高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元达标测试题试卷

高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元达标测试
题试卷
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数()()()
2222
4x x f x x x m m e e --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零
点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】BC 【分析】
由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于
2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】
∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则2
2
()4()()t
t
f t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，
22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，
所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2
482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得
2()4t t e e -∴+≥
故2
()42()0t
t
f t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =
②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】
方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+
2．已知21,1,()ln ,
1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，下列正
确的是（ ）
A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；
B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；
C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；
D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解； 【答案】ACD 【分析】
令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】
令()0f x t =≥，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，
可得2210t t k -+-=， 当58k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12t =； 当5
8
k <
时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ， 且121t t +=，此时至少有一个正根； 当5
8
k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根； 作出()f x 的大致图象，如下：
当5
8k =时，此时12
t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确； 当5
8
k <
时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0，
此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；
当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，
当5
8k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.
3．已知函数()2221,0
21,0
x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）
A ．()f x 为奇函数
B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦
C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=
D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞
【答案】CD 【分析】
根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】
对于A 选项，当0x >时，0x -<，则
()
22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-
所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =
所以函数221y x x =
++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)
-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增
即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <
则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22
()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则2
2
()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=
当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；
对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x x
m x m -=⇔=
令函数()()g x f x x
=
，函数y m =
由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x
=
的图象有两个不同的交点
因为()0f x ≥
时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <
时，(,1x ∈-∞-
所以12,012,12)01
,1(x x x x x x x x x g x ⎧
++>⎪⎪
⎪
-++<⎨⎪⎪--<-⎩
=⎪
当0x >时，设1
20
1x x ，()()()()121212121212
111x x x x g x g x x x x x x x ---=+
--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()12121212
10
x x x x g x g x x x ---=
<，即()()12g x g x <
所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增
同理可证，函数()g x
在区间)1⎡⎣
上单调递减，在区间(,1-∞上单调递增
1
1241)1
(g ++==
函数()g x 图象如下图所示
由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x
=的图象有两个不同的交点
则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；
故选：CD 【点睛】
本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.
4．下列命题正确的是（ ）
A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-
B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．
C ．已知函数3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1
()x g x x
+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8
【答案】BD 【分析】
根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定
D 正确，即可求解.
【详解】
对于A 中，幂函数2
1
()(1)m f x m x
--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，
当0m =时，函数1
()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在
(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；
对于B 中，若函数2
()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，
则满足(0)30f m =<，解得0m <，
所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln(
)1x f x x x x +=++-，则满足101x
x
+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；
对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11
()x x g x x x
-+--=
=-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
5．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=
B ．122x x e e e +>
C ．1221ln ln 0x x x x +<
D ．12x x >
【答案】ABC 【分析】
根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】
函数x
y e =与ln y x =互为反函数， 则x
y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，
将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，
由直线2y x =-+分别与函数x
y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，
作出函数图像：
则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由
12
12
x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；
对于C ，将2y x =-+与x
y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，
设()2x
f x e x =+-，且函数为单调递增函数，
()010210f =+-=-<，11
2211320222f e e ⎛⎫
=+-=-> ⎪⎝⎭
，
故函数的零点在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭上，即11
02
x <<
，由122x x +=，则212x <<， 12211221
1ln ln ln ln
x x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；
对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
6．已知函数1()x x f x e
+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．4个
【答案】ABC 【分析】
令()t f x =，画出1
()x x f x e
+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】
()x
x f x e '=-
， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；
当0x >时，0f
x
，故()f x 在0,
上为减函数，
而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：
考虑方程210t mt ++=的解的情况.
24m ∆=-，
当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，
由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是2.
当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x
的解的个数为1，
故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解，
故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是0.
当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】
本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．
7．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 在定义域上单调递增
C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >
D ．
()()()()()()()()()()()
()
2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】
利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算
(2)
(21)
f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．
【详解】
令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；
对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则
0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，
∴对于任意x ∈R ，2
()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=
=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，
11111111121n
n n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭
个
个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭
， 同理()(111)(1)(1)
(1)21n f n f f f f =++
+==>，
对任意正有理数p ，显然有m p n
=
（,m n
是互质的正整数），则1()1m
m f p f f
n n ⎡
⎤
⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,
p p p 的极限，而()1i f p >，
i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，
设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则
21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；
由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)
2(21)
f n f n =-，
∴
()()()()()()()()()()()
()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．
8．函数1(
)()0()x f x x ⎧=⎨
⎩
为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 的值域是{0,1}
C ．方程(())f f x x =的解为1x =
D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =
【答案】ABC 【分析】 逐项分析判断即可. 【详解】
当x -为有理数时，x 也为有理数
∴()1f x -=
当x
-为无理数时，x也为无理数
∴()0
f x-=
∴
1()
()
0()
x
f x
x
⎧
-=⎨
⎩
为有理数
为无理数
∴()()
f x f x
-=
()
f x
∴是偶函数，A对；
易知B对；
1
x=时，()
((1))11
f f f
==
∴C对
(())()
f f x f x
=的解为全体有理数
∴D错
故选：ABC.
【点睛】
本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.
9．已知()x x
f x e ke
-
=+（k为常数），那么函数()
f x的图象不可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AD
【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1
k=时，()x x
f x e e
-
=+为偶函数，当1
k=-时，()x x
f x e e
-
=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．
当1
k=时，()x x
f x e e
-
=+为偶函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x
x f x e
e -=-为奇函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x
x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.
故选:AD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.
10．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]
0,1x ∈时，
()(2)f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[]1,1-
D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点
【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A.
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，
()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个
单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，
()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，
用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，
所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.
对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，
(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.
对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，
[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--
①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，
②(]2,4x ∴∈时，
()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，
()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；
③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，
()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；
④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；
综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.
11．已知()()()52
log 1,1
22,1
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
()1a <的实根
个数可能为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】ABC 【分析】
画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令
1
2t x x =+
-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
，判断出实根个数
构成的集合. 【详解】
画出()f x 的图像如图所示，令1
2t x x
=+
-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5
t t =-=
，由()2
221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()2
2201t t --+=≥，解得922t =+. （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或4
05
t <<或322t <<+，结合12t x x =+
-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，4
05
t <<或322t <<+时每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =或22t =+，0t =有一个1x =与其对应，22t =+有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1解，且22t >+，结合1
2t x x
=+
-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时1
2f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
有2个实数根.
综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛
⎫
+-= ⎪⎝
⎭
的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC
【点睛】
方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
12．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2a
b +=
C ．223a b +>
D ．01ab <<
【答案】ABD 【分析】
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函
数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】
由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，
函数2x
y =与2log y x =互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，
则(
),2
a
A a ，()2
,log B b b .
由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，
则2a b +=，22log 2a
b +=.因为0a >，0b >，且a
b ，
所以2
012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭
，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
，(1)10f =>， 所以
1
12
a <<. 因为22222
1(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<
⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.
13．下列函数求值域正确的是（ ）
A ．2()1(2)f x x x =+-的值域为[2)+∞，
B ．222
()1
x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，
C ．()11h x x x =
+-(02]，
D ．()13w x x x =-+的值域为[222]，
【答案】CD 【分析】
()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；
2(1)11
()(1)11
x g x
x x x ++==++
++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B ；()1111
h x x x x x =
+--=
++-利用单调性即可判断选项C ；()w x 定
义域为[31]
-，，将()13w x x x =-++两边平方可得()2
22(1)44w x x =-+++，
由于()0w x >，可得()22(1)44w x x =-+++，求出2
(1)t x =-+的范围即可求()
w x 值域，可判断选项D. 【详解】
对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪
=++-=-<≤⎨⎪->⎩
，，
，， 其图象如图，原函数值域为[3)+∞，
，故选项A 不正确，
对于选项B ：2(1)11
()(1)11
x g x x x x ++==++
++，定义域为{}|1x x ≠-， 当1x <-时，10x +<，此时[][]11(1)2(1)211x x x x ⎛⎫⎛⎫
-++-≥-+⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，
所以1
(1)21x x ++
≤-+，当且仅当1(1)1
x x -+=-+即2x =-时等号成立， 当1x >-时，10x +>，此时11
(1)(1)211
x x x x ++
≥+⨯=++，当且仅当1
11
x x +=
+即0x =时等号成立， 所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，
，，故选项B 不正确； 对于选项C ：()h x 的定义域为[1
)+∞，， (11)(11)
()111111
x x x x h x x x x x x x +-+-=+-=
=
++-++-，
因为y =
y =[1)+∞，
上是增函数，所以y =
[1)+∞，上是增函数，又y =[1)+∞，上恒不等于0，
则
y =
在[1
)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()1h =
又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(0，故选项C 正确；
对于选项D ：()w x 的定义域为[31]
-，，
()w x ==
=
===
设2
(1)t x =-+，则[40]t ∈-，
，[]0,4，[]44,8∈，
则()2,w x ⎡=⎣，()w x 的值域为[2，故选项D 正确， 故选：CD 【点睛】
方法点睛：求函数值域常用的方法
（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；
（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为
R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；
（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域； （4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；
（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；
（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如
222a b ab +≥，a b +≥，以及绝对值三角不等式等；
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如
y Ax =+22ax bx c y dx ex f
++=++的函数适用； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域； （9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如
()()()()2
0F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；
（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；
（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
14．已知函数()22,1
,1
x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦
，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】ABD 【分析】
令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】
令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像
由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t =
（1）当1t =，即()1f a =，由()22,1
,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩
，得1a =±时，经检验均满足题意；
（2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()2
0f a a ==，解得：0a =；
综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
15．已知函数2
22,0
()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩
，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下
列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1
【答案】BCD 【分析】
由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，
341
122
x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】
由()f x 函数解析式可得图象如下：
∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即1
2
x =或2， ∴341
122
x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴
341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.
故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定
1234,,,x x x x 的范围及关系.
16．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）
A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈
B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1
C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]
1,4
D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23
⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；
对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；
对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]
1,4，故选项C 正确；
对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点
()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当
1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，
故选：BC 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
17．已知函数22(2)log (1),1
()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根
1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．12m <≤
B ．11sin cos 0x x ->
C ．3441x x +>- D
．22
12log m
x x ++10
【答案】ACD 【分析】
画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】
画出()f x 的图象如下图所示，
由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12
122,42
x x x x +=-+=-， 由(
)
()2
2221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，
所以1232,21x x -≤<--<≤-，
3324π-<-
<-，当134x π=-
时，1212sin cos ,sin cos 02
x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2
22
1x m x +=≤-，()2
2log 2
log 1x m m m +==，()2
2log 21m x +=，
(
)2
22log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，
所以()
2
11log 22m x =
+
，或()2
21log 22m x =
+，
故()()
2
222
12112
11
log 422m x x x x x ++=+--+
+
()()
2
12
1122881022x x =++
+≥=+，
当且仅当()()
2
112
11
522,222x x x +=
=-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，
()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111
x x x x +=
=-+
+， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或1
2
x =-，
由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或3
4
x =-， 所以3431
,1342
x x -
≤<-<≤， ()34333311
44145111
x x x x x x +=+
-+=-+++ ()3321511
41
x x +≥+⋅
-=-①. 令()()21134,1,142
1x x x x +=
==-++或12x =-，
所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD
【点睛】
求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.
18．一般地，若函数()f x 的定义域为[]
,a b ，值域为[]
,ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结
论正确的是（ ）
A ．若[]
1,b 为()2
22f x x x =-+的跟随区间，则2b =
B ．函数()1
1f x x
=+
存在跟随区间 C ．若函数(
)f x m =1,04m ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦
D ．二次函数()2
12
f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】
根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】
对A, 若[]
1,b 为()2
22f x x x =-+的跟随区间,因为()2
22f x x x =-+在区间[]
1,b 为增
函数,故其值域为2
1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2
22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1
b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+
在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1
1f x x
=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩,
解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故存在, B 正确.
对C, 若函数(
)f x m =[]
,a b ,因为(
)f x m =,故由
跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨
=⎪⎩a b < 即(
)()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,
1=.
易得01≤
<.
所以(1a m m =-=--,
令t =
20t t m --=,
同理
t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.
故1400
m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.
对D,若()2
12
f x x x =-
+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()21
2
f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程
21
32
x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】
本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.
19．已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪
=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩
，则下列说法正确的是（ ）
A ．若函数()=-y f x kx 有4个零点，则实数k 的取值范围为11,246⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．关于x 的方程*
1()0()2
n f x n N -
=∈有24n +个不同的解 C ．对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立
D ．当1[2,2](*)n n x n N -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】
根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A ，C 利用数形结合进行判断，对于B ，D 利用特值法进行判断. 【详解】 当312
x ≤≤
时，()22f x x =-；当 3
22x <≤时，()42f x x =-；
当23x <≤，则3
122
<
≤x ， 1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；
当34x <≤，则3222
<≤x
， 1()2222⎛⎫==- ⎪
⎝⎭x x f x f ； 当46x <≤，则232<≤x
， 11()2242
⎛⎫=
=- ⎪⎝⎭x x f x f ； 当68x <≤，则342
<
≤x
，1()1224⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ；
依次类推，作出函数()f x 的图像：
对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k =
，124=n k ，11,246⎛⎫
∴∈
⎪⎝⎭
k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1
()2
f x =
有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3
()2≤f x x
恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线32y x =
上，故3()2≤f x x
恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为
11
1122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
20．下列结论正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的定义域为[]
1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数
()1f x +的值域为[]2,3
C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是
()0,3
D ．已知函数()2
3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数
根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞
【答案】ACD 【分析】
根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数
()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.
【详解】
对于A, ()y f x =的定义域为[]
1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为
[]0,1，故正确；
对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相
同，故错误；
对于C, 函数2
()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需
(2)0
(1)0g g >⎧⎨
->⎩
，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()2
3f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，
由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或
9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，
综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.
故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2
3f x x x
=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.。