2017年辽宁省沈阳市高三5月高考模拟数学文科卷及答案

2017年辽宁沈阳市高三年级高考模拟卷
数 学(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1. 若集合}21|{≤≤=x x A ，}023|{2
=+-=x x x B ，则B A 等于 （A ）}21|{≤≤x x （B ）)2,1(
（C ） {}1,2 （D ）Φ
2. 已知是虚数单位，则满足|12|z i i -=+的复数在复平面上对应点所在的象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
3. 已知向量
a 与
b 不共线，A B a m b =
+，b a n AC +=∈n m ,(R )，则A
B 与A
C 共线
的条件是 （A ）0m n += （B ）0m n -= （C ）10m n += （D ） 10m n -= 4. 已知函数x x x f cos sin )(+=，x x g cos 2)(=，动直线t x =与)(x f 和)(x g 的图象
分别交于A 、B 两点，则||AB 的取值范围是
（A ）[0，1] （B ）[0
（C ）[0，2] （D ）[1
5. 在边长为2的正方形ABCD 内部取一点M ，则满足AMB ∠为锐角的概率是 （A ）
4
π
（B ）
8
π
（C ）4
1π
-
（D ）8
1π
-
6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下
广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，无宽，高1丈。

现给出该楔体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为 （A ）4立方丈 （B ）5立方丈 （C ）6立方丈 （D ）8立方丈
7. 图中阴影部分的面积S 是高h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是
（A ） （B ） （C ） （D ） 8. 已知(5,3)A ，F 是抛物线2
4y x =的焦点，P 是抛物线上的
i
z
动点，则P A F ∆周长的最小值为
（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）15
9. 按右图所示的程序框图，若输入110101a =，
则输出的
（A ）53 （B ）51 （C ）49 （D ）47
10. 将长宽分别为2和1的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，
得到四面体BCD A -，则四面体BCD A -外接球的表面积为 （A ）π3 （B ）π5 （C ）π10 （D ）π20 11. 已知数列}{n a 是等差数列且满足7,131==a a ，
设n S 为数列})1{(n n
a -的前n 项和，则2017S 为
（A ）3025- （B ）3024- （C ）2017 （D ）9703
12. 设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值
域为，则称为“倍缩函数”.若函数
t x x f +=ln )(为“倍缩函数”，则
实数的取值范围是
（A ） (,ln 21)-∞- （B ） (,ln 21]-∞- （C ） (1ln 2,)-+∞ （D ） [1ln 2,)-+∞
b =()f x D [],a b D ⊆()f x [],a b ,
2
2a b ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
()f x t
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13．已知α是第二象限角，且sin(5
3)-
=+απ
，则tan2α的值为 .
14．已知实数满足：，则的最小值为 .
15.已知双曲线:
C )0,0(12
22
2>>=-
b a b
y a
x 的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心
的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P 、Q 两点，若3
π
=∠PAQ ， 且a PQ 3
3||=
，则双
曲线C 的渐近线方程为 .
16.意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：,
21,13,8,5,3,2,1,1 ,233,114,89,55,341)2()1(==F F , )2()1()(-+-=n F n F n F ),3(*
N n n ∈≥，
若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则
.
三、解答题：（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
如图，已知ABC ∆中，D 为BC 上一点，4
π
=∠DAC ，5
3cos -
=∠BDA ，
24=AC ． （I ）求AD 的长；
（II ）若ABD ∆的面积为14，求AB 的长．
,x y 132(3)x x y y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
2z x y =+A
B C
D
18. （本小题满分12分）
“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式。

某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20
（Ⅰ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值和方差（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成下列2×2列联表，并据此样本分析你是否有0095的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.
（参
式：2
2
112212211212
()
n n n n n n n n n χ++++-=
）
考公 （Ⅲ）在A 和B 两个城市满意度在90分以上的用户中任取2户，求来自不同城市的概率.
19. （本小题满分12分）
在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为菱形，P A D P A B ∠=∠，A C 交B D 于O ， （I ）求证：平面P A C ⊥平面P B D
（II ）延长B C 至G ，使BC CG
=，
连结PG ，DG . 试在棱P A 上确定一点E ，使//
P G P A
D
平面B D E ，并求此时
A E E P
的值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆:
C 12
22
2=+
b
y a
x )0(>>b a 的离心率2
2=
e ，且与直线:3l y x =+相切.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆上点(2,1)A 作椭圆的弦,A P A Q ，若,A P A Q 的中点分别为,M N ，若
M N 平行于l ，则,O M O N 斜率之和是否为定值？
21. （本小题满分12分） 已知()(x
f x e a x a =+∈R)
（I ）求()f x 的单调区间；
（II ）已知常数a e >-，求证：对于(1,)x ∀∈+∞，都有2
()(1)f x x >-恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C
的参数方程为()2c o s in x y θθθ
=⎧⎪⎨
=
⎪⎩为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲
线C
上的点按坐标变换121x x
y y
⎧
'=⎪⎪
⎨
⎪'=⎪⎩
得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建
立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程；
（Ⅱ）若过点),23
(πA （极坐标）且倾斜角为
6
π
的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，
弦MN 的中点为P ，求||||||
A P A M A N ⋅的值．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知正实数,,a b c ，函数()||||f x x a x b =+⋅+．
（Ⅰ）若1,3a b ==，解关于x 的不等式()10f x x ++<；
（Ⅱ）求证：(1)()16f f c a b c ≥.
数学（文科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. C
2. A
3.D
4. B
5.D
6. B
7. B
8. C
9. A 10.B 11. A 12. C
简答与提示：
1. 【命题意图】本题考查一元二次方程及集合的运算.
【试题解析】由0232=+-x x 得1=x 或2=x . 故选C. 2. 【命题意图】本题考查复数的模.
【试题解析】由|12|z i i -=+得i z +=
5.故选A.
3. 【命题意图】本题考查向量共线的条件.
【试题解析】由A B a m b =+，(,)A C n a b m n R =+∈共线得)(b a n b m a +=+λ即
10m n -=.故选D.
4. 【命题意图】本题主要考查三角函数辅助角公式.
【试题解析】由|)4
sin(2||cos sin ||)()(|π
-
=-=-t t t t g t f 得]2,0[.故选B.
5. 【命题意图】本题考查几何概型.
【试题解析】由AMB ∠为锐角得M 位于半圆外， 8
1π
-
=P .故选D.
6. 【命题意图】本题主要考查三视图中几何体体积.
【试题解析】可以通过割补法得到两个四棱锥和一个三棱柱.7. 【命题意图】本题主要考查函数图象问题.
【试题解析】当H h =时，对应的阴影面积为0，排除C 和D ，当2
H h =
时，对应阴影
部分的面积小于整个面积的一半，且随着h 的增大，减小的幅度不断变小.故选B. 8. 【命题意图】本题考查抛物线.
【试题解析】6|)||(|min =+PF PA .故选C. 9. 【命题意图】本题考查程序框图.
【试题解析】由题意知012345
12021202121253b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选A.
10. 【命题意图】本题主要考查几何体的外接球的相关知识.
【试题解析】球心O 为AC 中点，2
5=
R .故选B.
11. 【命题意图】本题主要考查等差数列的性质.
【试题解析】 ()13132
n a n n =+-=-,()21232232123n n a a n n --+=⨯--⨯-⎡⎤⎣⎦-=
∴数列(){
}
1n
n a -的前2017项和3025604910083-=-⨯.故选A. 12. 【命题意图】本题主要考查函数的单调性及导数相关知识.
【试题解析】02
ln =+-
t x x 在),0(+∞上有两根.故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
7
24- 14. 2- 15. x y 3
3±
= 16. 1
简答与提示：
13. 【命题意图】本题考查三角函数相关知识.
【试题解析】5
3sin =
α，5
4cos -
=α，7
242tan -
=α.
14. 【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.
【试题解析】试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，由
，解得，即点，当目标函数经过点时，取得最小值，此时最小值为．
15. 【命题意图】本题主要考查点到直线距离及双曲线的几何性质.
【试题解析】)0,(a 到直线0=-ay bx 的距离a b
a a
b d 3
32
3||2
2
⋅
=
+=
故
x y 3
3±
=.
16. 【命题意图】本题考查数列的相关知识.
【试题解析】 数列{}n b 的前几项为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，因此数列
是周期数列，其周期为8，因此201711b b ==.
三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查正余弦定理及三角形面积公式等.
【试题解析】解：（I ） 3c o s 5
B D A ∠=-，∴4s in 5
B D A ∠=
, （1
分）
s in s in ()4C B D A π
=∠-
1
2(3)
x y x =⎧⎨
=-⎩2,4x y ==-(2,4)A -A m in 22(4)2z =⨯+-=-
4
sin
cos 4
cos
sin π
π
⋅∠-⋅∠=BDA
BDA 435
2
5
2
10
=
⋅
+
⋅
=
，
（4分） 由正弦定理得
C
AD ADC
AC sin sin =
∠即
102
75
42
4AD =
，得A D =7; （6
分）
（II ）145
472
1sin 2
1=⋅
⋅⋅=
∠⋅⋅⋅=BD ADB BD AD S ABD ∆,得5=BD , （8
分）
由余弦定理得
116)5
3(5722549cos 22
2
2
=-
⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD
AD
AB
（10分）
292
=∴AB
（12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本题主要考查概率统计的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）A 城市评分的平均值小于B 城市评分的平均值； （2分）
A 城市评分的方差大于
B 城市评分的方差；
（4分） （Ⅱ）
（5分）
841.3667.23
825
152020)1510105(402
2
<≈=
⨯⨯⨯⨯-⨯=
χ
（7分） 所以认为有0
095
的把握认为城市拥堵与认可共享单车无关
（8分） （Ⅲ） 设事件=M “来自不同城市”,设A 城市的2户记为a ，b ，B 城市的4户记为c ，
d ，
e ，
f ，其中从中任取户的基本事件分别为，，，),(e a ，),(f a ，
，，),(e b ，),(f b ，，),(e c ，),(f c ，),(e d ，),(f d ，),(f e .
共15种 （10分）
2(,)a b (,)a c (,)a d (,)b c (,)b d (,)
c d
其中事件M “来自不同城市”包含的基本事件为，，，),(e a ，),(f a ,， ，),(e b ,),(f b 共8种，所以事件M “来自不同城市”的概率是15
8)(=
M p . （12
分）
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（I ）PAB PAD ∠=∠ ，AB AD =，PAD ∆∴≌PAB ∆，
得PD PB =，O 为BD 中点，BD PO ⊥∴，
（2分）
底面A B C D 为菱形, ∴BD AC ⊥，O PO AC = ，⊥∴BD 平面PAC ， （4分）
⊂BD 平面PBD ，
∴平面P A C ⊥平面P B D （6分）
（II ）连接AG 交BD 于M ，在PAG ∆中，过M 作PG ME //交PA 于E ,连接ED 和EB ,
⊄PG 平面B D E ，⊂ME 平面B D E ，//PG ∴平面B D E （8分）
∵BG AD //，AD BG 2=，ADM ∆∽BGM ∆2
1==∴BG
AD GM
AM , （10
分）
ME PG // ，2
1==∴
MG
MA EP
EA ,即
A E E P
2
1=
（12
分）
20. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系及标准方程.
【试题解析】解：（Ⅰ）2
2=e ，2
112
2
2
22
2=
-=-=
∴
e a
c a a
b ，即222b a = （2
分）
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12322
2
2b y
b
x x y 得021812322=-++b x x ，0)218(341442
=-⨯-=b ∆， （4分）
得32
=b ，62
=a ，所以椭圆方程为； （5
分）
（Ⅱ）设直线PQ 的方程t x y +=，联立方程组⎪
⎩⎪⎨⎧=++=136
2
2y
x t
x y 得0624322=-++t tx x 的两根为),(11y x P ，),(22y x Q ， （7
分）
由题意得)2
1,
2
2(
11++y x M ，)2
1,
2
2(
22++y x N ，
(,)a c (,)a d (,)b c (,)b d 2
2
16
3
x
y
+
=
由题意可知MN PQ //，所以1P Q M N k k ==， （8分）
3
421t x x -=+，3
622
21-=
t x x ，
2
12
12
12
122112211++++
+++=
+++
++=+x t x x t x x y x y k k ON OM )
2)(2()
1(4))(21(2212121++++++++=
x x t x x t x x
（10分）
0)
2)(2()
1(43
4)
21(3
622212
=++++-+++-=
x x t t t t
所以,O M O N 斜率之和是为定值0
（12分）
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本题主要考查函数与导数的知识，考查学生解决问题的综合能力.
【试题解析】（Ⅰ）a e x f x
+=')( （1分）
当0≥a 时，因为0)(>'x f ，所以)(x f 在),(+∞-∞上单增， （2分） 当0<a 时，令0)(='x f ，得)l n (a x -=，)(x f 在))ln(,(a --∞上单减，在
)),(ln(+∞-a 上单增，
综上：当0≥a 时，增区间为),(+∞-∞；
当0<a 时，减区间为))ln(,(a --∞，增区间为)),(ln(+∞-a . （4分） （Ⅱ）证明：设12)1()()(2
2
-+-+=--=x x ax e x x f x g x
，
22)(++-='a x e x g x
， （6分）
设22)(+-+=x a e x h x ，02)(>-='x
e x h 在),1(+∞上恒成立，
)(x h ∴在),1(+∞单调递增， （8分）
0)1()(>+=>a e h x h ，0)(>'∴x g 在),1(+∞恒成立，
即)(x g 在),1(+∞上单调递增， （10分） 0)1()(>+=>∴a e g x g ，
所以对(1,)x ∀∈+∞，都有2
()(1)f x x >-恒成立. （12分）
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与
平面直角坐标方程的互化.
【试题解析】解：
（Ⅰ）22
2c o s ::143in x x y C C y θ
θ
=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩， （2分）
将122x x
x x y y y
⎧
'=⎪'=⎧⎪⎪⇒⎨
⎨
'=⎪⎩⎪'=⎪⎩
，代入C 的普通方程可得22
1x y ''+=， （4分） 即2
2
:1C x y '+=，所以曲线C '的极坐标方程为 :1C ρ'= （5分）
（Ⅱ）点),23(πA 直角坐标是)0,23(-A ，将l 的参数方程2c o s 6
s in
6x t y t ππ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入22
1x y +=，可得053642
=+-t t ， （8分）
所以
5
3
3|
||2||
|||||212
1=
+=
⋅t t t t AN AM AP ． (10分)
23.(本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 【试题解析】解：（Ⅰ）原不等式等价于|(1)(3)|1x x x ++<--
1(1)(3)1x x x x ⇔+<++<-- （2分）2
2540320
x x x x ⎧++<⎪
⇔⎨++>⎪⎩4121x x x -<<-⎧⇔⎨<->-⎩或
（4分）(4,2)x ⇔∈-- ∴解集为 )2,4(-- （5分）
（Ⅱ）∵,,c
为正数，所以有101000
a
b
a c b
c ⎧+≥>⎪+≥>⎪⎨
+≥>⎪⎪+≥>⎩
（8分）
∴(1)(1)()()1(1)()6a b a c b c f f c a b c =++++≥= （10分）
a b。