最新-高中数学必修5 13 正弦定理、余弦定理的应用 课

3．解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定
理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系,灵
活运用公式．对于求多边形的面积问题可通过分割转化
为几个三角形面积的和.
1．实际问题中的有关术语、名称 (1)仰角和俯角 测量时，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做 ____仰__角_____;视线在水平线下方所成的角叫做____俯__角_____. (如图)
解：在△ACD 中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°， ∴CD＝AC＝0.1. 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，BD＝BA，
在△ABC 中，sin∠ABBCA＝sin∠ACABC，
[解] 连结 MN，在△PQN 中，PQ＝40，∠PQN＝30°＋45° ＝75°，∠NPQ＝45°， ∴∠PNQ＝180°－75°－45°＝60°. 根据正弦定理，得sin∠PQPNQ＝sin∠NQNPQ， 即sin4600°＝sinN4Q5°.
∴NQ＝40sisnin6405°°＝403 6. 同理，在△PQM 中，MQ＝PQsi·nsi∠n∠PMMQPQ＝40ssiinn3102°0° ＝40 3.
第1章 解三角形
1．3 正弦定理、余弦定理的 应用
第1章 解三角形
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1.了解三角形的有关性质． 学 2．理解用正、余弦定理及相关公式求解距离、高度、 习 目 角度问题．(重点) 标 3．掌握把一些简单的实际问题转换为数学问题，并能
用正、余弦定理及相关三角公式解决问题．(难点)
第1章 解三角形
2．解三角形应用题的一般思路
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A的俯角为β，则α与β的 关系为__α_＝__β___． 解析：由仰角与俯角的概念知α＝β.
2.两座灯塔A和B与海岸观察站的距离相等，
灯塔A在 观 察 站北偏东40°,灯塔B在观察
站南偏东60°，则灯塔A位于灯塔B的 ___北__偏__西__1_0_°__． 解析：由已知， ∠ACB＝180°－40°－60°＝80°， ∴∠EBC＝180°－(40°＋80°)＝60°；
解析：如图，重力沿斜面方向及与斜面垂直的方向分解，
分解到沿斜面向下的力大小为 5×12＝2.5 N，而物体平衡， 所以物体受到的摩擦力的大小为 2.5－2＝0.5 N，方向沿斜 面向上．
距离问题
如图所示，在河岸上可以看到两 个目标物M，N，但不能到达，在河岸边 选取相距40 m的P，Q两点，测得 ∠MPN＝75°，∠NPQ＝45°， ∠MQP＝30°，∠MQN＝45°，试求这两个目标物M，N之 间的距离．(链接教材P18例1)
在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝80°， ∴∠ABC＝12(180°－80°)＝50°， ∴∠ABE＝∠EBC－∠ABC＝60°－50°＝10°， 即 A 位于 B 的北偏西 10°.
3．海面上有A，BC 和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝
是已知的，哪些元素是未知的． (2)选准入手点． 找出已知边长的三角形,结合已知条件选准“可解三 角 形”, 并判断是选用正弦定理，还是选用余弦定理来求解．
1. 如图，A，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°，30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°，AC＝0.1 km.试探究图中 B，D 间距离与 另外哪两点距离相等，然后求 B，D 的距离(计算结果精确到 0.01 km， 2≈1.414， 6≈2.449)．
(2)方向角与方位角 ①指北或指南的方向线与目标方向 线所成的水平角(一般指锐角)叫做 __方__向__角_____．目标方向线的方向 一般用“___某__偏__某__多__少__度___”来表示. 前一个“某”是“北”或“南”，后一个 “某”是“东”或“西”．如图，OA、OB、OC、OD的方向角分别 表示:北偏东60°、北偏西75°、南偏西15°、南偏东40°. ②指北的方向线_____顺______时针转到目标方向线为止的水平 角，叫方位角．
(3)水平距离、垂直距离、坡面距离、坡度和坡角 如图所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡 面距离．
垂直距离 坡度＝水平距离. 坡面与水平面的夹角 α 叫做___坡__角______．α 为锐角． 记坡度为 i，坡角为 α，水平距离为 x，垂直距离为 y，则它们 的关系如下：
y i＝____x_______＝tan α.
1.在我们将所求距离或方向的问题转化为一个求三角形
的边和角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够,这
时需要我们寻找其他的三角形作为我们解这个三角形的
支持，为我们解这个三角形提供必要的条件．
学 法 指 导
2．在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是 一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也 不一定在同一垂面内，因此还需要我们有一定的空间想 象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三 角形中来求解．
在 △MNQ 中 ， 根 据 余 弦 定 理 得 MN2 ＝ MQ2 ＋ NQ2 －
2MQ·NQ·cos∠MQN＝8
0300，∴MN＝403
15 m.
故这两个目标物 M，N 之间的距离为40 3 15m.
方法归纳 正弦定理与余弦定理交汇求距离的两个关键点 (1)画示意图，弄清题目条件． 根据题意画图研究问题中所涉及的三角形，它的哪些元 素
__5__6____n mile.
解析：示意图如右，由题意可知：∠ACB＝45°，由正 弦定理得： sinBC60°＝sin1405°，
∴BC＝ 102·23＝5 6. 2
4．如图，一个重5 N的物体在30°的斜面上，物体的 上 方 接着一只弹簧秤，若平衡时弹簧秤的示数是2 N，则物体受 到的摩擦力的大小为___0_._5_N__，方向是__沿__斜__面__向___上___.