数学解题的教学

数学解题的教学
一、解题教学概述
数学解题教学包括数学例题教学和数学习题教学。

例题教学是以教师为主导，引导学生将已学习的概念、命题应用于解决数学问题所提供的一种示范性活动；习题教学则是以学生为主体，依照或模仿例题，自己将已学习的数学知识应用于解决数学问题的实践性活动。

数学解题教学是数学教学中的一项重要内容。

1．解题教学的意义和功能
(1)因为数学概念、定理、公式、法则是一系列包摄程度较高的观念，具有一类数学对象的共同属性，因而可用于解决一系列的数学问题。

通过解题活动，学生不仅可以加深对所学知识的理解，而且还能达到训练逻辑思维的目的，根据不同的教学目标编拟不同类型的题目，能够培养学生的思维品质，提高智能和发展能力。

(2)数学概念、公式、法则、定理等是为了解决问题才产生和发展的，而用它们去解决问题却需要一定的技能，这种技能只有通过解题活动才能掌握，因此，解题教学能够帮助学生形成解决问题的技能。

(3)初学数学概念、定理、公式及法则时很容易造成对知识理解不深入，甚至产生错误的理解，而这些错误能充分地在解题活动中暴露出来，通过解题教学，教师能及时纠正和澄清学生的错误观念，使他们能正确和完整地掌握知识。

(4)通过解题教学以及对学生的解题作业分析，可以测试学生的数学认知水平，了解和评估学生的数学能力状况，为教材分析和教法调整提供有用的参考数据。

2．解题教学的基本要求
(1)要使学生明确解题的目标和要求。

解答数学题，有一定的具体要求，这就是：正确、迅速、表达清楚、简练。

解题的正确性要求学生在解题过程中对列式、运算、推理、作图等都应准确无误，做到言必有据，理由充足和合乎逻辑。

解题的迅速性指解题方法合理，能在规定时间内完成解题作业，这是解题者技能技巧熟练程度的体现。

解题表达清楚、简练，要求解题的思路清晰、层次分明、书写规范。

(2)要使学生熟悉解题步骤。

解答数学题一般分为四个步骤：审明题意、探索解法、整理叙述和检查验算。

教学中要培养学生认真审题的习惯，明辨条件和结论，挖掘隐含条件，能用数学语言表达自己的思维活动，运用联想、变通、归纳等方法去寻求合理的解题途径，用正确的表达方式书写解题结果，最后要检验结果是否正确，推理是否合乎逻辑，步骤是否完整，做到及时查缺补漏、纠正错误。

(3)要使学生掌握解题思想和方法。

解决数学问题的过程中包含着丰富的数学思想和方法。

数学思想方法可以指导学生形成正确的数学观念，从本质上把握数学知识体系的发生和
发展过程，掌握不仅对于数学学习有用，而且具有一般意义的科学方法。

因此，在解题教学中，要注重教会学生研究分析问题、思考和发现问题的方法，侧重启发学生的创造性思维，从掌握一般的、必要的解题模式、原则和方法入手，使学生逐步领会和理解数学思想方法。

(4)要使学生养成解题后反思的习惯。

当题目解答完后，还应当对解答过程进行回顾和反思，包括考虑：解题方法是否最好，是否还有其他解法，解决该题目所用的方法是否具有一般的意义，题目本身是否可以演变或引申出一些新的数学问题等。

在解题教学中，教师应首先有这种意识，加强对学生的训练，长此以往，学生就会养成这种回顾、反思和探究问题的习惯。

二、解题教学的原则和方法
解题教学应激发学生学习的主动性，让学生参与解题活动，在解题活动中提高数学能力，同时还要培养学生的探索精神和创新意识。

具体地说，在解题教学中应遵循如下一些原则。

1．解题教学要有明确的目的性
例题和习题的选配，应有明确的目的性，或者用来阐明某一概念；或者用来揭示某一法则、性质的应用；或者用来强调书写规范和解题格式；或者用来突出某种解题方法等。

因此，教师在备课时必须认真钻研例、习题，明确目的，在教学中做到有的放矢。

2．解题教学要有正确的示范性
所谓示范性，就是要让学生通过例题教学后，能够遵循和模仿基本的解题方法，掌握基本的解题模式和解题技能，同时能用正确的格式表述解答过程。

3．解题教学要有积极的启发性
解题教学中应遵循启发原则，引导学生积极思维，充分发挥学生的主体作用，切忌由教师包办代替。

在具体的教学中，要注意所设的问题和引导的方式必须是学生力所能及和易于接受的，所以在选例时，应当使问题的难度呈现出阶梯形式，由浅入深地展开教学内容，使解题教学真正达到启迪学生思维、训练解题技能和发展数学能力的目的。

4．解题教学要有适度的变通性
在解题教学中，要使学生掌握一些必要的解题方法和模式，同时又要防止学生的思维定势，僵化地理解这些方法和模式。

在学生获得某种基本的、常规的解题方法之后，教师应经常结合例、习题，将其进行适度的变通，通过改变原题目的条件、结论或解题方法，对题目进行横向或纵向延拓，从而加深学生对知识和方法的理解，培养思维的灵活性。

例如，证明等腰梯形判定定理“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”，除了采用课本上给出的“轴对称”方法外，还可以引导学生通过作如图7-12的几种辅助线方法去得到不同的证明。

一题多变是题目结构的变式，表现为题设、结论、图形或形式的变化，而题目的实质不变，以便从不同角度、不同方面揭示题目的实质。

5．解题教学要突出数学思想方法
数学问题解决中，蕴含着丰富的数学思想和方法，如转化思想、分类思想、算法思想、评价思想等，这些思想中又包含着许多具体的数学方法，如换元法、消元法、割补法、参数法等等。

在解题教学中，教师应帮助学生领会伴随着问题解决中的数学思想，使他们掌握必要的数学方法和解题策略。

三、几类题型的教法分析
本节我们对选择题、应用题和非常规题的教法进行具体的分析，并提出一些教学注意事项。

1．选择题的教学
选择题是由题干(条件)和选择支(结论)构成的一种题型，其特点是知识点的覆盖面广、解法灵活、阅卷方便，因此，选择题已大量地出现在数学试题中，相应地，选择题的教学也就成了数学解题教学中的一个有机组成部分。

选择题的主要作用是检验学生对基本概念、基本方法和基本技能的掌握情况，这是教学的目标。

具体地说，选择题的教学应注意以下两方面。

(1)精心设计题目，充分发挥选择题的功能。

根据教学目标，精心设计题目，题目必须为教学目标服务，设计的选择题应该是准确的，要合乎科学性标准。

由于选择题有多个选择支，正确答案包含在这些选择支中，更多的选择支是起干扰作用，所以在编拟选择题时，必须注意题目叙述的准确性，不允许出现似是而非、模棱两可的判断。

同时，又要精心设计干扰分支，同一题目尽量多含知识量。

在进行选择题教学时，要注意对每个选择分支的分析，错误的分支究竟错在哪里？正确的分支为什么正确？通过分析，用反例去强化学生对概念、方法的理解，充分发挥每一项选择分支的作用。

(2)教给学生解答选择题的基本方法。

解答选择题有一些特殊的方法和技巧，适时地引导学生对这些方法和技巧进行归纳、小结，既能提高解题速度和准确性，又能促进对基础知识的理解和基本技能的提高。

下面一些解答选择题的方法，应该让学生掌握。

2．应用问题的教学
应用问题指用数学理论或方法去解决现实生活中的一些实际问题。

在中学数学教材中，主要包括列方程或不等式解应用题；解排列组合应用问题等。

而列方程解应用题是初中数学的一个重要内容，也是学生初步接触数学模型方法、培养学生把实际问题转化为数学问题，并运用数学工具解决问题的能力的一个开端，因此这一内容是初中数学教学的重点和难点。

下面就初中数学中的应用问题解题教学进行分析。

列方程解应用问题的一般过程为：审题——设元——列方程——解方程——检验。

每一个环节，学生都会表现出不同的心理特征，教学中应采用相应的措施和方法去进行处理。

3．非常规问题的教学
非常规问题也称为“问题”(Problem)。

这类题不是教材内容的简单模仿，不是靠熟练操作就能完成的，需要较多的创造性。

其特点是重视问题的情景，即给出的问题不是纯数学化的“已知”、“求证”模式，而是给出一种情景，一种实际需求，以克服现实困难为标志。

所给的问题不一定有解，答案也不一定唯一。

非常规问题的解决，需要学生探索、猜测、估计、论证等一系列过程后才能完成，因而能充分调动学生思维的主动性，加深对基础知识的理解，从而培养学生发现问题以及创造性解决问题的能力。

在进行非常规问题的教学时，应考虑下面几个问题。

(1)选例合理。

由于现行中学数学教材中的习题多为可采用一般算法和程序，能参考和模仿教师做过的范例去解答的常规问题，因而学生已经形成了一种解常规问题的思维模式，对非常规问题的解决往往无从着手，这就要求教师对非常规问题的选例必须慎重，要使所选的例与学生的认知能力水平相符合。

一般来说，非常规问题包括与日常生活有关的应用问题；具有实际背景的模型和应用题；智力型问题；猜想型问题；答案开放型问题等。

教学中要根据所学的内容和学生的实际情况，选取适宜的题型进行教学。

(2)注重启发。

进行非常规问题的解题数学，教师要注意启发学生的思维，从问题的产生到问题的解决进而到问题的推广，都应贯穿启发性教学原则，不要由教师一人从头讲到尾，这样就难以发挥非常规问题的教学功能。

启发的方式应当恰当，既要满足激发学生参与学习，诱发学生产生解决问题的迫切心理，同时又要有利于教学活动的展开和教学目标的完成。