第五章 系统的稳定性

0
0
S0
2
0
0
例3
S4 1 S3 5 S2 4.8
s + 5s + 8s + 16 s + 20 = 0
4 3 2
8 16
5 × 8 − 1× 16 24 = = 4 .8 5 5
4.8 × 16 − 5 × 20 = − 4.83 4 .8
20 0 0 0 0
20 0 0
S1 –4.83 S0 20
解：系统的开环传递函数为 系统的闭环传递函数为 特征方程为
s3 s2
1
2 ωn ( s + K ) X 0 ( s) Gk = = 2 E (s) s ( s + 2ξωn )
2 X 0 (s) ωn ( s + K ) GB = = 3 2 2 X i ( s ) s + 2ξωn s 2 + ωn s + kωn
s s0
2、 Routh稳定判据 、 稳定判据 Routh表中第一列各元符号改变的次数等于 表中第一列各元符号改变的次数等于 系统特征方程具有正实部特征根的个数。 系统特征方程具有正实部特征根的个数。 因此，系统稳定的充要条件是， 因此，系统稳定的充要条件是，Routh表中 表中 第一列各元符号均为正 且值不为零。 符号均为正， 第一列各元符号均为正，且值不为零。
an − 2 an − 3 A2 B2 ⋮ D2
an − 4 an −5 A3 B3 ⋮
an − 6 ⋯ an − 7 A4 B4 ⋮
s n −1 s n −2 s
n −3
⋮ s
2 1
⋮ ⋮
A1an −3 − an −1 A2 B1 = A1 A1an −5 − an −1 A3 B1 = A1 ⋮
Routh表的下一行。 表的下一行。
特殊情况 （1） Routh表第一列出现零元素 ） 表第一列出现零元素 例4 S5 S4 S3 S2 S1 S0 1 2 0
s + 2s + 2s + 4s + s + 1 = 0
5 4 3 2
2 4
1 1 0 0 0 0
≈δ+
4− 1
1/2
δ
+
=−
1
δ
+
1 0 0
二、系统稳定的充要条件
1 、Routh表 表
an −1an − 2 − an an −3 A1 = an −1 an −1an − 4 − an an −5 A2 = an −1 ⋯ ⋯ A = an −1an −6 − an an −7 3 an −1 ⋯
s
n
an an −1 A1 B1 ⋮ D1 E1 F1
3 2
此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。 此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。
X o (s) = D( s)
当特征方程的根各不相同时， 当特征方程的根各不相同时，系统的输出为
n N ( s) si t −1 −1 x o (t ) = L [ X o ( s )] = L [ ] = ∑ Ai e D( s) i =1 =1
若系统的特征方程的根实部均为负值， 若系统的特征方程的根实部均为负值，即Re[si]<0， ， 则零输入响应最终将衰减为零。这样系统就是稳定的。 则零输入响应最终将衰减为零。这样系统就是稳定的。 系统的输入项参数对系统稳定性没有影响， 系统的输入项参数对系统稳定性没有影响，即传递函数 输入项参数对系统稳定性没有影响 的零点对系统的稳定性无影响。 的零点对系统的稳定性无影响。
( s − s1 )( s − s 2 ) ⋯ ( s − s n ) = s − (∑ s i ) s
i =1 n a n −1 = −(∑ s i ) an i =1 n an−2 = ( ∑ si s j ) an i =1, j = 2 i< j
+(
i =1, j = 2 i< j
∑s s
i
第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面， 第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面， 系统不稳定。 系统不稳定。
例1 系统的特征方程
D( s ) = s 4 + s 3 − 19 s 2 + 11s + 30 = 0 判定系统稳定性
解：由于特征方程中有一系数为负，所以闭环系统 不稳定。 已知ξ=0.2，ωn=86.6，试确定 取何值时， 取何值时， 例2 已知 ， ，试确定K取何值时 系统方能稳定。 系统方能稳定。
1、如果在Routh表中任意一行的第一个元为零， 、 表中任意一行的第一个元为零， 而其后各元均不为零或部分地部分地不为零， 而其后各元均不为零或部分地部分地不为零，可以 用一个很小的正数ε来代替第一列等于零的元， 用一个很小的正数 来代替第一列等于零的元，然 来代替第一列等于零的元 表的其余各元。 后计算Routh表的其余各元。 2、如果当计算Routh表的任意一行中的所有元均 、 为零时， 为零时，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多 项式， 项式，并用这个多项式方程的导数的系数组成计算
所有系数全为正，稳定。 对于二阶系统 a0s2+a1s+a2=0 所有系数全为正，稳定
例2： ：
Routh表 表 S4 S3 S2
2 s + 2 s + 8 s + 3s + 2 = 0
4 3 2
8 3 2 2 2 0 0
2× 2 − 2× 0 2×8 − 2×3 =2 =5 2 2
S1
5 × 3 − 2 × 2 11 = 5 5
二、稳定的定义和条件
若系统在初始状态（不论是无输入时的初态， 若系统在初始状态（不论是无输入时的初态，还是输 入引起的初态）的影响下， 入引起的初态）的影响下，由它所引起的系统的时间 响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零， 响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零，则该系 统为稳定的。 统为稳定的。 方法（ ） 方法（1） 对于n阶定常线性系统微分方程，拉氏变换后得到 对于 阶定常线性系统微分方程， 阶定常线性系统微分方程 M ( s) N ( s) M ( s) X o (s) = X i ( s) + = G ( s )为系统的传递函数 D( s) D( s) D( s)
综上所述，系统稳定的充要条件： 综上所述，系统稳定的充要条件：系统的全部特征跟 都具有负实部。即系统传递函数的全部极点均位于[s] 都具有负实部。即系统传递函数的全部极点均位于 平面的左半平面，系统则稳定。 平面的左半平面，系统则稳定。
三、关于稳定性的一些提法 1 、李亚普诺夫意义下的稳定性 若要求系统的输出不能超出任意给定的正数ε，而又能 若要求系统的输出不能超出任意给定的正数 ， 找出不为零的正数η， 找出不为零的正数 ，能在初态为
一、 系统稳定的必要条件
D( s ) = a n s n + a n −1 s n −1 + ⋯ + a1 s + a 0 = 0 sn + a n −1 n −1 a a s + ⋯ + 1 s + 0 = ( s − s1 )( s − s 2 ) ⋯ ( s − s n ) an an an
n n n −1
s + 7 s + 17 s + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 = 0
3 2
1 7 108 7 11
3
17 11 0 0
o’ σ0
o
σ
设 S=S ´－σ0 ，若σ0 =1, 用S=S ´－ 1代入 代入
2
( s' −1 ) + 7( s' −1 ) + 17( s' −1 ) + 11 = 0 s' +4 s' +6 s' = 0
3 2
s3 s2
1
1
λ + µ −1 0 µ −1
0 0
由稳定的充要条件可知：
λ + 1 > 0, λ (λ + µ ) > 0 µ −1 > 0
⇒ λ > 0, µ > 1
λ +1
λ > −1 λ > 0, µ >1 λ > −µ
λ (λ + µ ) s λ +1
s0
µ −1
三、Routh判据的特殊情况 判据的特殊情况
n
j
)s
n−2
− ⋯ + (−1) ∏ s i
n i =1
n
⋯
n a0 n = (−1) ∏ si i =1 an
要使全部特征根均具有负实部， 要使全部特征根均具有负实部 ， 必须满足两 个条件，即必要条件： 个条件，即必要条件： 1 ） 特征方程的各项系数 ai都不为零 。 因为 特征方程的各项系数ai 都不为零 都不为零。 若有一系数为零， 若有一系数为零 ， 则必出现实部为零的特 征根或实部有正有负的特征根， 征根或实部有正有负的特征根 ， 此时系统 为临界稳定或不稳定。 为临界稳定或不稳定。 2）特征方程的各项系数ai的符号都相同。 特征方程的各项系数ai的符号都相同。 的符号都相同
1/2 0
系统不稳定，第一列元素两次变号， 系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右 半平面。 半平面。
特殊情况 （2）Routh表中某一行全为零 ） 表中某一行全为零 例3 S6 S5 S4 S3 S2 S1 1 1 1 0 4 2.5 3.6
s + s + 6 s + 5s + 9 s + 4 s + 4 = 0
方法（ ） 方法（2） 若对线性系统在初始状态为零时输入单位脉冲函数， 若对线性系统在初始状态为零时输入单位脉冲函数，单 位脉冲响应的形式于零输入响应形式相同。 位脉冲响应的形式于零输入响应形式相同。所以当单位 脉冲响应趋于零时，系统则稳定。 脉冲响应趋于零时，系统则稳定。
n M (s) w(t ) = L−1 [G ( s )] = L−1 [ ] = ∑ Ai e sit D( s) i =1
x
(k ) o
( 0) < η
的情况下， 的情况下，满足输出为
x
(k ) o
(t ) < ε
则系统称为李亚普诺夫意义下的稳定。 则系统称为李亚普诺夫意义下的稳定。 李亚普诺夫意义下的稳定
2 、渐近稳定性
渐近稳定就是线性系统稳定性的定义。 渐近稳定就是线性系统稳定性的定义。系统若是渐近 稳定，就一定是李亚普诺夫意义下的稳定，反之不然。 稳定，就一定是李亚普诺夫意义下的稳定，反之不然。
( ( N ( s )是与初始条件xok ) (0 − )有关的s多项式，而xok ) (0 − ) ( 是输出xo (t )及其各阶导数xok ) (t )在输入作用前t = 0时刻
的值，即系统在输入前的初始状态。
稳定性就是研究初始状态下的输出情况。 稳定性就是研究初始状态下的输出情况。系统在初始 状态下的输出为 N (s)
s 3 + 34.6s 2 + 7500s + 7500k = 0
1 34.6 7500 7500K 0 0 0
34.6 × 7500 − 7500K s 34.6 s0 7500K
由稳定的充要条件可知：0 由稳定的充要条件可知：0 <K<34.6
例3 系统的特征方程
D( s ) = s + (λ + 1) s + (λ + µ − 1) s + µ − 1 = 0
第五章
5.1 系统稳定性的初 步概念 一 、 系统不稳定现象 的发生
系统的稳定性
首先，线性系统不稳定现象发生与否， 首先，线性系统不稳定现象发生与否，取 决于系统内部条件，而与输入无关。 决于系统内部条件，而与输入无关。 其次， 其次，系统发生不稳定现象必有适当的反 馈作用。 馈作用。 第三， 第三，控制理论所讨论的稳定性其实都是 指自由振荡下的稳定性。 指自由振荡下的稳定性。
例1：(1) 5s 3 + 6 s 2 + 3s − 5 = 0 ： (2) 5s 3 + 6 s 2 + 5 = 0
一项为负， 一项为负， 不稳定 缺项， 缺项， 不稳定
(3) 2 s 4 + 2 s 3 + 8 s 2 + 3s + 2 = 0 满足必要条件， 满足必要条件， 可能稳定 对于三阶系统a 对于三阶系统 0s3+a1s2+a2s+a3=0只要 a1a2 > a0a3 只要 系统稳定 则
6 5 4 3 2
6 5 5 0 10 4 0
9 4 4 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0 辅助方程
s + 5s + 4 = 0
4 2
4 s + 10 s = 0
3
S0 4 0 0 0 某一行全为零，说明存在对称于原点的根。 某一行全为零，说明存在对称于原点的根。系统不稳定
Routh判据的应用 判据的应用 （1）估计稳定裕量 ） 例4 S3 S2 S1 S0 jω’ jω
3、 “小偏差”稳定性 小偏差”
“小偏差”稳定性又称“局部稳定性”。系统一般都 小偏差”稳定性又称“局部稳定性” 小偏差 具有非线性，在小范围内系统是稳定的， 具有非线性，在小范围内系统是稳定的，在大范围 内系统就不一定稳定。 内系统就不一定稳定。
§5.2 Routh（劳斯）稳定判据 Routh（劳斯）