ，错误!= (2sinx ， 错误!），错误!= （ cos 2x ， 1 ）,错误!=（1，2)，
（Ⅰ）求函数f （x )的单调区间;
（Ⅱ）当x ∈［0,π］时，求不等式f (→a ·错误!）＞f （错误!·错误!）
的解集.
16．（本题满分14分）
在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，
24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．
（Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥;
(Ⅲ）求多面体ADBEG 的体积.
17．(本题满分14分）
已知双曲线2
212
x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 方程；
（Ⅱ）若1
2
(2,0),(2,0),(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R 、Q 两
点，直线1
A R 与2
A Q 交于点S ．试问:当直线l 在变化时,点S 是否恒在一条
定直线上？若是，请写出这条定直线方程,并证明你的结论；若不是，请说明理由．
18．（本题满分16分）
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ,在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。

点C 为OB 上一点（不包含端
A
D
F
E
B G C
A 1
2
点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接,且细绳CA 1，CA 2,CA 3的长度相等。

设细绳的总长为y
（1）设∠CA 1O = θ （rad )，将y 表示成θ的函数关系式；
(2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y 最小,并指明此时 BC 应为多长。

19．（本题满分16分） 已知，数列{}n
a 有p
a a a
==21
,(常数
>p ），对任意的正整数
n n a a a S n +++= 21,，并有n S 满足2
)
(1a a n S n n -=。

（1）求a 的值；
（2）试确定数列{}n
a 是不是等差数列,若是,求出其通项公式。

若不是,
说明理由； （3)令2
1
12+++++=
n n n n n
S S S S p
,是否存在正整数M ，使不等式1
2
2n p p
p n M ++
+-≤恒
成立，若存在，求出M 的最小值,若不存在，说明理由。

20．（本小题满分16分） 已知函数()x x x f ln =
（1）求()x f 的单调区间；
（2）若关于x 的不等式mx x <ln 对一切[]()02,>∈a a a x 都成立，求m 范围；
(3)某同学发现：总存在正实数(),,b a b a <使a b
b a =,试问:他的判断是否正
确；
若正确，请写出a 的范围;不正确说明理由．
数学Ⅱ(附加题）
23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(矩阵与变换）求矩阵
M=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1221的特征值及其对应的特征向量。

2。

（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中,椭圆C 的参数方
程为⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos 3y x ，其中θ为参数。

以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，直线l 的极坐标方程为63)3
cos(2=+πθρ。

求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值。

二．［必做题］ 每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3。

如图，已知三棱柱
1
11C B A ABC -的侧棱与底面垂直，
AB AC AB AA ，11===⊥AC，M
是1
CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在直
线1
1
B A 上，且满足1
1
1
B A P A λ=。

(Ⅰ)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？
（Ⅱ）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为
45,试确定点P 的位
1A
1B
P
1C
置。

4. 已知数列{}n
a 满足：)2(3,311
≥==-n a a
n a n 。

（Ⅰ）求证：,,*
N m N
n n ∈∃∈∀使34+=n n m a ;
（Ⅱ）求2010
a 的末位数字.
数学参考答案
1.(1,1)-
2. 3
3.－1 4。

28 5.(,)42
ππ
6。

()()0A
B B
C x x x x --<的实质是点B 在点,A C 之间，
故考虑它们的排列顺序可得答案为13
7.
1解析：
焦点(1,0)F PM PQ +=1PM PF +-，而PM PF +的最小值是MF =8.
(3） （4） 9.2
10当P 离圆O 最远时α最小，此时点P 坐标为：()4,2--记APO β∠=，
则2
cos 12sin αβ=-，计算得cos α=910
11.
2
(1)(2)
n n n ⨯-⨯-，
12.设点M 的坐标为(,)x y ,∵12MB
MD
k
k =-， 整理，（0x ≠），发现动点M 的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为,A C 两点，所以
MA MC +=
13.
若0,c <则0,a ≥不符合题意，若0,c >则2,8c a ≥于是21
188
c c =⇒=,亦可转化
为二次函数2
2a x cx ≥-+恒成立展开讨论。

14。

由于()f x k
在(],2-∞
上是减函数，所以k a
k b
=-⇒
=-关于x 的方
程
k x =-在(],2-∞上有两个不同实根。

通过换元结合图象可得
92,4k ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
15．解；(1）设f （x )图象上的两点为A （－x ，y 1）、B （2＋x ， y 2）,因为错误!=1
f (－x ) = f (2＋x )，所以y 1= y 2
由x 的任意性得f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴x ≥1时，f (x ）是增函数 ；x ≤1时，f (x )是减函数。

（2)∵→，a ·错误!=（sinx ，2）·（2sinx , 错误!）=2sin 2x ＋1≥1,
错误!
·错误!=（cos 2x ,1）·（1,2)=cos 2x ＋2≥1，
∵f （x ）在是［1，+∞）上为增函数，∴f （错误!·错误!)＞f (错误!·错误!）
⇔f （2sin 2
x ＋1）＞ f (cos 2x ＋2)
⇔ 2sin 2x ＋1＞cos 2x ＋2⇔1－cos 2x ＋1＞cos 2x ＋2
⇔
cos 2x ＜0⇔2k π＋2
π＜2x ＜2k π＋23π,k ∈z
⇔k π＋
4
π
＜x ＜k π＋43π
, k ∈z ∵0≤x ≤π ∴4
π＜x ＜4
3π
综上所述，不等式f （错误!·错误!）＞f (错误!·错误!)的解集是：{ x |4
π＜x ＜4
3π ｝ .
16．解：（Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC 。

又∵2BC AD =,G 是BC 的中点, ∴//AD BG ，
∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG 。

∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG 。

(Ⅱ）证明:∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥,
又,AE EB EB
EF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE .
过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE , ∴DH EG ⊥.
∵//,//AD EF DH AE ,∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==, ∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，
∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， 又,BH
DH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD 。

∵BD ⊂平面BHD ， ∴BD EG ⊥。

（Ⅲ) ∵EF ⊥平面AEB ,//AD EF ，∴⊥EF 平面AEB ，
由（2）知四边形BGHE 为正方形，∴BC BE ⊥。

∴BEC D AEB D AD BEG
V V V
--+=AE S AD S BCE ABE ⋅+⋅=∆∆31313
8
3434=+=,
17．解法一：
（Ⅰ）由题意知：1
(F F ,又∵1
2
4PF PF +=，∴动点(,)P x y 必在以1
2
,F F 为焦点，
长轴长为4的椭圆，∴a 2=
，又∵c =2
2
2
b a
c 1=-=． ∴椭圆C 的方程为2
2
2
x y 14
+=．
（Ⅱ）由题意，可设直线l 为：1x my =+．
①
取m 0,=
得R ,Q 1,⎛⎛ ⎝
⎭⎝⎭
，直线1
A R
的方程是y =
+ 直线2
A Q
的方程是y =
交点为(1
S .
若R 1,,Q ⎛⎛ ⎝
⎭⎝⎭
，由对称性可知交点为(2
S 4,.
若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4
=．
②以下证明对于任意的m,直线1
A R 与直线2
A Q 的交点S 均在直线:x 4=上．
事实上,由
22
x y 14
x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()
2
2my 14y 4,
++=即()2
2m
4y 2my 30
++-=，
记()()1
1
2
2
R x ,y ,Q x ,y ，则1
2
12
222m 3
y y
,y y m 4m 4--+=
=++．
设1
A R 与交于点0
S (4,y ),由
011y y ,42x 2=++得
1
016y y .x 2=+ 设2
A Q 与交于点00S (4,y ),''由0
2
2y y ,42x 2'=--得2
2
2y y .x 2'=-
12
00126y 2y y y x 2x 2
'-=
-+- ()()
()()
1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=
+-()
()()
1212124my y 6y y x 2x 2-+=
+-
()()
22
1212m 12m
m 4m 40x 2x 2---++=
=+-，
∴0
y y '=,即0
S 与0
S '重合,
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4
=上．
解法二：
（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）取m 0,=
得R ,Q 1,⎛⎛ ⎝
⎭⎝⎭
，直线1
A R
的方程是y =
+直线2
A Q 的
方程是y =
-
交点为(1
S .
取m 1,=得()83R ,,Q 0,155⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，直线1
A R 的方程是11y x ,63
=+直线2
A Q 的方程是1
y x 1,
2=-交点为()2
S 4,1.∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为
:x 4
=．
以下证明对于任意的m,直线1
A R 与直线2
A Q 的交点S 均在直线:x 4=上．
事实上,由
22
x y 14
x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
,得()
2
2my 14y 4,
++=即()2
2m
4y 2my 30++-=,
记()()1
1
2
2
R x ,y ,Q x ,y ，则1
2
12
222m 3
y y
,y y m 4m 4
--+=
=++．
1A R
的方程是()11
y y x 2,x 2=++2
A Q 的方程是()22
y y x 2,x 2=--
A 1
2
消去y,得()()1
2
1
2
y y x 2x 2x 2x 2+=-+-…………………………………… ①
以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明1
2
1
2
6y
2y ,x 2x 2
=+- 即证()()1
2
2
1
3y my 1y my 3,-=+即证()12
1
2
2my y 3y y .=+……………… ②
∵()121222
6m 6m
2my y 3y y 0,m 4m 4
---+=-=++∴②式恒成立．
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4
=上．
解法三:（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由
22
x y 14
x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
,得()
2
2my 14y 4,++=
即()2
2m
4y 2my 30
++-=．
记()()1
1
2
2
R x ,y ,Q x ,y ,则1
2
122
2
2m 3
y y
,y y m 4m 4
--+=
=++．
1A R
的方程是()11
y y x 2,x 2=++2
A Q 的方程是()22
y y x 2,x 2=--
由
()()1122y y x 2,x 2y y x 2,
x 2⎧
=+⎪+⎪
⎨
⎪=-⎪-⎩
得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+-
即
()()()()
21
122112y x 2y x 2x 2y x 2y x 2++-=⋅+--()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=⋅+--1221
212my y 3y y 23y y +-=⋅+ 11
2211
232m 2m 3y y m 4m 4242m 3y y m 4--⎛⎫
+-- ⎪++⎝⎭=⋅
=-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭
．
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线
:x 4
=上．
18. (Ⅰ）解：在Rt △COA 1中，
θ
cos 2
1=
CA ，
θ
tan 2=CO , ………2分
θθ
tan 22cos 2
331-+⋅=+=CB CA y =
2cos )sin 3(2+-θθ（4
0π
θ<<）……7分
（Ⅱ）θ
θθθθθ222/
cos 1
sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ,
令0='y ，则3
1sin =θ ………………12分
当31sin >θ时，0>'y ；3
1sin <θ时，0<'y ，
∵θsin =y 在]4
,0[π上是增函数
∴当角θ满足3
1sin =θ时，y 最小
，最小为
2
24+;此时
BC 2
22-
=m …16分
19解：（1）由已知，得a a a a s ==-⋅=
11
2
)
(1， ∴0=a
（2)由01
=a
得,2n n na S =
则2
)1(1
1+++=n n a n S ， ∴n n n n na a n S S
-+=-++11
)1()(2，即n n n na a n a -+=++11)1(2,
于是有n n na a n =-+1
)1(，并且有12)1(+++=n n a n na ，
∴,)1()1(112
n n n n na a n a n na
-+=--+++即)()(112n n n n a a n a a n -=-+++,
而n 是正整数,则对任意N n ∈都有n n n n a a a a
-=-+++112
，
∴数列{}n
a 是等差数列，其通项公式是p n a
n
)1(-=。

（3）∵(2)(1)(1)(1)22222(1)(2)(1)2222
n n n n p n np
n n p S p n np n n p n n +++-=∴=+=+-
++++ ∴n p p p p n 2321-++++ 222222(2)(2)(2)213242
n n n =+-++-+++--+
2
2
1212+-
+-+=n n ； 由n 是正整数可得3221
<-+++n p p p n ，故存在最小的正整数
M=3，
使不等式1
2
2n p p
p n M ++
+-≤恒成立.
20．（1)定义域()0,+∞
()2
1ln 0x
f x x -'=
≥ ∴ln 1x ≤ ∴()f x 在(]0,e 递增，[),e +∞递减
（2)由题ln x m x >
错误!()max 2ln 22e a a
f x a ⎧
≤⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
错误!()max ln a e a
f x a ≥⎧
⎪⎨=⎪⎩
错误!()max 2
1e
a e f x e ⎧<<⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴2e a ≤时,ln22e
m a
> a e
≥时，ln a m e >
2
e
a e <<时，1m e
>
数学Ⅱ(附加题)参考答案
1．解:矩阵M 的特征多项式为4)1)(1(1
2
2
1
)(---=----=
λλλλλf =322--λλ. 令()0,f λ=得矩阵M 的特征值为－1和3 。

当-220
1,0220
x y x y x y λ-=⎧=-+=⎨
--=⎩时，联立解得 所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦。

当2203,220
x y x y x y λ-=⎧==⎨
-+=⎩时，联立解得 所以矩阵M 的属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

2．解：直线l 的普通方程为：0633=--y x ，设椭圆C 上的点到直线
l 距离为d .
2
63)4sin(62|63sin 3cos 3|+-=
--=π
θθθd ∴当1)4
sin(=-πθ时,62max
=d
,当1)4
sin(-=-π
θ时，6min =d 。

3．解：（1）以AB,AC,1
AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，
则)1,2
1
,21(--=λPN ， 平面ABC 的一个法向量为
(0,0,1)n =则45211,cos sin 2
+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=
=><=λθn PN
（*）
于是问题转化为二次函数求最值，而[0,],2
πθ∈当θ最大时，θsin 最大,所
以当2
1=λ时,
5
52)(sin max =
θ。

(3)已知给出了平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45︒
,即可得到平面ABC 的一个法向量为
1(0,0,1)n AA ==，设平面
PMN 的一个法向量为(,,)m x y z =，1(,1,)2
MP λ=-.
由⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0
MP m NP m 得11()022102x y z x y z λλ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
，解得213
2(1)3y x z x λλ+⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩。

令3,(3,21,2(1))x m m n λλ==+-得这样和就表示出来了，于是由
2
2)1(4)12(9)1(2,cos 2
2=
-+++-=
=
><λλλn m ， 解得11
1,2
P B A λ=-故点在的延长线上，且1
12
A P =。

4．解：⑴当1
1 3.n a
==时，
假设当43,k
k k n k a
m m N ==+∈时，
则当1+=k n 时,34341
)14(33+++-===k k k m m a k a
+-⋅=++034034)1(4k k m m C +-⋅++1241
34)1(4k k m m C …++-⋅+++2412434)1(4k k k m m m C 3403434)1
(4+++-⋅k k k m m m C 414(1)3T T =-=-+
其中=T +-⋅++0240
3
4)1(4k k m m C +-⋅++1
14134)1(4k k m m C …+*24243
4)1(N C k k k m m m ∈-⋅+++。

所以1
111,43+1,k k k m T N m n k +++∃=-∈=+=使 a 所以当时，结论也成立
所以*
,,43n
n
n n N m N a
m ∀∈∃∈=+使；
（2）27)81(33341⨯===++n n n
m m a
n a ,故2010a 的末位数字是7.。