2019-2020年高中数学 3.2 二倍角的三角函数教案1 苏教版必修4

2019-2020年高中数学 3.2 二倍角的三角函数教案1 苏教版必修4
●三维目标
1．知识与技能
能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．了解它们
的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换．
2．过程与方法
通过公式的推导过程，使学生认识整个公式体系的形成过程，领会体现出的数学基本思
想和方法，从而提高数学素质．
3．情感、态度与价值观
通过公式推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养学生辩证唯物主义观点．
●重点难点
重点：二倍角公式的推导及运用．
难点：二倍角公式的灵活运用．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于二倍角公式推导的教学
教学时，建议教师先复习和角公式T(α＋β)，S(α＋β)，C(α＋β)，然后令α＝β，利用特殊化的
推理方式，让学生自主推导出二倍角公式；在此基础上借助同角三角函数关系，引导学生得
出C2α的其他两种形式．通过公式推导，让学生进一步体会公式间的密切联系，提高学生熟
练应用公式解题的能力．
2．关于二倍角公式应用的教学
教学时，建议教师处理好以下两点：
(1)强调“倍角”的相对性，打破学生习惯认为只有α与2α才具有二倍角关系．
(2)通过例题教学让学生熟悉公式的正向、逆向和变形运用，特别是余弦公式的变式较多，教学中应适当通过题目强化训练．
●教学流程
创设问题情境，引出问题，如何用α的三角函数表示出sin 2α，cos 2α与tan 2α？⇒
引导学生结合公式Sα＋β、Cα＋β及Tα＋β推导出倍角公式，并探究二倍角余弦公式的变形.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握灵活运用倍角公式进行求值的方法.⇒
通过例2及其变式训练，使学生掌握利用倍角公式解决给值求值问题的求解策略及方法.⇒
通过例3及其变式训练，使学生掌握三角函数式的化简方法及要求.⇒
归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒
完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读 1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
2.会借助同角三角函数的关系导出C 2α的另两
种表示形式．(难点)
3.能利用二倍角公式进行简单的化简、求值和
证明．(重点)
倍角公式
【问题导思】
1．如何利用两角和的正弦和余弦公式推导出sin 2α，cos 2α？ 【提示】 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α，即sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos 2α－sin 2α，即cos 2α＝cos 2α－sin 2α.
2．如何利用两角和的正切公式推导出tan 2α？
【提示】 tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α，即tan 2α＝2tan α
1－tan 2α. (1)sin 2α＝2sin_αcos_α(S 2α)； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；
(3)tan 2α＝2tan α
1－tan 2α(T 2α
).
二倍角的余弦公式的变形
【问题导思】
你还能得到二倍角的余弦公式其他变形吗？
【提示】 利用sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α可变形为cos 2α＝2cos 2α－1或cos 2α＝1－2sin 2α.
cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝1－2sin 2α.
利用倍角公式求值
(1)cos π8cos 3π8；
(2)12－cos 2 π8
； (3)tan π12－1
tan π
12
；
(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
【思路探究】 (1)中两角互余，故可以转化为同角正余弦的积的形式．(2)中的角的倍角为特殊角，故可以用降幂公式解决．(3)式可化为正切倍角公式的形式．(4)中可用公式的
变形：cos α＝sin 2α
2sin α
来解决．
【自主解答】 (1)cos π8cos 3π8＝cos π8sin π
8
＝12sin π4＝24. (2)12－cos 2 π8＝12(1－2cos 2π8)＝－12cos π4＝－24
.
(3)tan π12－1tan π12＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan 2
π122tan π12＝－2×1
tan π6＝－23
3
＝－2 3.
(4)cos 20°cos 40°cos 80°＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·sin 160°2sin 80°＝1
8
.
1．解答本类题关键是抓住公式及其变形式的特征，观察分析题目中具有的与公式相似的结构特征，从而找到解题的切入点．
2．对于倍角公式应做到灵活运用，即根据所给式子的特点构造出倍角形式，正用、逆用或变形用倍角公式进行化简和求值．
求下列各式的值：
(1)2tan 15°1－tan 215°； (2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
【解】 (1)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝3
3. (2)∵sin 10°sin 50°sin 70° ＝sin 20°sin 50°sin 70°2cos 10°
＝sin 20°cos 20°sin 50°2cos 10°
＝sin 40°sin 50°4cos 10°＝sin 40°cos 40°4cos 10°
＝sin 80°8cos 10°＝18
， ∴sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝1
16.
给值求值 (1)已知sin α＋cos α＝1
3，0＜α＜π，求sin 2α的值；
(2)已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，tan(π－β)＝1
2
，求tan(α－2β)的值．
【思路探究】 (1)将已知等式两边平方，利用同角三角函数的基本关系求解；(2)已知α的余弦值和范围可求出tan α的值，利用诱导公式可求出tan β的值，然后利用倍角公式求出tan 2β的值，结合两角差的正切公式求解．
【自主解答】 (1)sin α＋cos α＝13两边同时平方，得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝1
9
，因
为sin 2α＋cos 2＝1，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－8
9
.
(2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝1－－452＝35，tan α＝sin αcos α＝－3
4，
由tan β＝－t an(π－β)＝－12得tan 2β＝2tan β1－tan 2β
＝－11－14
＝－4
3，
所以tan(α－2β)＝
tan α－tan 2β
1＋tan αtan 2β
＝－34－－431＋－34×－
43
＝7
24
.
对于给值求值问题，注意寻找已知式与未知式的联系，有以下两种解题方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
已知sin(π4－x )＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x
cos π
4
＋x
的值．
【解】 原式＝sin π2
＋2x
cos π4
＋x
＝2sin π4＋x ·cos π4＋x
cos π4
＋x
＝2sin(π
4＋x )．
∵sin(π4－x )＝cos(π4＋x )＝513，且0＜x ＜π4，
∴π4＋x ∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x )＝1－cos 2π4＋x ＝1213
，
∴原式＝2×1213＝24
13
.
三角函数式的化简
化简：1＋sin 4α－cos 4α
1＋sin 4α＋cos 4α
.
【思路探究】 本题主要考查二倍角公式的应用．基本思路是能化简成使该分式的分子与分母有公因式进行约分，解法有两种：一是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，cos 4α＝2cos 22α－1，cos 4α＝1－2sin 22α代入进行化简；二是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，1＋cos 4α＝2cos 22α，1－cos 4α＝2sin 22α代入进行化简．
【自主解答】 法一 原式 ＝1＋2sin 2αcos 2α－1＋2sin 22α1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－1 ＝2sin 2αcos 2α＋sin 2α2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α.
法二 原式＝1－cos 4α＋sin 4α
1＋cos 4α＋sin 4α
＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α ＝2sin 2αcos 2α＋sin 2α2cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α.
1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 2．对三角函数式化简结果的一般要求： (1)函数种类最少； (2)项数最少； (3)函数次数最低； (4)能求值的求出值；
(5)尽量使分母不含三角函数； (6)尽量使分母不含根式．
化简：
(1)11＋tan θ－11－tan θ
； (2)2cos 2α－1
2tan π4－αsin 2π4
＋α
.
【解】 (1)原式＝1－tan θ－1＋tan θ1＋tan θ1－tan θ＝－2tan θ
1－tan 2θ＝－tan 2θ.
(2)原式＝cos 2α
2tan π4－αcos 2π2－π4－α
＝cos 2α
2tan π4－αcos 2
π4－α
＝cos 2α2sin π4－αcos π4－α＝cos 2α
sin 2×π4－2α
＝
cos 2α
cos 2α
＝1.
选择公式不恰当致误
已知cos α＋sin α＝
3
3
(0＜α＜π)，求cos 2α的值． 【错解】 ∵(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1
3
，
∴sin 2α＝－2
3
，
∴cos 2α＝±1－sin 22α＝±5
3
.
【错因分析】 利用二倍角公式的变形形式cos 2α＝±1－sin 22α时，忽略了α角的取值范围，导致错解．
【防范措施】 在三角恒等变换中，运用不同的公式有不同的解题过程，若在解题过程中选择恰当的公式，则能使解题过程更严密，不容易出错．
【正解】 ∵(cos α＋sin α)2＋(sin α－cos α)2＝2，
∴(cos α－sin α)2＝2－13＝5
3，
∴cos α－sin α＝±15
3
.
∵cos α＋sin α＝
33， ∴(cos α＋sin α)2＝13，sin αcos α＝－1
3
.
∵0＜α＜π且sin αcos α＝－1
3
＜0，
∴sin α＞0，cos α＜0，
∴cos α－sin α＝－15
3
.
∴cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)
＝－153×33＝－53.
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式
(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α
是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α
6
的二倍角；……
又如α＝2·α2，α2＝2·α
4
，….
(2)公式正用
从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．
(3)公式逆用
异向转移，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．应用时要求对公式特点有一个整体感知．
主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α
2sin α
，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，
2tan α
1－tan 2 α
＝tan 2α.
1．计算1－2sin 2 22.5°的结果等于________．
【解析】 1－2sin 2 22.5°＝cos 45°＝2
2
.
【答案】 2
2
2．(xx·济宁高一检测)已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝4
5
，则tan 2x ＝________.
【解析】 ∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝4
5
，
∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－3
4，
∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x
＝－24
7.
【答案】 －24
7
3．计算：(1)2sin 37.5°·cos 37.5°＝________； (2)sin 267.5°－cos 267.5°＝________；
(3)tan 7.5°1－tan 27.5°
＝________. 【解析】 (1)2sin 37.5°cos 37.5°＝sin 75°＝6＋2
4
.
(2)sin 267.5°－cos 267.5°＝－cos 135°＝2
2
.
(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝1
2
tan 15° ＝2－32.
【答案】 (1)6＋24 (2)2
2 (3)2－32
4．已知sin x 2－2cos x
2
＝0.
(1)求tan x 的值；
(2)求cos 2x
2cos π4
＋x ·sin x
的值．
【解】 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x
2＝2，
∴tan x ＝2tan
x 21－tan
2
x 2
＝2×21－22＝－4
3.
(2)原式＝cos 2x －sin 2x
222cos x －22
sin x sin x
＝cos x －sin x cos x ＋sin x cos x －sin x sin x ＝cos x ＋sin x sin x
＝
1tan x ＋1＝(－34)＋1＝1
4
.
一、填空题
1．cos 2π12－sin 2π
12
＝________.
【解析】 原式＝cos(2×π12)＝cos π6＝3
2
.
【答案】 3
2
2．计算sin 105°cos 75°的值为________．
【解析】 sin 105°cos 75°＝sin(180°－75°)cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝12sin 30°
＝1
4
. 【答案】 1
4
3．若sin α＝1
3
，则cos 2α＝________.
【解析】 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(13)2＝7
9
.
【答案】 7
9
4．若tan(α＋π
4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α
＝________.
【解析】 由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝2
2
，
∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22
.
【答案】 2
2
5．已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则tan θ的值为________．
【解析】 由题意得2tan θ
1－tan 2θ＝－22，
解得tan θ＝－2
2或tan θ＝ 2.
又π＜2θ＜2π，则π
2＜θ＜π，
所以有tan θ＝－2
2.
【答案】 －2
2
6．已知tan θ
2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ
＝________.
【解析】 ∵tan θ
2＝3，∴原式＝2sin 2θ2＋sin θ2cos 2θ2＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2
θ2＋2sin θ2cos θ2＝tan 2θ2＋tan
θ21＋tan
θ2＝tan
θ
2
＝3.
【答案】 3
7．θ是第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ＝________. 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59
， ∴sin 22θ＝89
，又θ为第三象限角， ∴sin θ<0，cos θ<0，
∴sin 2θ＝2sin θcos θ>0，∴sin 2θ＝223
. 【答案】 223
8．若sin 2α＝45，则tan 2α＋1tan 2α＝________. 【解析】 tan 2α＋1tan 2α＝sin 2αcos 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 4α＋cos 4αsin 2αcos 2α
＝sin 2α＋cos 2α2－2sin 2αcos 2α14sin 22α＝1－12sin 22α14
sin 22α ＝1－12×45214×45
2＝174. 【答案】 174
二、解答题
9．(xx·巢湖市质检)已知cos x ＝－255
，x ∈(－π，0)． (1)求sin 2x 的值；
(2)求tan(2x ＋π4
)的值． 【解】 (1)∵cos x ＝－255，x ∈(－π，0)，∴sin x ＝－55
， ∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝45
. (2)由(1)得，tan x ＝sin x cos x ＝12，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43
， ∴tan(2x ＋π4)＝tan 2x ＋tan π41－tan 2x tan π4
＝－7. 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2
)，求sin α及tan α的值． 【解】 由题意得sin 22α＋sin 2αcos α＝1＋cos 2α＝2cos 2α，
∴2sin 2αcos 2α＋sin αcos 2α－cos 2α＝0.
∵α∈(0，π2
)， ∴cos α≠0，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，
即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.
∵sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12
. ∵0＜α＜π2，∴α＝π6，∴tan α＝33
. 11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间[－π6，π2
]上的最大值和最小值． 【解】 (1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x
＝2sin x cos x ＝sin 2x ，
∴函数f (x )的最小正周期为π.
(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3
≤2x ≤π， ∴－32
≤sin 2x ≤1， ∴f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32
.
(教师用书独具)
求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A
＝tan 4A . 【思路探究】 从左边入手，从角的构成看，化4A 为2A ，再化为A ，从函数名称构成
看，化弦为切．从左、右两边的结构看，将左边分式化简为右边的整式形式．
【自主解答】 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝(1－cos 2A 1＋cos 2A
)2＝(2sin 2A 2cos 2A )2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，
∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A
＝tan 4A .
证明恒等式问题的两个原则：
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两
端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后
本着“复角化单角”、“异名化同名”、变换式子结构‘变量集中’”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ
. 【证明】 要证1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ
， 只需证1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ
. 上式：左边＝1－cos 4θ＋sin 4θ1＋cos 4θ＋sin 4θ
＝2sin 22θ＋2sin 2θcos 2θ2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ
＝2sin 2θsin 2θ＋cos 2θ2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ
＝右边． ∴原等式成立．
.。