最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(答案解析)(2)

一、选择题
1．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
2．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .
由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271
B ．272
C ．273
D ．274
3．设ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则
()1
2
S r a b c =
++.类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ,4S ，体积为V ，内切球半径为R ，则V =（ ）
A ．()1234R S S S S +++
B ．()12341
2
R S S S S +++ C ．
()12341
3
R S S S S +++ D ．
()12341
4
R S S S S +++ 4．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，c
a
的值（ ） A ．都大于1
B ．都小于1
C ．至多有一个不小于1
D ．至少有一个不小于1
5．设函数()n
f x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )x
f x e x x =+，01()2f x '=，
12()2
f x '=，*1())2
n n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+
D ．(cos sin )x e x x --
6．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
7．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等
四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:
①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；
③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球.
已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A ．踢足球 B ．打篮球 C ．打羽毛球 D ．打乒乓球
8．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3
=63
2
n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应
的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3
C ．（k+1）3
D ．63(1)(1)2
k k +++
9．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90︒”，下列假设中正确的是（ ）
A ．假设有两个内角超过90︒
B ．假设有三个内角超过90︒
C ．假设至多有两个内角超过90︒
D ．假设四个内角均超过90︒
10．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图
中⑸，⑹对应的运算是( )
A ．*
B D ，*A D B ．*B D ，*A
C C ．*B C ，*A
D D ．*C D ，*A D
11．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队
D ．任意顺序排队接水的总时间都不变 12．用数学归纳法证明“
1112n n ++++…111()24
n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )
A ．1
2(1)
k +
B ．11
2122
k k +++ C ．
111
21221
k k k +-+++ D ．
1111
212212
k k k k +--++++ 二、填空题
13．已知f (x )＝21
x
x +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.
14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*
()n n S n a n N =-∈，猜想n a =__________．
15．如图是一个三角形数阵，满足第n 行首尾两数均为n ，(),A i j 表示第()2i i ≥行第j 个数，则()100,2A 的值为__________．
16．把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是 .
17．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_____． 18．给出下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则()f x 一定不是R 上的减函数；
②用反证法证明命题“若实数,a b ，满足220a b +=，则,a b 都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设,a b 都不为0”； ③把函数sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移6π
个单位长度，所得到的图象的函数解析式为sin2y x =；
④“0a =”是“函数()()3
2
f x x ax
x R =+∈为奇函数”的充分不必要条件.
其中所有正确命题的序号为__________．
19．下列式子：13=(1×1)2，13+23 +33 =(2×3)2，l 3+23 +33 +43 +53 =(3×5)2， l 3 +23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4×7)2，… 由归纳思想，第n 个式子3333123(21)n +++
+-=________
20．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“•=•”；
②“（m+n ）t=mt+nt”类比得到“（+）•=•+•”； ③“t≠0，mt=nt ⇒m=n”类比得到“≠0，•=•⇒=”； ④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|•|=||•||”．
以上类比得到的正确结论的序号是 _________ （写出所有正确结论的序号）．
三、解答题
21．将下列问题的解答过程补充完整．
依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-+
+++的有限项的表达式，并用数学
归纳法加以证明． 解：计算 11=，
1214++=，
12321++++= ① ， 1234321++++++= ② ，
由此猜想123(1)(1)321n a n n n =+++
+-++-+
+++= ③ ．（*）
下面用数学归纳法证明这一猜想．
（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =+++
+-++-+
+++= ④ ．
那么，当1n k =+时，
1k a += ⑤
k a =+ ⑥
= ⑦ ．
等式也成立．
根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 22．已知数列{}n a 满足1a a =，11
2n n
a a +=-（*n N ∈）； （1）求2a 、3a 、4a ； （2）猜想数列{}n a 的通项公式； （3）用数学归纳法证明你的猜想；
23．数列{}n a 满足()
*2N n n S n a n =-∈.
（1）计算123a a a 、、，并猜想n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 24．记S n =1+2+3+…+n ，T n =12+22+32+…+n 2．
（Ⅰ）试计算
3
12123,,S S S T T T 的值，并猜想n n
S T 的通项公式． （Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n 的通项公式，并用数学归纳法证明之． 25．设数列{}n a 满足关系式：12a p ，2
1
2n
n p a p a （p 是常数）．
(1)求234,,a a a ；
(2)猜想{}n a 的通项公式，并证明． 26．是否存在常数c,使得不等式2222x y x y
c x y x y x y x y
+≤≤+++++对任意正数x, y 恒
成立？试证明你的结论.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】
由题意，列出树形图，如图所示
由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.
【点睛】
本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
2．A
解析：A 【分析】
观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；…
根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】
由图可知，()11f =，
()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=，
()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，
…
()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=
故选A. 【点睛】
此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-
3．C
解析：C 【解析】
分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．
详解：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为1234123411111
()33333
A BCD V S R S R S R S R S S S S R -=+++=+++ 故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查类比推理和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.（2）类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
4．D
解析：D 【解析】
分析:对每一个选项逐一判断得解. 详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则1
12
a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则
21a
b
=>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b c
b c a
<<<，则
3,3a b c a b c b c a b c a ++<++≥=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<
5．B
解析：B 【解析】
分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案
详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），
∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f
1（x ）'
f x x cosx ，
∴f
1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'
f x =e x （cosx ﹣sinx ），
∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f
3（x ）=x sinx ， ∴f
3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f
5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f
7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，
∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin x
e x x -，
故选：B ．
点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
6．A
解析：A
【解析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立. 详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意； 若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意； 若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；
若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意； 故选A.
点睛：本题考查合情推理，属基础题.
7．A
解析：A
【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可. 详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球； 则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．B
解析：B 【解析】
分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++
当1n k =+时，等式左边33333123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3333(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

9．D
解析：D 【解析】
“至少有一个内角不超过90︒”的反面含义为“四个内角没有一个不超过90︒”,即四个内角均
超过90︒,选D.
10．B
解析：B 【解析】
由图知，A 表示圆，B 表示三角形，C 表示竖线，D 表示矩形，()5∴表示B D *，()6表示A C *，故选B.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论 【详解】
事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了
22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t
分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】
一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．
12．C
解析：C 【分析】
分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项． 【详解】 由n=k 时，左边为
111
12k k k k
+++++， 当n=k+1时，左边为
1111123
1(1)(1)
k k k k k k k k +++
++++++++++
所以增加项为两式作差得：111
21221
k k k +-+++，选C. 【点睛】
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
二、填空题
13．【分析】先依次将前几个函数求出来观察其结构即可猜想出【详解】由题可知……可以猜想所以故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用考查数学猜想能力属于基础题
解析：()
20202020
2211
x
x -+. 【分析】
先依次将前几个函数求出来，观察其结构，即可猜想出. 【详解】 由题可知，11122()
()
1
211
x x
f x f x x x ，
2221222
2221()()
21
31211
11
x x x x
x f x f f x f
x
x x x x ，
222
332223
2
22
21122()()
2211
211
1211
x x x x
f x f f x f
x
x x x ， 333
443334
3
22
21122()()
2211
211
1211
x x x x
f x f f x f
x
x x x ， 444
5544454
22
21122()()
2211
211
1211
x x x x
f x f f x f
x
x x x
……
可以猜想2()
211n n n x
f x x ，
所以2020202020202()
211
x
f x x .
故答案为：()
20202020
2211
x
x -+. 【点睛】
本题考查数学归纳法的简单应用，考查数学猜想能力，属于基础题.
14．【解析】分析：令可求得由得两式相减得可依次求出观察前四项找出规律从而可得结果详解：中令可求得由得两式相减得即可得…归纳可得故答案为点睛：归纳推理的一般步骤:一通过观察个别情况发现某些相同的性质二从已
解析：21
2
n n -
【解析】
分析：令1n =，可求得112
a =，由()n n S n a n N *
=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥， 两式相减，得()11
22
n n a a n -+=≥，可依次求出234,,a a a ，观察前四项，找出规律，从而可得结果.
详解：n n S n a =- 中令1n ，=可求得1a =11
121
22-=
由()
n n S n a n N *
=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥，
两式相减，得11n n n a a a -=-+， 即()11
22
n n a a n -+=
≥， 可得222321;42a -==333721;82a -==4341521
;182a -==…
归纳可得212n n n a -=，故答案为21
2
n n -.
点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
15．4951【解析】分析：计算前5行的第二个数字发现其中的规律得出结论详解：设第n 行的第2个数为an 由图可知
a2=2=1+1a3=4=1+2+1a4=7=1+2+3+1a5=11=1+2+3+4+1…归
解析：4951 【解析】
分析：计算前5行的第二个数字，发现其中的规律，得出结论．
详解：设第n 行的第2个数为a n ，由图可知，a 2=2=1+1，a 3=4=1+2+1，a 4=7=1+2+3+1，a 5=11=1+2+3+4+1…归纳可得a n =1+2+3+4+…+（n-1）+1=(1)
2
n n -+1，故第100行第2个数为：
10099
149512
⨯+=，故答案为4951 点睛：本题考查了归纳推理，等差数列和，属于基础题．
16．【解析】把二进制数化为十进制数是应填答案 解析：89
【解析】
把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是
6543012021212001289⨯+⨯+⨯+⨯+++⨯=，应填答案89。

17．甲【详解】分析题意只有一人说假话可知假设只有甲说的是假话即丙考满分则乙也是假话故假设不成立；假设只有乙说的是假话则甲和丙说的都是真话即乙没有得满分丙没有得满分故甲考满分假设只有丙说的是假话即甲和乙说
解析：甲 【详解】
分析题意只有一人说假话可知，
假设只有甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，故假设不成立；
假设只有乙说的是假话，则甲和丙说的都是真话，即乙没有得满分，丙没有得满分，故甲考满分.
假设只有丙说的是假话，即甲和乙说的是真话，即丙说了真话，矛盾，故假设不成立. 综上所述，得满分的是甲.
18．①③【解析】对于①定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)则f(x)在R 上不一定是增函数但f(x)一定不是R 上的减函数；故正确对于②由于ab 全为0(ab ∈R)的否定为：ab 至少有一个不为0故不
解析：①③. 【解析】
对于①定义在R 上的函数f (x )满足f (2)>f (1),则f (x )在R 上不一定是增函数,但f (x )一定不是R 上的减函数；故正确
对于②由于“a 、b 全为0(a 、b ∈R )”的否定为：“a 、b 至少有一个不为0”，故不正确；
对于③把函数2236y sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为y =sin2x ，故正确，
对于④函数()()3
2
f x x ax
x R =+∈为奇函数⇔
f (−x )+f (x )=0⇔2a 2x =0,∀x ∈R ,2a 2x =0⇔a =0.因此“a =0”是“函数()()32
f x x ax x R =+∈为奇函数”的充要条件，故不正确，
故答案为①③．
19．【解析】观察所给等式的特点归纳推理可得：点睛：归纳推理是由部分到整体由特殊到一般的推理由归纳推理所得的结论不一定正确通常归纳的个体数目越多越具有代表性那么推广的一般性命题也会越可靠它是一种发现一般性 解析：2[(21)]n n -
【解析】
观察所给等式的特点，归纳推理可得：()()2
33331232121n n n ⎡⎤+++
+-=-⎣⎦.
点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
20．①②【解析】试题分析：由向量的数量积运算的交换律和分配律可知①②正确∵故③错误；∵|故④错误故应填入①②考点：１向量数量积运算性质；2类比推理
解析：①②． 【解析】
试题分析：由向量的数量积运算的交换律和分配律可知①②正确∵
，故③错误；∵
|，故④错误．故应填
入①②．
考点：１．向量数量积运算性质；2．类比推理．
三、解答题
21．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k +++
+-+++++-+
+++；
⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】
根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】
123219++++=，123432116++++++=，
由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =+++
+-++-++++=，
下面用数学归纳法证明这一猜想．
（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立， 即2123(1)(1)321k a k k k k =+++
+-++-++++=．
当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=+++
+-+++++-+
+++
()2
211k k a k +=+=+，等式也成立．
根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k +++
+-+++++-+
+++；
⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】
本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 22．（1）212a a =-，3232a a a -=-，43243a
a a
-=-；（2）(1)(2)(1)n n n a a n n a ---=--；（3）
证明见解析； 【分析】
（1）根据数列的递推关系式，代入运算，即可求解2a 、3a 、4a ； （2）由（1）可猜想得(1)(2)(1)n n n a
a n n a
---=
--；
（3）利用数学归纳法，即可证得猜想是正确的. 【详解】
（1）由题意，数列{}n a 满足1a a =，11
2n n
a a +=-（*n N ∈）； 所以21
2a a
=
-，2321232a a a a -=-=-，43132243a a a a -==--； （2）由（1）可猜想得(1)(2)(1)n n n a
a n n a
---=
--；
（3）①当1n =时，1a a =，上式成立； ②假设当n k =时，(1)(2)(1)k k k a
a k k a
---=--成立，
则当1n k =+时，
()()()()()()()111
1
122211221k k
k k a a k k a a k k a k k a k k a
+--==
=
--------+-⎡⎤⎣⎦-
-- ()()()()()111211111k k a k k a k ka k k a +--+-⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦==+-+-+-⎡⎤⎣⎦
由①②可得，当n N +
∈时，(1)(2)(1)k k k a
a k k a
---=
--成立，
即数列{}n a 的通项公式为(1)(2)(1)k k k a
a k k a
---=
--.
【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及数学归纳法的证明，其中解答中根据数列的递推公式，准确计算，同时熟记数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
23．(1) 11a =；232a =；374a =；()
*121
N 2
n n n a n --=∈.
(2)证明见解析. 【详解】
分析：（1）将n 进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可. 详解：
（1）当1n =时，1112a S a ==-， ∴11a =；
当2n =时，122222a a S a +==⨯-， ∴232
a =
； 当3n =时，1233323a a a S a ++==⨯-， ∴374
a =
； 由此猜想()
*121
N 2
n n n a n --=∈；
（2）证明：①当1n =时，11a =结论成立，
②假设n k =（1k ≥，且*
N k ∈）时结论成立，即121
2
k k k a --=，
当1n k =+时，()11121k k k k a S S k a +++=-=+- 122k k k k a a a +-+=+-，
∴122k k a a +=+，∴11221
22
k k k k
a a +++-==， ∴当1n k =+时结论成立，
由①②可知对于一切的自然数*
N n ∈，121
2
n n n a --=成立.
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等 24．（Ⅰ）333
1,,;5721
n + （Ⅱ）见解析
【解析】 试题分析：
(1)利用题意求解数列的前3项可得通项公式n n S T =321
n +； (2)利用题意猜想通项公式为()()
1216
n n n n T ++= ，然后利用数学归纳法证明结论即可.
试题 解：（Ⅰ）
猜想：
，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想：
又，
故
（n ∈N *），
证明：①当（Ⅱ）时，左边T 1=1，右边=左边=右边，猜想成
立．
②假设n=k 时，猜想成立．即成立． 则当n=k+1时， =， =
=
，
=
=
，
∴当n=k+1时，猜想也成立． 由①②知对于任意的n ∈N *，均成立．
25．(1)2
3
2a p ，34
3a p ，45
4
a p (2)详见解析
【分析】 (1)本题可根据1
2a p 以及2
1
2n
n p a p a 依次计算出234a a a 、、的值；
(2)首先可根据(1)猜想出1
n
n a p n
，然后先证明1n =时成立，再假设当n k =时成立并证明出当1n k =+时成立，即可得出结果． 【详解】 (1)因为12a p ，所以2213
22p a p
p a ， 所以23
2
4
23
p a p
p a ，243
5
24
p a p
p a ． (2)猜想：1
n
n a p n
，下面用数学归纳法证明， ①当1n =时，11
21
n
a p p ，与题意相符；
②假设n k =时，命题成立，即1
k k a P k
， 则2
21
21211
2211
1
1
k
k
k P Pk
k P k P P k a P
P
P a k p
k k k
故当1n k =+时，命题仍然成立， 综上所述，对任何N n *∈，均有1
n n a P n
，故猜想成立． 【点睛】
本题考查如何利用数列项与项之间的关系求值以及数学归纳法，在使用数学归纳法的过程中，一定要注意在证明当1n k =+时成立的过程中一定要用到当n k =时成立的假设，考查化归与转化思想，是中档题． 26．存在，23
c = 【详解】
主要考查不等关系与基本不等式． 解：当x y =时，由不等式可得23
c =． 下面先证
22
3(2)3(2)2(2)(2)223223+≤⋅+≤⇔+++≤++++++x y x y x x y y x y x y x y x y x y x y x y 222⇔+≥x y xy ，此不等式显然成立．
再证
22
3(2)3(2)2(2)(2)223223+≥⋅+≥⇔+++≥++++++x y x y x x y y x y x y x y x y x y x y x y 222⇔+≥x y xy ，此不等式显然成立．
综上可知，存在常数2
3
c =，使2222+≤≤+++++x y x y c x y x y x y x y 对任意正数x, y 恒
成立．。