八年级数学上册11.2.1三角形的内角2导学案新版新人教版

11.2.1 三角形的内角
学习目标：
1、理解三角形的内角和定理的推论.
2、掌握三角形内角和定理推论的证明方法，培养观察、猜想和论证能力.
3、通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.
学习重点:三角形内角和定理的推论
学习难点:三角形内角和定理推论的证明方法.
学习活动
一、自主学习
1、阅读课本P 13～14 页，思考下列问题：
（1）直角三角形的两个锐角有什么关系？你能独立证明你的结论吗？
（2）如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？你能说明理由吗？（3）你能根据三角形内角和定理及其推论解答例3的问题吗？
（4）我们可以按三角形内角的大小将三角形分为三类：
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

直角三角形：有一个角是直角的三角形。

钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。

二、合作交流探究与展示：
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜
求证：∠A＋∠B＝90゜
证明：在△ABC中
∵∠ +∠ +∠ =180゜(三角形内角和定理）∠ = 90゜（已知）
∴∠ +∠ +90゜=180゜
∴∠A+∠B=90゜
归纳总结巩固新知
1、知识点的归纳总结：三角形内角和定理的推论
1、直角三角形的两个锐角互余
2、直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC C
B A
运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）
例1 如图，∠ C= ∠ D=900，AD,BC相交于点E ，∠ CAE 与∠ DBE有什么关系？为什么？解：∠ CAE =∠ DBE，理由如下:
在Rt△AC E中，
思考：课本P14思考
2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形
例2已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。

解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
由三角形内角和为180°得x+3x+5x=180°
解得x=20°
所以三个内角度数分别为 20°,60°,100°。

三、当堂检测：
（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°，则∠ C=
（2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°,则∠A = 。

（3）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B，则∠C = 。

E
D
C
B A
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列各式中，分式的个数为（ ） 3x y -，2x π+，21a x +，3a b ，23x y -，13x y +，3131x x =++ A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 【答案】B
【分析】根据如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B
叫做分式进行分析即可． 【详解】21a x +、3a b
、23x y -分母中含字母，因此是分式； 一共有3个；
故选B.
【点睛】
本题考查分式的定义，解题关键是熟练掌握分式的定义.
2．如图，△ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB 于D ，E 两点，并连接BD ，DE ，若∠A ＝30°，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为（ ）
A ．45
B ．52.5
C ．67.5
D ．75
【答案】C 【解析】试题分析：根据AB=AC ，利用三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE 的度数：
∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB.
∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=()118030752
︒-︒=︒. ∵以B 为圆心，BC 长为半径画弧，∴BE=BD=BC ．∴∠BDC=∠ACB=75°.
∴∠CBD 180757530=︒-︒-︒=︒.∴∠DBE=75°-30°=45°.
∴∠BED=∠BDE=
()11804567.52︒-︒=︒.
故选C.
考点: 1.等腰三角形的性质;2.三角形内角和定理.
3．已知某多边形的内角和比该多边形外角和的2倍多180 ，则该多边形的边数是（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900度，n 边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】解：根据题意，得
（n-2）•180=360×2+180，
解得：n=1．
则该多边形的边数是1．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
4．已知三角形两边长分别为7、11，那么第三边的长可以是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】设第三边长为x，由题意得：
11﹣7＜x＜11+7，
解得：4＜x＜18，
故选D．
点睛:此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
5．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按
照这个规定，方程Min{1
x
，
2
x
}＝
3
x
－1的解为（）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或－2 【答案】B
【分析】分类讨论1
x
与
2
x
的大小，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：当12x x >时，x ＜0，方程变形为231x x =-， 去分母得：2=3-x ，
解得：x=1（不符合题意，舍去）；
当12x x
<，，x ＞0，方程变形得：131x x =-， 去分母得：1=3-x ，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了解分式方程，分类讨论是解本题的关键．
6．如图，在ABC ∆中，点A 、B 、C 的坐标分别为()0m ,
、()0,1和()3,2，则当ABC ∆的周长最小时，m 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【分析】作点B 关于x 轴的对称点D ，连接CD 交x 轴于点A ，因为BC 的长度不变，所以根据轴对称的性质可知此时ABC ∆的周长最小．
【详解】作点B 关于x 轴的对称点D ，连接CD 交x 轴于点A ，此时ABC ∆的周长最小．作CE ⊥y 轴于点E ．
∵B(0，1)，
∴D(0，-1)，
∴OB=OD=1．
∵C(3，2)，
∴OC=2，CE=3，
∴DE=1+2=3，
∴DE=CE ，
∴∠ADO=45°，
OA=OD=1，
∴m=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，图形与坐标的性质，以及轴对称最短的性质，根据轴对称最短确定出点A的位置是解答本题的关键．
7．如图，已知∠1=∠2，则下列条件中不一定能使△ABC≌△ABD的是( )
A．AC=AD B．BC=BD C．∠C=∠D D．∠3=∠4
【答案】B
【解析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
【详解】A、∵∠1=∠2，AB为公共边，若AC=AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故本选项错误；
B、∵∠1=∠2，AB为公共边，若BC=BD，则不一定能使△ABC≌△ABD，故本选项正确；
C、∵∠1=∠2，AB为公共边，若∠C=∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故本选项错误；
D、∵∠1=∠2，AB为公共边，若∠3=∠4，则△ABC≌△ABD（ASA），故本选项错误；
故选B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
AF=，要在长方体上系一根绳子连接AG，绳子与DE交于点P，8．如图，已知3
AB=，5
BC=，6
当所用绳子最短时，AG 的长为（ ）
A ．8
B ．34
C ．10
D ．254
【答案】C 【分析】将长方体的侧面展开图画出来，然后利用两点之间线段最短即可确定最短距离，再利用勾股定理即可求出最短距离．
【详解】将长方体的侧面展开，如图,此时AG 最短
由题意可知5,3,6AD BC DC AB CG AF ====== ∴8AC AD DC =+=
90ACG ∠=︒
∴22228610AG AC CG =++=
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查长方体的侧面展开图和勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
9．在ABC ∆和A B C '''∆中，①AB A B ''=，②BC B C ''=，③AC A C ''=，④A A '∠=∠，⑤B B '∠=∠，⑥C C '∠=∠，则下列各组条件中使ABC ∆和A B C '''∆全等的是（ ）
A ．④⑤⑥
B ．①②⑥
C ．①③⑤
D ．②⑤⑥
【答案】D
【解析】根据全等三角形的判定方法对各选项分别进行判断．
【详解】A. 由④⑤⑥不能判定△ABC ≌△A′B′C′；
B. 由①②⑥不能判定△ABC ≌△A′B′C′；
C. 由①③⑤,不能判定△ABC ≌△A′B′C′；
D. 由②⑤⑥,可根据“ASA”判定△ABC ≌△A′B′C′.
故选:D.
【点睛】
考查全等三角形的判定定理，三角形全等的判定定理有：SSS ，SAS ，ASA ，AAS,HL.
10．已知2x =，432816x x x ++的值为（ ）
A ．11
B 3
C ．3
D ．9 【答案】D
【分析】先将432816x x x ++因式分解，再将2x =代入，借助积的乘方公式（()n n n a b ab ⋅=，本题中为逆运用）和平方差公式（22()()a b a b a b +-=-）求解即可．
【详解】解：4322222816(816)(4)x x x x x x x x ++=++=+，
将2x =代入，
原式=222)24)+
222)2)=
22)]=
2(74)=-
9=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，积的乘方公式，平方差公式，二次根式的化简求值．解决此题的关键是①综合利用提公因式法和公式法对原代数式进行因式分解；②利用积的乘方公式和平方差公式对代值后的式子进行适当变形．
二、填空题
11．比较大小：【答案】＞
【解析】解：∵=，，∴>
12．已知变量y 与x 满足一次函数关系，且y 随x 的增大而减小，若其图象与y 轴的交点坐标为()0,2，
请写出一个满足上述要求的函数关系式___________．
【答案】答案不唯一，如y=-x+2；
【分析】首先根据函数增减性判定k 的正负，然后根据与y 轴的交点坐标即可得出解析式.
【详解】由题意，得0k ＜
∵与y 轴的交点坐标为()0,2
∴满足条件的函数解析式为y=-x+2，答案不唯一；
故答案为：答案不唯一，如y=-x+2.
【点睛】
此题主要考查利用一次函数性质判定解析式，熟练掌握，即可解题.
13．如图，,,,30AB AC BD CD AD AE BAD ︒===∠=,则EDC ∠=_________________．
【答案】15︒
【分析】根据等腰三角形三线合一性质求得∠CAD 与∠ADC 的度数，再根据AD=AE ，利用三角形内角和定理可求得∠ADE 的度数，从而不难求解．
【详解】∵AB=AC ，BD=CD ，
∴AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，
∴∠CAD=∠BAD=30°，∠ADC=90°．
∵AD=AE ，
∴∠ADE=∠AED=180CAD 2∠︒-=180302
︒-︒=75°， ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．
∴故答案为：15︒．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
14．如图,四边形ABCD 沿直线l 对折后互相重合,如果AD ∥BC,有下列结论:①AB ∥CD ②AB=CD ③AB ⊥BC ④AO=OC 其中正确的结论是_______________. (把你认为正确的结论的序号都填上)
【答案】①②④
【分析】四边形ABCD沿直线l对折后互相重合，即△ABC与△ADC关于L对称，又有AD∥BC，则有四边形ABCD为平行四边形．根据轴对称的性质可知．
【详解】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC；
∴△AOD≌△BOC；
∴AD=BC=CD，OC=AO，且四边形ABCD为平行四边形．故②④正确；
又∵AD四边形ABCD是平行四边形；
∴AB∥CD．故①正确．
15．等腰三角形的一个内角是80︒，则它的顶角度数是_______________．
【答案】20度或80度
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【详解】当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
AD=，拆叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD上的点16．如图，在长方形纸片ABCD中，3
AB=，9
G处，折痕分别交边AD、BC于点E、F,则GEF
∆的面积最大值是__________．
【答案】7.1
【解析】当点G 与点A 重合时，GEF ∆面积最大，根据折叠的性质可得GF=FC ，∠AFE=∠EFC ，根据勾股定理可求出AF=1，再根据矩形的性质得出∠EFC=∠AEF=∠AFE ，可得AE=AF=1，即可求出△GEF 的面积最大值．
【详解】解：如下图，当点G 与点A 重合时，GEF ∆面积最大，
由折叠的性质可知，GF=FC ，∠AFE=∠EFC ，
在Rt △ABF 中，222AF AB BF =+，
∴229(9)AF AF =+-
解得：AF=1，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AEF=∠CFE ，
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF=1，
∴△GEF 的面积最大值为：1537.52
⨯⨯=， 故答案为：7.1．
【点睛】
本题考查了矩形中的折叠问题，涉及矩形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是找到GEF ∆面积最大时的位置，灵活运用矩形的性质．
17．已知点(32,1)P a a +-在x 轴上，则点P 的坐标为______．
【答案】(5,0)
【解析】根据x 轴上点的纵坐标为0列方程求出a 的值，再求解即可．
【详解】解：∵点P(3a+2，1−a)在x 轴上，
∴1−a=0，
解得a=1，
∴3a+2=3×1+2=5，
∴点P 的坐标为(5，0)；
故答案为：(5，0).
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，掌握点的坐标是解题的关键.
三、解答题
18．在平面直角坐标系中
()1在图中描出()A 2,2--，()B 6,3--，()C 3,5--，连接AB 、BC 、AC ，得到ABC ，并将ABC 向
右平移5个单位，再向上平移2个单位的得到111A B C ； ()2作出222A B C ，使它与ABC 关于x 轴对称．
【答案】 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】()1根据三个点的坐标描点、连线可得ABC，再将三个顶点分别平移得到对应点，然后首尾顺次连接即可得；
()2分别作出三个顶点关于x轴的对称点，然后首尾顺次连接即可得．
A B C即为所求．
【详解】解：()1如图所示，ABC和111
()2如图所示，
A B C即为所求．
222
【点睛】
考查作图-轴对称变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握轴对称和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
19．定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．
（1）如图①，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O 是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？
（2）如图②，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF，连接DE，EF，DF，得到△DEF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．
【答案】（1）定点O 是△ABC 的外心有道理，理由见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OA 、OB 、OC ，如图①，根据线段垂直平分线的性质得到OB OC =，OC OA =，则OA OB OC ==，从而根据三角形的外心的定义判断点O 是ABC ∆的外心；
（2）连接OA 、OD 、OC 、OF ，如图②，利用等边三角形的性质得到OA OC =，2120AOC B ∠=∠=︒，再计算出30OAD OCF OAD ∠=∠=∠=︒，接着证明AOD COF ∆≅∆得到O D O C =，同理可得OD OE =，所以OD OE OF ==，然后根据三角形外心的定义得到点O 是DEF ∆的外心．
【详解】（1）解：定点O 是ABC ∆的外心有道理．
理由如下：
连接OA 、OB 、OC ，如图①，
BC ，AC 的垂直平分线得到交点O ，
OB OC ∴=，OC OA =，
OA OB OC ∴==，
∴点O 是ABC ∆的外心；
（2）证明：连接OA 、OD 、OC 、OF ，如图②，
点O 为等边ABC ∆的外心，
OA OC ∴=，2120AOC B ∠=∠=︒，
30OAD OCF ∴∠=∠=︒，
30OAD ∴∠=︒，
在AOD ∆和COF ∆中
OA OC OAD OCF AD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AOD COF SAS ∴∆≅∆，
OD OC ∴=，
同理可得OD OE =，
OD OE OF ∴==，
∴点O 是DEF ∆的外心．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质和全等三角形的判定、等边三角形的性质．掌握线段垂直平分线性质和构造三角形全等是解题关键．
20．在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，BD 是对角线，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F
(1)如图1，求证：AE CF =
(2)如图2，当390BAD BAE ∠=∠=︒时，连接AF 、CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形ABCD
面积的18
．
【答案】（1）详见解析；（2）,,,ABE ADF BEC CFD ．
【分析】（1）根据平行线的性质可得ADE CBF ∠=∠，然后根据AAS 即可证得结论；
（2）由已知条件、直角三角形的性质和平行线的性质可依次得出∠BAE=30°，∠ABE ＝60°，∠ADB ＝30°，然后利用30°角的直角三角形的性质可得BE 与AB ，AE 与AD 的关系，进而可得△ABE 的面积=18四边形ABCD 的面积，即得△CDF 的面积与四边形ABCD 的面积的关系；作EG ⊥BC 于G ，由直角三角形的性质得
出EG 与AB 的关系，进而可得△BCE 的面积＝18四边形ABCD 的面积，同理可得△ADF 的面积与四边形ABCD 的面积的关系，问题即得解决． 【详解】（1）证明：//AD BC ，ADE CBF ∴∠=∠，
,AE BD CF BD ⊥⊥，90AED CFB ∴∠=∠=︒，
AD BC =，
ADE ∴∆≌CBF ∆（AAS ）
， AE CF ∴=；
（2）△ABE 的面积＝△CDF 的面积＝△BCE 的面积＝△ADF 的面积＝四边形ABCD 面积的18
．理由如下： ∵AD=BC ，ADE CBF ∠=∠，DB=BD ，∴△ADB ≌△CBD ，∴四边形ABCD 的面积=2×△ABD 的面积= AB ×AD ，
∵390BAD BAE ∠=∠=︒，∴∠BAE=30°，
∴∠ABE ＝60°，∠ADB ＝30°，
∴BE ＝
12AB ，AE ＝12
AD ， ∴△ABE 的面积＝12BE ×AE ＝12×12AB ×12AD ＝18AB ×AD ＝18
四边形ABCD 的面积； ∵△ABE ≌△CDF ，∴△CDF 的面积═18
四边形ABCD 的面积； 作EG ⊥BC 于G ，如图所示：∵∠CBD ＝∠ADB ＝30°，∴EG ＝12BE ＝12×12AB ＝14
AB ， ∴△BCE 的面积＝12BC ×EG ＝12BC ×14AB ＝18BC ×AB ＝18
四边形ABCD 的面积， 同理：△ADF 的面积＝18矩形ABCD 的面积．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握30°角的直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点E ，EF∥AB 交AC 于点F ．求证：△FEC 是等腰三角形．
【答案】见解析.
【分析】利用平行线以及角平分线的定义证明∠2=∠3，再根据等角的余角相等证明∠4=∠5即可解决问题.
【详解】证明：如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵EF∥AB，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵CE⊥AD 于点E，
∴∠AEC=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
∴FE=FC，
∴△FEC是等腰三角形．
【点睛】
本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
22．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.求证：△ABE≌△ADF.
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：由CA 平分∠BCD，AE⊥BC 于E ，AF⊥CD，可得AE=AF ，再由HL 判定Rt△AEB≌Rt△AFD，即可得出结论．
试题解析：∵CA 平分∠BCD，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴AE ＝AF.
在Rt△ABE 和Rt△ADF 中，∵AB AD
AE AF =⎧⎨=⎩
∴△ABE ≌△ADF(HL).
23．计算:3a 2·(－b)－8ab(b －1
2a)
【答案】228a b ab -
【分析】根据单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得解.
【详解】原式=222384a b ab a b --+
=228a b ab -.
【点睛】
本题考查了整式的运算，掌握单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 24．解答下列各题：
（1）计算：()()()2233221x x x x x -++--+
（2）分解因式：244mx mx m ++．
【答案】（1）5x -；（2）()221m x +
【分析】（1）利用完全平方公式及平方差公式进行计算即可；
（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进一步因式分解即可.
【详解】（1）()()()2233221x x x x x -⋅++--+
=223421x x x x +----
=5x -；
（2）244mx mx m ++
=2(441)m x x ++
=2(21)m x +.
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算与因式分解，熟练掌握相关公式是解题关键.
25．已知3既是x-1的平方根，又是x-2y+1的立方根，求x 2-y 2的平方根.
【答案】±1
【分析】根据题意得x-1=9，x-2y+1=27，再解方程组求得x ，y 的值，代入即可得出答案．
【详解】解：根据题意得192127x x y -⎧⎨-+⎩
＝①＝②， 由①得：x=10，把x=10代入②得：y=-8，
∴108
x y ⎧⎨-⎩＝＝， ∴x 2-y 2=102-（-8）2=31，
∵31的平方根是±1，
∴x 2-y 2的平方根是±1．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根，是基础知识比较简单．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知235m n +=，则48m n ⋅=（ ）
A ．16
B ．25
C ．32
D ．64 【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方，即可解答．
【详解】解：2323548222232m n m n m n +⋅=⋅===，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方． 2．已知三角形三边长分别为2，x ，5，若x 为整数，则这样的三角形个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可．
【详解】解：由题意可得，5−2＜x ＜5＋2，
解得1＜x ＜7，
∵x 为整数，
∴x 为4、5、6，
∴这样的三角形个数为1．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；运用三角形的三边关系定理是解答的关键．
3．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念逐一进行分析即可得.
【详解】A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
D 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意，
故选C.
【点睛】
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
4．一个三角形的两边长为3和9，第三边长为偶数，则第三边长为（ ）
A ．6或8
B ．8或10
C ．8
D ．10 【答案】B
【分析】根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行解答．
【详解】解：设第三边长为x ，
有3993x x <+⎧⎨>-⎩，解得126
x x <⎧⎨>⎩，即612x <<； 又因为第三边长为偶数，则第三边长为8或10；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了三角形中的三边关系，掌握：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 5．如图，AD 是ABC ∆的中线，DE AB ⊥于点E ，已知ABC ∆的面积是5，2AB =，则DE 的长为（ ）
A ．52
B ．53
C ．54
D ．1
【答案】A
【分析】根据三角形的中线的性质得：ABD ∆的面积是2.5，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】∵AD 是ABC ∆的中线， ABC ∆的面积是5，
∴ABD ∆的面积是2.5，
∵DE AB ⊥，2AB =， ∴ 2.52522DE ⨯=
=．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查三角形的中线的性质以及三角形的面积公式，掌握三角形的中线把三角形的面积平分，是解题的关键．
6．如图，五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE 、∠AED 、∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3等于
A ．90°
B ．180°
C ．210°
D ．270°
【答案】B 【详解】试题分析：如图，如图，过点E 作EF ∥AB ，
∵AB ∥CD ，∴EF ∥AB ∥CD ，
∴∠1=∠4，∠3=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°，
故选B
7．化简22
1
111()()ab a b a b +÷-⋅，其结果是（ ） A ．22
a b a b
- B ．22a b b a - C ．1a b - D ．1b a
- 【答案】B 【解析】()()222222221111a b b a a b b a ab ab ab a b a b ab b a ab b a b a ⎛⎫⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+÷-⋅=÷⋅=⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=22a b b a - . 所以选B.
8．要使（﹣6x 3）（x 2+ax ﹣3）的展开式中不含x 4项，则a ＝（ ）
A ．1
B ．0
C ．﹣1
D ．16
【答案】B 【分析】原式利用单项式乘多项式的法则计算，根据结果不含x 4项求出a 的值即可．
【详解】解：原式=−6x 5−6ax 4+18x 3，
由展开式不含x 4项，得到a =0，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了单项式乘多项式的法则，根据不含哪一项则该系数为零是解题的关键．
9．若()2
2316x m x --+是关于x 的完全平方式，则m 的值为（ ） A ．7
B ．-1
C ．8或-8
D ．7或-1
【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．
【详解】∵x 2−2（m−3）x ＋16是关于x 的完全平方式，
∴m−3＝±4，
解得：m ＝7或−1，
故选：D ．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．某市城市轨道交通6号线工程的中标价格是81750000元，81750000精确到100000，用科学记数法可表示为（ ）
A ．78.1710⨯
B ．88.1710⨯
C ．78.1810⨯
D ．88.1810⨯
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】把81750000精确到100000为81800000
81800000=78.1810⨯． 故选：C ．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，
表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
二、填空题
11．如图所示，已知△ABC 的面积是36，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=4，则△ABC 的周长是_____．
【答案】18
【详解】如图，
过点O 作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 于F ，
∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，
∴OE=OF=OD=4，
∵S △ABC =()2222
OE AB OF AC OD BC OE AB AC BC ⋅⋅⋅++=⋅++=2·△ABC 的周长， ∴△ABC 的周长=36÷2=18，
故答案为18.
【点睛】
本题考查了三角形面积公式和角平分线的性质.本题关键利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相同，将大三角形的面积转化为周长与高的关系求解.
12．如图，正比例函数y=2x 的图象与一次函数y=-3x+k 的图象相交于点P(1，m)，则两条直线与x 轴围成的三角形的面积为_______．
【答案】53 【解析】根据待定系数法将点P （1，m ）代入函数中，即可求得m ，k 的值；即可求得交点坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】∵正比例函数y=1x 的图象与一次函数y=﹣3x+k 的图象交于点P （1，m ），∴把点P （1，m ）代入得：23m m k ①②=⎧⎨=-+⎩
，把①代入②得：m=1，k=5，∴点P （1，1），∴三角形的高就是1． ∵y=﹣3x+5，∴A （5
3，0），∴OA 53=
，∴S △AOP 1552233=⨯⨯=． 故答案为：53
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式；解题的关键是根据正比例函数和一次函数的图象性质进行计算即可．
13．已知a ，b 满足方程组2a 15b a b -=⎧⎨+=⎩
，则a —2b 的值为__________． 【答案】4-
【分析】先根据二元一次方程组解出a ，b 的值，再代入求解即可．
【详解】2a 15b a b -=⎧⎨+=⎩
解得23a b ==，
将23a b ==，代入a —2b 中
22234a b -=-⨯=-
故答案为：4-．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
14．如图，等腰△ABC ，CA=CB ，△A'BC'≌△ABC ，∠A'=75°，∠A'BA=β，则∠ACC'的度数为_____．（用
含β的式子表示）
【答案】60°12
-β． 【分析】根据全等三角形的性质得到∠A=∠A'=75°，BC'=BC ，∠A'BC'=∠ABC ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出∠BCC'、∠ACB ，结合图形计算即可．
【详解】解：∵△A'BC'≌△ABC ，
∴∠A=∠A'=75°，BC'=BC ，∠A'BC'=∠ABC ，
∴∠C'BC=∠A'BA=β．
∵BC'=BC ，
∴∠BCC'1802
β︒-=， ∵CA=CB ，
∴∠ACB=180°﹣75°×2=30°，
∴∠ACC'=∠BCC'﹣∠ACB=60°12-
β． 故答案为：60°12-
β． 【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
15．若2a =，3a b -=，则2a ab -的值是_________．
【答案】1
【分析】首先提取公因式a ，进而将已知代入求出即可．
【详解】2a =，3a b -=，
2()236a ab a a b ∴-=-=⨯=．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查因式分解，整式的求值计算，将多项式分解因式后进行计算较为简便 .
16．分解因式：2288a a -+=_______
【答案】22(2)a -
【解析】22a 8a 8-+=2（2a 4a 4-+）=()22a 2-.
故答案为()22a 2-.
17．如图，直线BC 经过原点O ，点A 在x 轴上，AD BC ⊥于D ．若A （4，0），B （m ，3），C （n ，-5），则AD BC =______．
【答案】32
【分析】作三角形的高线，根据坐标求出BE 、OA 、OF 的长，利用面积法可以得出BC•AD=1．
【详解】解：过B 作BE ⊥x 轴于E ，过C 作CF ⊥y 轴于F ，
∵B （m ，3），
∴BE=3，
∵A （4，0），
∴AO=4，
∵C （n ，-5），
∴OF=5，
∵S△AOB=1 2
AO•BE=
1
2
×4×3=6，
S△AOC=
1
2
AO•OF=
1
2
×4×5=10，
∴S△AOB+S△AOC=6+10=16，
∵S△ABC=S△AOB+S△AOC，
∴
1
2
BC•AD=16，
∴BC•AD=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积．
三、解答题
18．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．
【答案】（1）y=
4
3
x+
5
3
；（2）C点坐标为（
5
4
-，0），D点坐标为（0，
5
3
），（3）
5
2
．
【解析】分析：（1）先把A点和B点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令x=0，y=0，代入y=
4
3
x+
5
3
即可确定C、D点坐标；
（3）根据三角形面积公式和△AOB的面积=S△AOD+S△BOD进行计算即可．
详解：（1）把A（-2，-1），B（1，3）代入y=kx+b得
21
3
k b
k b
-+-
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，
解得，4353
k b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝． 所以一次函数解析式为y=
43x+53； （2）令y=0，则0=43x+53
，解得x=-54， 所以C 点的坐标为（-54
，0）， 把x=0代入y=43x+53得y=53
， 所以D 点坐标为（0，53
）， （3）△AOB 的面积=S △AOD +S △BOD =
12×53×2+12×53×1 =52
． 点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b ；②将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
19．化简与计算
（1）将公式a b x ab
-=变形成已知x 与a ，求b .（假定变形中所有分式其分母都不为0） （2）22214()2442x x x x x x x x
+---÷--+ （3）计算：2221(21)4(1)(0.5)8
x x x x x +--+-÷ （4）计算：23(12)(536)x x mx x --+-，并把结果按字母x 升幂排列
【答案】（1）1a b ax =+；（2）()
222x -； （3）6x-3 （4）()()23451366212x m x m x x -++-++ 【分析】（1）代数式通过变形，即可得到答案；
（2）先把代数式进行因式分解，计算括号内的运算，然后除法变成乘法，进行计算即可；
（3）根据完全平方公式进行计算，以及整式乘法的运算法则进行计算，即可得到答案；
（4）利用多项式乘以多项式进行计算，然后按照x 的升幂排列，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵a b x ab -=， ∴abx=a -b
，
∴abx+b=a ，
∴（1ax +）b = a ， 1
a b ax ∴=+； （2）原式= ()()()()()222212•422x x x x x x x x x x ⎡⎤-+--⎢⎥---⎢⎥⎣⎦
=()222•4
422x x x x x x x
--+-- =()
242•42x x x x x --- =()222x -；
（3）原式=222
84414444x x x x x x ++-+--• =832x x --
=6x -3；
（4）原式=23234536106212x mx x x x mx x -+--+-+
=()()234
51366212x m x m x x -++-++ 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则进行计算. 20．如图，A 、B 两个村子在笔直河岸的同侧，A 、B 两村到河岸的距离分别为2km AC =，3km BD =，6km CD =，现在要在河岸CD 上建一水厂E 向A 、B 两村输送自来水，要求A 、B 两村到水厂E 的距离相等.
（1）在图中作出水厂E 的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求水厂E 距离C 处多远？
【答案】（1）详见解析；（2）水厂E 距离C 处41km 12
. 【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线，与CD 的交点即为E 点的位置；
（2）根据垂直平分线的性质及勾股定理得出方程解答即可.
【详解】（1）如图，点E 为所求的点.
（2）设CE=x ，则DE=6-x
在Rt ACE ∆中，
222222AE AC CE x =+=+
在Rt BDE ∆中，
()2
222236BE BD DE x =+=+-
由（1）知，AE=BE
∴()2222236x x +=+- 解得4112
x = 答：水厂E 距离C 处
41km 12. 【点睛】
本题考查的是尺规作图-线段的垂直平分线及勾股定理，掌握垂直平分线的性质及勾股定理的应用是关键. 21．化简：
(1)222442242x x x x x x
-+-++-+ ． (2)（1+11a -）÷221
a a a -+． 【答案】 (1)2332(2)
x x x x +-+ (2)a-1。