人教A版高中数学选修2-2 综合测试题4(含答案解析)

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
Ａ．若()0n f x '=，则0()f x 是函数()f x 的极值
Ｂ．若0()f x 是函数()f x 的极值，则()f x 在0x 处有导数 Ｃ．函数()f x 至多有一个极大值和一个极小值
Ｄ．定义在R 上的可导函数()f x ，若方程()0f x '=无实数解，则()f x 无极值 答案：Ｄ
2．复数()z a bi a b =+∈R ，，则2z ∈R 的充要条件是（ ） Ａ．220a b += Ｂ．0a =且0b ≠ Ｃ．0ab =
Ｄ．0a ≠
答案：Ｃ
3．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ） 答案：Ｃ
4．下列计算错误的是（ ） Ａ．π
πsin 0xdx -=⎰
Ｂ．23
=
⎰
Ｃ．π
π22π0
2
cos 2cos xdx xdx -=⎰⎰ Ｄ．π
2πsin 0xdx -=⎰
答案：Ｄ
5．若非零复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则1OZ 与2OZ 所成的角为（ ） Ａ．30°
Ｂ．45°
Ｃ．60°
Ｄ．90°
答案：Ｄ
6．已知两条曲线21y x =-与31y x =-在点0x 处的切线平行，则0x 的值为（ ） Ａ．0 Ｂ．2
3-
Ｃ．０或2
3
-
Ｄ．0或1
答案：Ｃ
7．我们把1，4，9，16，25，这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形（如
下图）．试求第n 个正方形数是（ ）
Ｂ．(1)n n +
Ｃ．2n
Ａ．(1)
n n - Ｄ．2(1)n +
答案：Ｃ 8．342005i i i +++的值为（ ）
Ａ．i - Ｂ．i Ｃ．1 Ｄ．0
答案：Ｃ
9．函数242y x x =-，则y 有（ ） Ａ．极大值为1，极小值为0 Ｂ．极大值为1，无极小值 Ｃ．最大值为1，最小值为0 Ｄ．无极小值，也无最小值 答案：Ａ
10．下列推理合理的是（ ） Ａ．()f x 是增函数，则()0f x '>
Ｂ．因为()a b a b >∈R ，，则22a i b i +>+
Ｃ．ABC △为锐角三角形，则sin sin cos cos A B A B +>+ Ｄ．直线12l l ∥，则12k k = 答案：Ｃ
11．2a b c +>的一个充分条件是（ ） Ａ．a c >或b c > Ｂ．a c >且b c > Ｃ．a c >且b c <
Ｄ．a c >或b c <
答案：Ｂ
12．函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点中心对称，则()f x 在[44]-，上（ ） Ａ．单调递增 Ｂ．单调递减
Ｃ．[40]-，单调递增，[04]，单调递减 Ｄ．[40]-，单调递减，[04]，单调递增 答案：Ｂ
二、填空题 13．设x y ∈R ，且5
11213x y i i i
-=
---，则x y += ． 答案：6-
14．在空间 这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边．（填“不存在”或“存在”） 答案：不存在
15．设()x
f x e =，则4
2
()f x dx -=⎰ ．
答案：24e e +
16．已知：ABC △中，AD BC ⊥于D ，三边分别是a b c ，，，则有cos cos a c B b C =+··；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体P ABC -中，ABC △，PAB PBC PCA ，，△△△的面积分别是123S S S S ，，，，二面角P AB C P BC A P AC B ------，，的度数分别是αβγ，，，则S = ． 答案：123cos cos cos S S S αβγ++ 三、解答题
17．求函数3223211
()32y x a a x a x a =-+++的单调递减区间．
解：2232()()()y x a a x a x a x a '=-++=--， 令0y '<，得2()()0x a x a --<．
（1）当0a <时，不等式解为2a x a <<，此时函数的单调递减区间为2()a a ，． （2）当01a <<时，不等式解为2a x a <<，此时函数的单调递减区间为2()a a ，． （3）当1a >时，不等式解为2a x a <<，此时函数的单调递减区间为2()a a ，．
18．设复数cos sin (cos sin )z i θθθθ=-+，当θ为何值时，z 取得最大值，并求此最大值．
解：z ==
当π
2()4k k θ=-∈Z 时，
z 的最大值为
19．在数列{}n a 中，11
3a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍（n *∈N ）．
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．
解：（1）由已知113a =，12
3(21)n
n a a a a n a n
+++
+=-，分别取2345n =，
，，， 得2111153515a a ===⨯，312111
()145735a a a =+==⨯，
4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199
a a a a a =
+++==⨯， 所以数列的前5项是：113a =，2345111115356399
a a a a ====，，，．
（2）由（1）中的分析可以猜想1
(21)(21)n a n n =-+．
下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，公式显然成立． ②假设当n k =时成立，即1
(21)(21)
k a k k =-+，那么由已知，
得
1231
1(21)1
k k k a a a a a k a k +++++++=++，
即21231(23)k k a a a a k k a ++++
+=+，
所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+， 即1(21)(23)k k k a k a +-=+， 又由归纳假设，得11
(21)(23)(21)(21)
k k k a k k +-=+-+，
所以11
(21)(23)
k a k k +=
++，即当1n k =+时，公式也成立．
由①和②知，对一切n *∈N ，都有1
(21)(21)
n a n n =
-+成立．
20．如图，在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为1
12
，试求： （1）切点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程．
解：设切点00()A x y ，，由2y x '=，过A 点的切线方程为
0002()y y x x x -=-，即2
00
2y x x x =-． 令0y =，得02x x =
，即002x C ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
． 设由曲线过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，
0233
0001133
x x ABC AOB AOB S S S S x dx x x =-===⎰△曲边△曲边△，|，
2300001112224
ABC x S BC AB x x x ⎛
⎫=
=-= ⎪⎝⎭△··．
即3330001111341212
S x x x =-==．
所以01x =，从而切点(11)A ，，切线方程为21y x =-．
21．由于某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为
10
x
），涨价后商品卖出的个数减少bx 成，税率是新价的a 成，这里a ，b 均为常数，且10a <，用A 表示过去定价，B 表示卖出的个数． （1）设售货款扣除税款后，剩余y 元，求y 关于x 的函数解析式； （2）要使y 最大，求x 的值．
解：（1）定价上涨x 成，即为110x A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，卖出的个数为110bx B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，纳税a 成后，剩余
111101010x bx a y AB ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
（2）上式整理得2111101001010a b b y AB x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=--
+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 当111050
1010a b b y AB x ⎛
⎫⎡⎤'=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，
令0y '=，则5(1)
b x b -=时，
2max (1)1104a b y AB b +⎛
⎫=- ⎪⎝⎭·．
22．已知函数23()()()2f x x x a a ⎛
⎫=++∈ ⎪⎝
⎭R ．
（1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的范围；
（2）若(1)0f '-=，（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明对任意的1x ，2(10)x ∈-，，不等式
125
()()16
f x f x -<
恒成立． 解：3233
()22f x x ax x a =+++∵，
23
()322
f x x ax '=++∴．
（1）∵函数()f x 的图象有与x 轴平行的切线， ()0f x '=∴有实数解．
则2344302a ∆=-⨯⨯≥，29
2
a ≥，
所以a 的取值范围是322⎛⎡⎫--+ ⎪⎢⎝⎣⎭，
，∞∞． （2）(1)0f '-=∵，
33202a -+
=∴，9
4
a =， 329327
()428
f x x x x =+++
∴．
()2931()331222f x x x x x ⎛
⎫'=+
+=++ ⎪⎝
⎭∴， （Ⅰ）由()0f x '>得1x <-或1
2x >-；
由()0f x '<得1
12
x -<<-，
()f x ∴的单调递增区间是(1)--，∞，12⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，∞； 单调减区间为112⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，．
（Ⅱ）易知()f x 的极大值为25
(1)8f -=，()f x 的极小值为149
216f ⎛⎫-=
⎪⎝⎭
， 又27
(0)8
f =
， ()f x ∴在[10]-，上的最大值278M =
，最小值4916
m =． ∴对任意12(1
0)x x -，，，恒有1227495
()()81616
f x f x M m -<-=-=． 高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一． 选择题（每小题5分，共60分）
1.若复数i
i z -+
+=12
)1(2
，则z 的虚部等于[ ] A.1 B.3 C.i D.i 3
2.)(x f 和)(x g 是R 上的两个可导函数，若)('
x f =)('
x g ，则有[ ]
A.)()(x g x f =
B.)()(x g x f +是常数函数
C.0)()(==x g x f
D.)()(x g x f -是常数函数
3.一个物体的运动方程是x t t s +=cos 3（x 为常数），则其速度方程为[ ] A.1sin 3cos 3+-=t t t v B.t t t v sin 3cos 3-= C.t v sin 3-= D.t t t v sin 3cos 3+=
4.设复数z 满足
i z
z
=+-11，则|1|z +的值等于[ ] A.0 B.1 C.2 D.2
5.定积分
⎰
20
cos sin π
xdx x 的值等于[ ]
A.1
B.
21 C.4
1
D.0 6.已知b a ,是不相等的正数，2
b a x +=
，b a y +=，则y x ,的大小关系是[ ]
A.y x >
B.y x <
C.y x 2>
D.不确定
7.若函数1
62+=
x x
y ，则其[ ] A.有极小值3-，极大值3 B.有极小值6-，极大值6 C.仅有极大值6 D.无极值 8.已知复数z 的模等于2，则||i z -的最大值等于[ ]
A.1
B.2
C.5
D.3 9.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示， 则)(x f y =的图象最有可能的是
[ ]
10.若2)11()11(
=+-+-+n
n i
i i i ，则n 的值可能为[ ] A.4 B.5 C.6 D.7
11.若函数x x x f 12)(3
-=在区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是[ ] A.3-≤k 或11≤≤-k 或3≥k B.13-<<-k 或31<<k C.22<<-k D.不存在这样的实数k 12.定义复数的一种运算1212||||
*2
z z z z +=
(等式右边为普通运算),若复数z a bi =+,且实数a,b 满足3a b +=,则*z z 最小值为[ ]
A.
92
B.2
C.32
D.9
4
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13.设复数2
1
21,3,1z z z i z i z =
+=
-=则在复平面内对应的点位于第—————象限. 14.方程04962
3
=-+-x x x 实根的个数为————————.
15.已知函数c bx ax x x f +++=2
3
)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，
有以下命题：①f （x ）的解析式为：x x x f 4)(3
-=，∈x [-2，2]；②f （x ）的极值点有且仅有一个；③
f （x ）的最大值与最小值之和等于零.其中正确的命题是——————————.
16.仔细观察下面4个数字所表示的图形：
请问：数字100所代表的图形中有 方格
三. 解答题（共74分）
17.设复数i
i i z +-++=2)1(3)1(2，若i n mz z +=++12，求实数m ，n 的值.
18.若函数x ax x x f 22
1ln )(2
--
=存在单调递减区间，求实数a 的取值范围. 19.观察给出的下列各式：（1）110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 0
=⋅+⋅+⋅；（2）
15tan 70tan 70tan 15tan 15tan 5tan 000000=⋅+⋅+⋅.由以上两式成立，你能得到一个什么的推广？证
明你的结论. 20.满足Z
Z 5
+
是实数，且Z+3的实部与虚部互为相反数的虚数Z 是否存在？若存在，求出虚数Z ；若不存在，请说明理由.
21.已知函数f(x)=(x 2
+
2
3
)(x+a)(a ∈R).(1)若函数f(x)的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的范围；(2)若'f (-1)=0,(I)求函数f(x)的单调区间；（II ）证明对任意的x 1、x 2∈(-1,0),不等式|f(x 1)-f(x 2)|<16
5
恒
成立.
22.已知函数mx x x f +-=)2ln()(在区间)1,0(上是增函数.（1）求实数m 的取值范围；（2）若数列{}
n a 满足)()2ln(),1,0(11*
+∈+-=∈N n a a a a n n n ，证明：101<<<+n n a a .
参考答案
一. 选择题
1.B
2.D
3.B
4.C
5.B
6.B
7.A
8.D
9.C 10.A 11.B 12.B 二. 填空题 13.四 14.2
15.（1）（3） 16.20201 三. 解答题
17.解析：i i i i i i i i i i i i i z -=-+--=+-=+-+=+-++=
1)
2)(2()
2)(3(2323322)1(3)1(2，将i z -=1代入i n mz z +=++12，得i n i m i +=+-+-1)1()1(2，所以i i m n m +=+-+1)2()(
于是⎩⎨
⎧=+-=+.
1)2(,
1m n m 得4,3=-=n m .
18.解析：由于.1
221)(2'
x
x ax ax x x f -+-
=--=因为函数f (x )存在单调递减区间，所以)('x f <0有解.
又因为函数的定义域为),0(+∞，则ax 2
+2x －1>0应有x >0的解.①当a >0时，y=ax 2
+2x －1为开口向上的抛物线，ax 2
+2x －1>0总有x >0的解；②当a <0时，y=ax 2
+2x －1为开口向下的抛物线，而ax 2
+2x －1>0总有
x >0的解，则△=4+4a >0,且方程ax 2
+2x －1=0至少有一正根.此时，－1<a <0.综上所述，a 的取值范围为（－
1，0）∪（0，+∞）.
19.解析：可以观察到：0
9070155,90602010=++=++，故可以猜想此推广式为：若
2
π
γβα=
++，且
γ
βα,,都不等于
)
(2
Z k k ∈+
π
π，则有
1t a n
t a n t a n t a n t a n t
a n =⋅+⋅+⋅γβγββα. 证明如下：由2
π
γβα=
++得γπ
βα-=
+2，所以γγπ
βαcot )2
tan()tan(=-=+，又因为
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+，所以)tan tan 1(cot )tan tan 1)(tan(tan tan βαγβαβαβα-=-+=+
所以1tan tan cot )tan tan 1(tan tan tan tan tan tan tan =+-=⋅+⋅+⋅βαγβαγγβγββα.
20.解析：设存在虚数Z=x+yi （x 、y ∈R 且y ≠0）。

.)5(5552
222i y x y
y y x x x yi x yi x z z +-+++=+++=+ 由已知得⎪⎩
⎪⎨⎧
-=+=+-y
x y x y y 3052
2，因为 ⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=+=+∴≠1221.3,5,022y x y x y x y x y 或解之得
.221满足以上条件或存在虚数i Z i Z --=--=∴
21.解析：
3233()22f x x ax x a =++
+，23'()322
f x x ax ∴=++ ⑴
函数()f x 的图象有与x 轴平行的切线，'()0f x ∴=有实数解
2
344302a ∆=-⨯⨯
≥则，292
a ≥，
所以a 的取值范围是3
[22-∞+∞（，）
………………………………………4分 ⑵'(1)0f -=，33202a ∴-+=，94a =，2
931'()33()(1)222
f x x x x x ∴=++=++
（Ⅰ）由'()01f x x ><-得或12x >-；由1
'()012f x x <-<<-得
()f x ∴的单调递增区间是1(,1),(,)2-∞--+∞；单调减区间为1
(1,)2--……………8分
（Ⅱ）易知()f x 的最大值为25(1)8f -=，()f x 的极小值为149()216f -=，又27
(0)8f =
()f x ∴在[10]-，上的最大值278M =，最小值4916
m = ∴ 对任意12,(1,0)x x ∈-，恒有1227495
|()()|81616
f x f x M m -<-=-=.
22.解析：（1）m x
x f +--=21)('
，由于)(x f 在区间)1,0(上是增函数，所以0)('>x f ，即
021>+--m x 在)1,0(上恒成立，所以x m ->21，而121
21<-<x
，所以1≥m .
（2）由题意知，当n=1时，)1,0(1∈a .假设当n=k 时有)1,0(∈k a ，则当n=k+1时，
02ln )2ln(1>>+-=+k k k a a a ，且12ln )2ln(1<>+-=+k k k a a a （由（1）问知x
x x f +-=)2ln()(在区间)1,0(上是增函数）.所以当n=k+1时命题成立，故*
∈<<N n a n ,10.又因为
0)2l n (1>-=-+n n n a a a ，所以101<<<+n n a a .。