高一数学必修三必修五综合测试(期末)

高一数学必修三必修五综合(二)
一、选择题
1．数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，a n+2=a n+1﹣a n ，那么a 5=〔 〕 A ．6
B ．﹣6
C ．3
D ．﹣3
2．在等差数列{a n }中，假设a 2=2，a 5=5，那么数列{a n }的通项公式为〔 〕 A ．a n =n B ．a n =2n
C ．a n =n ﹣1
D ．a n =2n ﹣1
3．不等式x 〔1﹣3x 〕＞0的解集是〔 〕 A ．〔﹣∞，〕 B ．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕
C ．〔，+∞〕
D ．〔0，〕
4．x ，y 满足约束条件，那么z=2x+y 的最大值为〔 〕
A ．3
B ．﹣3
C ．1
D ．
5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的对边长分别为a 、b 、c ，sinA 、sinB 、sinC 成等比数列，且c=2a ，那么cosB 的值为〔 〕 A ．
B ．
C ．
D ．
6．a ＜0，﹣1＜b ＜0，那么〔 〕 A ．a ＞ab ＞ab 2
B ．ab 2＞ab ＞a
C ．ab ＞a ＞ab 2
D ．ab ＞ab 2＞a
7．等差数列中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78，那么此数列前20项和等于〔 〕 A ．160 B ．180 C ．200 D ．220
8．等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1， a 3，2a 2成等差数列，那么=〔 〕
A ．1
B ．3
C ．6
D ．9
9．假设x ，y ∈R +，且2x+8y ﹣xy=0，那么x+y 的最小值为〔 〕 A ．12 B ．14 C ．16 D ．18
10．等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9=2a 52，a 2=2，那么a 1=〔 〕 A ．
B ．
C ．
D ．2
11．数列{a n } 的前n 项和S n =3n ﹣2，n ∈N *，那么〔 〕 A ．{a n }是递增的等比数列B ．{a n }是递增数列，但不是等比数列 C ．{a n }是递减的等比数列D ．{a n }不是等比数列，也不单调 12．不等式x 2+2x ＜
对任意a ，b ∈〔0，+∞〕恒成立，那么实数x 的取值围是〔 〕
A 〔﹣2，0〕
B 〔﹣∞，﹣2〕∪〔0，+∞〕
C 〔﹣4，2〕
D 〔﹣∞，﹣4〕∪〔2，+∞〕 二、填空题
13．一个工厂有假设干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天生产的1024件产品中抽取一个容量为64的样本进展质量检查．假设某车间这一天生产128件产品，那么从该车间抽取的产品件数为． 14．S n 为等差数列a n 的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1那么a 5=． 15．设a ＞0，b ＞0，假设a+b=4，那么的最小值为．
16．如图，在一个半径为3，圆心角为
3
的扇形画一个切圆， 假设向扇形任投一点，那么该点落在该切圆的概率是 三、解答题
17．三角形ABC 中，BC=7，AB=3，且．
〔Ⅰ〕求AC ；〔Ⅱ〕求∠A．
18．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=S n 〔n ∈N *〕． 〔1〕求a 2，a 3，a 4的值；〔2〕求数列{a n }的通项公式．
19．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图〔如下列图〕．
〔1〕根据频率分布直方图完成以上表格；
〔2〕用组中值估计这10 000人月收入的平均值；
〔3〕为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，那么在［2000，3500〕〔元〕月收入段应抽出多少人？
20．某种产品有一等品、二等品、次品三个等级，其中一等品和二等品都是正品．现有6件该产品，从中随机抽取2件来进展检测．
〔1〕假设6件产品中有一等品3件、二等品2件、次品1件．
①抽检的2件产品全是一等品的概率是多少？
②抽检的2件产品中恰有1件是二等品的概率是多少？
〔2〕如果抽检的2件产品中至多有1件是次品的概率不小于4
5
，那么6件产品中次品最多有多少件？
一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，a n+2=a n+1﹣a n ，那么a 5=〔 〕 A ．6
B ．﹣6
C ．3
D ．﹣3
【考点】数列递推式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用递推关系即可得出．
【解答】解：∵数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，a n+2=a n+1﹣a n ， ∴a 3=a 2﹣a 1=3，同理可得：a 4=3﹣6=﹣3，a 5=﹣3﹣3=﹣6． 应选：B ．
【点评】此题考察了递推关系，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．在等差数列{a n }中，假设a 2=2，a 5=5，那么数列{a n }的通项公式为〔 〕 A ．a n =n B ．a n =2n
C ．a n =n ﹣1
D ．a n =2n ﹣1
【考点】等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设出等差数列的公差，由a 2=2，a 5=5列式求得公差，代入a n =a m +〔n ﹣m 〕d 得答案． 【解答】解：在等差数列{a n }中，设公差为d ， 那么a 5=a 2+3d ， ∵a 2=2，a 5=5，
∴5=2+3d，解得：d=1．
∴a n =a 2+〔n ﹣2〕d=2+1×〔n ﹣2〕=n ．
应选：A ．
【点评】此题考察了等差数列的通项公式，在等差数列中，假设给出任意一项a m ，那么a n =a m +〔n ﹣m 〕d ，是根底题．
3．不等式x 〔1﹣3x 〕＞0的解集是〔 〕 A ．〔﹣∞，〕 B ．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕 C ．〔，+∞〕 D ．〔0，〕
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．
【分析】根据不等式x 〔1﹣3x 〕＞0对应的方程以及二次函数的关系，即可写出该不等式的解集． 【解答】解：不等式x 〔1﹣3x 〕＞0对应的方程x 〔1﹣3x 〕=0的两个实数根为0和， 且对应二次函数y=x 〔1﹣3x 〕的图象开口向下， 所以该不等式的解集为〔0，〕． 应选：D ．
【点评】此题主要考察二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于根底题．
4．x ，y 满足约束条件，那么z=2x+y 的最大值为〔 〕
A ．3
B ．﹣3
C ．1
D ．
【考点】简单线性规划． 【专题】计算题．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【解答】解：作图 易知可行域为一个三角形，
当直线z=2x+y 过点A 〔2，﹣1〕时，z 最大是3， 应选A ．
【点评】本小题是考察线性规划问题，此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于根底题．
5．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，那么cosB的值为〔〕
A．B．C．D．
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．
【专题】解三角形．
【分析】利用等比数列的性质，结合正弦定理可得b2=ac，再利用c=2a，可得，利用
cosB=，可得结论．
【解答】解：∵sinA、sinB、sinC成等比数列，
∴sin2B=sinAsinC，
∴由正弦定理可得b2=ac，
∵c=2a，∴，
∴cosB===．
应选B．
【点评】此题考察正弦定理、余弦定理的运用，考察等比数列的性质，考察学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．
6．a ＜0，﹣1＜b ＜0，那么〔 〕 A ．a ＞ab ＞ab 2
B ．ab 2＞ab ＞a
C ．ab ＞a ＞ab 2
D ．ab ＞ab 2＞a
【考点】不等关系与不等式． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】根据题意，先确定最大的数ab ＞0，再确定最小的数a ，从而得出正确的结论． 【解答】解：∵a＜0，﹣1＜b ＜0时， ∴ab＞0，1＞b 2＞0， ∴0＞ab 2＞a ， ∴ab＞ab 2＞a ． 应选：D ．
【点评】此题考察了不等式的性质的应用问题，解题时应根据题意，确定每个数值的大小，也可以用特殊值法进展判断，是根底题．
7．等差数列中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78，那么此数列前20项和等于〔 〕 A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题．
【分析】先根据a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78可得到a 1+a 20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．
【解答】解：∵a 1+a 2+a 3=﹣24，a 18+a 19+a 20=78 ∴a 1+a 20+a 2+a 19+a 3+a 18=54=3〔a 1+a 20〕 ∴a 1+a 20=18 ∴=180
应选B
【点评】此题主要考察等差数列的前n 项和公式的应用．考察等差数列的性质．
8．等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1， a 3，2a 2成等差数列，那么=〔 〕
A ．1
B ．3
C ．6
D ．9
【考点】等差数列与等比数列的综合． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，〔q ＞0〕，由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得．
【解答】解：设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，〔q ＞0〕 由题意可得2×a3=3a 1+2a 2，即q 2﹣2q ﹣3=0， 解得q=﹣1〔舍去〕，或q=3， 故=
=q 2=9．
应选：D ．
【点评】此题考察等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属根底题．
9．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，那么等于〔 〕
A ．11
B ．5
C ．﹣8
D ．﹣11
【考点】等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得数列的公比q ，代入求和公式化简可得． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，〔q≠0〕 由题意可得8a 2+a 5=8a 1q+a 1q 4=0，解得q=﹣2，
故====﹣11
应选D
【点评】此题考察等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．
10．等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9=2a 52，a 2=2，那么a 1=〔 〕 A ．
B ．
C ．
D ．2
【考点】等比数列的通项公式． 【专题】计算题．
【分析】设公比为q ＞0，由题意可得=2
，a 1q=2，由此求得a 1的值．
【解答】解：设公比为q ＞0，由题意可得=2
，a 1q=2，
解得 a 1==q ，
应选C ．
【点评】此题主要考察等比数列的通项公式的应用，属于根底题．
11．数列{a n } 的前n 项和S n =3n ﹣2，n ∈N *，那么〔 〕 A ．{a n }是递增的等比数列
B ．{a n }是递增数列，但不是等比数列
C ．{a n }是递减的等比数列
D ．{a n }不是等比数列，也不单调
【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由数列的前n 项和，分别求出a 1及n≥2时的通项公式，经历证数列从第二项起构成首项是6，公比为3的等比数列，所以得到结论数列{a n }是递增数列，但不是等比数列． 【解答】解：由S n =3n ﹣2，当n=1时，．
当n≥2时， =2•3n ﹣1．
n=1时上式不成立．
所以．
因为a 1=1，a 2=6， 当n≥2时，
．
所以数列{a n } 从第二项起构成首项是6，公比为3的等比数列． 综上分析，数列{a n }是递增数列，但不是等比数列． 应选B ．
【点评】此题考察了等比数列的通项公式，考察了数列的函数特性，对于给出了前n 项和求通项的问题，一定要讨论n=1和n≥2两种情形，此题是根底题．
12．不等式x 2+2x ＜对任意a ，b ∈〔0，+∞〕恒成立，那么实数x 的取值围是〔 〕
A ．〔﹣2，0〕
B ．〔﹣∞，﹣2〕∪〔0，+∞〕
C ．〔﹣4，2〕
D ．〔﹣∞，﹣4〕∪〔2，
+∞〕
【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】计算题；不等式的解法及应用． 【分析】由，只需x 2+2x 小于
的最小值即可，可利用根本不等式求出最小值．
【解答】解：对任意a ，b ∈〔0，+∞〕，，所以只需x 2+2x ＜8
即〔x ﹣2〕〔x+4〕＜0，解得x ∈〔﹣4，2〕 应选C
【点评】此题考察不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．
二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕 13．如图，从高为
米的气球〔A 〕上测量铁桥〔BC 〕的长，如果测得桥头B 的俯角是60°，
桥头C 的俯角是30°，那么桥BC 长为 400 米．
【考点】解三角形．
【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．
【分析】由条件求出∠DAB 的大小，结合AD=200，通过解直角三角形求出AB 的长度，在等腰三角形ABC 中，由腰长相等得BC 的长度．
【解答】解：如图，
由∠EAB=60°，得∠DAB=30°，在Rt△ADB 中，∵AD=200，∠DAB=30°，
∴AB=400．
又∠EAC=30°，∴∠ACB=30°．
∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠BAC=30°．
在△ABC 中，∵∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=400．
故答案为：400．
【点评】此题考察了解三角形的实际应用，关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．
14．S n 为等差数列a n 的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1那么a 5= ﹣1 ．
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由S 2=S 6，a 4=1，先求出首项和公差，然后再求a 5的值．
【解答】解：由题设知，
∴a 1=7，d=﹣2，
a
=7+4×〔﹣2〕=﹣1．
5
故答案为：﹣1．
【点评】此题考察等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
15．设a＞0，b＞0，假设a+b=4，那么的最小值为．
【考点】根本不等式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．
【分析】由得=，由此利用均值定理能求出的最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=4，
∴==++≥+2=．
当且仅当时取等号，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点评】此题考察代数式和的最小值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．
16．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，且〔1﹣b〕〔sinA+sinB〕=〔c﹣b〕sinC，那么△ABC周长的取值围为〔2，3]．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】方程思想；转化思想；解三角形．
【分析】a=1，〔1﹣b〕〔sinA+sinB〕=〔c﹣b〕sinC，可得〔a﹣b〕〔sinA+sinB〕=〔c﹣b〕sinC，由正弦定理可得：〔a﹣b〕〔a+b〕=〔c﹣b〕c，利用余弦定理可得A，再利用正弦定理即可得出．【解答】解：在ABC中，∵a=1，〔1﹣b〕〔sinA+sinB〕=〔c﹣b〕sinC，
∴〔a﹣b〕〔sinA+sinB〕=〔c﹣b〕sinC，
由正弦定理可得：〔a﹣b〕〔a+b〕=〔c﹣b〕c，
化为：b2+c2﹣a2=bc．
∴cosA==，A∈〔0，π〕，
∴A=．
由正弦定理可得：==，
∴b=sinB，c=sinC，
∴△ABC周长
=1+b+c=1+sinB+sinC=1+=1+2，
∵B∈，∴∈，
∴∴△ABC周长的取值围是〔2，3]．
故答案为：〔2，3]．
【点评】此题考察了正弦定理余弦定理、和差化积、三角函数求值，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．三角形ABC中，BC=7，AB=3，且．
〔Ⅰ〕求AC；
〔Ⅱ〕求∠A．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题．
【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理，根据正弦值之比得到对应的边之比，把AB的值代入比例式即可求出AC的值；
〔Ⅱ〕利用余弦定理表示出cosA，把BC，AB及求出的AC的值代入求出cosA的值，由A为三角形的角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】解：〔Ⅰ〕由AB=3，根据正弦定理得：
〔Ⅱ〕由余弦定理得：，所以∠A=120°．
【点评】此题考察了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解此题的关键．
18．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=S n 〔n ∈N *〕．
〔1〕求a 2，a 3，a 4的值；
〔2〕求数列{a n }的通项公式．
【考点】数列递推式；等比关系确实定．
【专题】点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】〔1〕根据a n+1=S n ，分别令n=1，2，3即可求得a 2，a 3，a 4的值；
〔2〕由a n+1=S n ，得，两式相减可得数列递推式，由递推式可判断{a n }从第2项起，以后各项成等比数列，从而得通项公式；
【解答】解：〔1〕∵a n+1=S n ， ∴==， ∴=， ∴==； 〔2〕∵a n+1=S n ，∴
， 两式相减得：
=， ∴，
∴数列{a n }从第2项起，以后各项成等比数列，
， 故数列{a n }的通项公式为．
【点评】此题考察由数列递推公式求数列通项公式，解决〔2〕问关键是明确关系式：
．
19．{a n }，是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2﹣6x+8=0的根．
〔Ⅰ〕求{a n }的通项公式；
〔Ⅱ〕求数列{}的前n 项和．
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】〔Ⅰ〕由题意列式求出a 2，a 4，代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案；
〔Ⅱ〕把等差数列的通项公式代入数列{}，然后由错位相减法求其和．
【解答】解：〔Ⅰ〕在递增等差数列{a n }中，
∵a 2，a 4是方程x 2﹣6x+8=0的根，那么 ，解得． ∴d=．
∴a n =a 2+〔n ﹣2〕×d=2+n﹣1=n+1； 〔Ⅱ〕∵=， ∴{}的前n 项和：
①，
②， ①﹣②得： =1+．
∴．
【点评】此题考察了等差数列的通项公式，考察了错位相减法求数列的和，是中档题．
20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．
〔1〕求角B的大小；
〔2〕如果b=2，求△ABC面积的最大值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】三角函数的求值；解三角形．
【分析】〔1〕等式利用正弦定理化简，求出tanB的值，即可确定出B的度数；
〔2〕利用余弦定理表示出cosB，将b与cosB的值代入，整理得到关系式，利用根本不等式化简求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
【解答】解：〔1〕等式=，由正弦定理得=，即tanB=，
∴B=；
〔2〕∵b=2，cosB=，
∴cosB==，
∴a2+c2=ac+4，
又∴a2+c2≥2ac，
∴ac≤4，当且仅当a=c取等号，
∴S=acsinB≤，
=．
那么△ABC为正三角形时，S
max
【点评】此题考察了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解此题的关键．21．小于年初支出50万元购置一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，假设该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元〔国家规定大货车的报废年限为10年〕．
〔1〕大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
〔2〕在第几年年底将大货车出售，能使小获得的年平均利润最大？〔利润=累计收入+销售收入﹣总支出〕
【考点】根据实际问题选择函数类型；根本不等式．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】〔1〕求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； 〔2〕利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用根本不等式，可得结论．
【解答】解：〔1〕设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 那么y=25x ﹣[6x+x 〔x ﹣1〕]﹣50=﹣x 2+20x ﹣50〔0＜x≤10，x ∈N 〕
由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣5
＜x ＜10+5 ∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
〔2〕∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出， ∴二手车出售后，小的年平均利润为
=19﹣〔x+〕≤19﹣10=9 当且仅当x=5时，等号成立
∴小应当在第5年将大货车出售，能使小获得的年平均利润最大．
【点评】此题考察函数模型的构建，考察根本不等式的运用，考察学生的计算能力，属于中档题．
22．在递增等差数列{a n }中，a 1=2，a 3是a 1和a 9的等比中项．
〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式；
〔Ⅱ〕假设b n =，S n 为数列{b n }的前n 项和，是否存在实数m ，使得S n ＜m 对于任意的n ∈N +恒成立？假设存在，请数m 的取值围，假设不存在，试说明理由．
【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】〔I 〕利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． 〔Ⅱ〕存在．由于b n ==，利用“裂项求和〞方法即可得出．
【解答】解：〔Ⅰ〕由{a n }为等差数列，设公差为d ，那么a n =a 1+〔n ﹣1〕d ，
∵a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴=a 1•a 9，即〔2+2d 〕2=2〔2+8d 〕，
解得d=0〔舍〕或d=2，
∴a n =2+2〔n ﹣1〕=2n ． 〔Ⅱ〕存在．
b n ==，
∴数列{b n }的前n 项和S n =+…+=， ∴存在实数m ，使得S n ＜m 对于任意的n ∈N +恒成立．
【点评】此题考察了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和〞、“放缩法〞，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．。