3几何晶体学

X
无， 2，m
底对 角线
面对 角线
6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm
23,m3,432, `43m, m`3m
立方 2,m,4, `4
X
3,`3
体对 无， 2，m 角线
点群符号含义 1. 熊夫利斯(Schoenfilies)记号：
大写字母：C代表旋转群（Cyclic group） D代表双面群（Dihedral group） S代表反轴群（Spiegelachse(德文) group） T代表四面体群（Tetrahedral group） O代表八面体群（Octahedral group） 小写字母：n代表主对称轴轴次 i代表对称中心（inversion，反演） s代表镜面（spiegel，德文镜面） v代表通过主轴的镜面（vertical mirror plane） h代表与主轴垂直的水平镜面（horizontal mirror plane） d代表等分二个副轴的交角的镜面（diagonal mirror plane）
无
Z轴总是平行于唯一的4次旋转（反演）轴， 无 X和Y轴相互垂直，并都与Z轴成直角。
六方/三方
Z轴总是平行于唯一的3次或6次旋转（反演） 在三方晶系，三次轴选为 轴，X和Y轴都垂直于Z轴，并相互间交角 初基单胞的对角线，则 为120 。 a=b=c,== 90。
晶轴总选为平行于三个相互垂直的2次轴或4 无 次轴，而四个三次轴平行于平行于立方晶胞 的体对角线。
2. 国际符号：
由各晶系特定取向上的对称元素符号按着规定的顺序排列而成。 各晶系的特定取向和排列顺序列于表中。 点群国际符号中的对称元素与各晶系特定取向关系为：对称轴与 取向平行，对称面与特定取向垂直，若在同一取向上同时存在相 关的几次对称轴和对称面，则记为n/m。 举例：4/m2/m2/m 其特征对称元素是一个四次轴，所以该点群属于正方晶系。 沿[001]取向有一个四次轴，一个对称面与[001]取向正交；沿 <100>取向有两个二次轴，有二个对称面与<100>取向正交；沿 <110>取向有两个二次轴，有两个对称面与<110>取向正交。 在32个晶体点群中，对称元素排布的极射赤面投影图，如图所示。 其中11个具有对称中心的点群称为劳埃（Laue）对称群。
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
32个点群
230个空间群
230种空间群
将32种点群与14种布拉菲点阵（平移群）相结合， 同时考虑由平移特性而派生的微观对称元素螺旋轴和 滑移面，于是晶体结构中的对称轴既可以是旋转轴， 也可以是螺旋轴，同样，对称面也可以是滑移面。这
样在晶体结构空间就能组成更多种空间对称群。根据
3.2 晶系划分
晶系：按照晶胞的特征对称 元素可以分成7个不同类 型，称为晶系。 晶系 三斜 特征对称元素 无或反演中心
单斜
正交 三方 四方 六方 立方
唯一的2次轴或镜面
三个相互垂直的2次旋转 轴或反轴。 唯一的3次旋转轴或反轴。 唯一的4次旋转轴或反轴。 唯一的6次旋转轴或反轴。 沿晶胞体对角线的四个3 次旋转轴或反轴
a. 反映：晶体表面或内部每一个点通过该物体中的一
个平面反映，在平面的另一方同等距离处都能找到 相同的的点，这种变换称为反映。 对称元素：对称面，用m表示。如一个立方体中有9 个对称面。
b、旋转：晶体绕某一轴线旋转360的过程中，其中的每 一点恢复原来状态数次，这种对称变换称为旋转。 对称元素：旋转轴。由于晶体的周期性，旋转轴只有 一次、二次、三次、四次、六次，分别 用1、2、3、4、6表示。
所以，晶体中有1、2、3、4、6、m、i、-4共八种 独立的宏观对称元素。
3. 布拉菲点阵（Bravais Lattice）与晶系 （Crystal System）
3.1 布拉菲点阵
阵胞可以有各种不同的选取方式。只是为了表达空间点阵的 周期性，则一般应选取体积最小的平行六面体作为阵胞（即 简单阵胞），但为了使阵胞能同时反应出空间点阵的对称性， 只选简单阵胞不能满足要求。如何选？ 阵胞选取原则：（1）所选阵胞要完全反应出空间点阵的最 高对称性；（2）在满足（1）的基础上所选阵胞的平面角要 尽可能等于直角；（3）在满足（1）、（2）的基础上所选 阵胞的体积要尽可能小。 根据上述三条原则选取的空间点阵阵胞只能有14种，称为14 种布拉菲点阵。
点群符号的取向和顺序
晶 系 第一符号 a c a c 第二符号 a+b+c a b a 第三符号 a+b a+b c 2a+b
立方晶系 正方晶系 斜方晶系 菱方和六方晶系
单斜晶系
三斜晶系
b
任意取向
4.2 空间群（Space Group）
从晶系到空间群
7个晶系
（按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
c、反演：若通过晶体中心的任一直线上，离中心等距离 处均能找到相应的等同点，则晶体具有对称中心，称 此操作为反演。
对称元素：反演中心 1
d、旋转 –反演：晶体绕某一旋转轴每转动角后，必须再 经反演晶体才能复原，称这种变换为旋转 –反演。 对称元素：反演轴，有－1，－2，－3，－4，－6，其 中只有－4为新的独立对称元素。 －1＝i，－2＝m，－3中必含有3次轴和i，－6中必含 有3次轴和m。
立方
3.3 Bravais阵胞的四种类型
1. 七种晶系单位阵胞分为四类。
a. 简单阵胞(P)，含有一个阵点，
阵点坐标：(0, 0, 0) b. 底心阵胞(C)，含有两个阵点， 阵点坐标：(0, 0, 0)；(1/2, 1/2, 0) c. 体心阵胞(I)，含有两个阵点， 阵点坐标：(0, 0, 0)；(1/2, 1/2,1/2) d. 面心阵胞(F)，含有四个阵点， 阵点坐标：(0, 0, 0)；(1/2, 1/2, 0)； (0, 1/2, 1/2)；(1/2, 0, 1/2)
2.坐标系的选择：在晶体的点阵结构中，当根据Bravais 三原则选取单位阵胞时，实际上就确定了描述该点阵 结构的坐标系。单位阵胞的三棱边便是三个坐标轴（x, y, z），在晶体结构中又称晶轴。由于每一阵点都是环 境相同的等同点，所以任一阵点均可作为原点。晶体 学中规定右手规则坐标系，三棱边边长a, b, c是坐标轴 的度量单位，而b与c、c与a、a与b的夹角为、、， 在点阵中确定的单位阵胞与引入坐标是统一的。所以， 坐标因点阵类型而异，在晶体点阵中按这种规定引入
4. 晶体学点群和空间群
4.1 晶体学点群（Point Group）

定义：晶体中所含有的全部宏观对称元素至少交于一 点。将晶体中可能存在的各种宏观对称元素通过一个 公共点并按一切可能性组合起来，总共有32种形式， 这32种相应的对称群操作群称为32个晶体学点群。


32个晶体学点群是满足“晶体制约”的点群。
晶体结构 ＝ 空间点阵 ＋ 结构基元
1.2 空间点阵的描述方法
初基矢： 以点阵中任一阵点为原点，作一组矢量 a0 、 b0 、 c0 ，它们整数倍的线性组合能表达点阵中所有阵点的位 置，称这些矢量为初基平移矢量，简称平移矢。 平移矢：任意两个阵点之间的矢量为平移矢，或阵矢。
T = ma + nb + pc 其中 m，n，p为整数
俄国晶体学家费多罗夫的精确推导，晶体结构中的空 间群共有230种。
空间群国际符号
a. 符号含义 空间群的国际符号由两部分组成，写在符号最前面的是表示布拉菲点阵类型的大 写英文字母P（简单点阵）、C（底心点阵）、I（体心点阵）、F（面心点阵）、R （菱方体点阵），其后是各晶系特定取向上的按规定顺序排列的宏观和微观对称元 素符号。空间群符号中各晶系的特定取向和排列顺序与点群符号相同。 空间群符号能表示出晶体所属的晶系，布拉菲点阵和特定取向上的宏观、微观对 称元素。材料的粉末衍射卡上都标有所属的空间群符号，由此获得材料的点群，判 断所属晶系。 b. 举例 空间群符号P6/m2/c2/c：它的特征对称元素是一个六次对称轴。故属六方晶系。 点阵符号P表明，该晶体属简单六方布拉菲点阵。6/m表示沿﹤001﹥取向存在一个六 次旋转轴，并有一个对称面与﹤001﹥取向正交。2/c2/c表示沿 ﹤010﹥和﹤110﹥取 向存在二次旋转轴，并且有平移矢量t＝c/2的滑移面分别与﹤010﹥和﹤110﹥取向正 交。 关于空间群的符号和图表可查阅国际x射线晶体学表（International Tables for x-ray Crystallography, Vol. 1）
Y
X
无
2，m 无， 2，m Y X
无
2，m 无， 2，m Z 底对 角线
2,m,2/m
222,mm2,mmm 4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m
四方 4,`4，4/m Z
三方 3,`3
Z
无， 2，m
X
无
六方 6,`6, 6/m
Z
无， 2，m
晶胞：是晶体结构中的最小重复单位。 晶胞 = 空间点阵的阵胞 ＋ 结构基元 实际材料中晶体（晶粒）的尺寸大约在 105 － 106nm 左右，而晶胞的尺寸在1nm以下，因此平移矢
T = ma + nb + pc
中的m，n，p在105－106数量级，晶体近似看成无限 大，因为晶体的周期性，故只需取一个单胞来讨论 问题。
坐标系称为标准定向。
3.4 一些实际晶体的点阵类型
将阵胞中的阵点换成结构基元——晶胞。晶胞与空间点 阵的阵胞参数是相同的，只是晶胞中的质点数是阵胞中 阵点数的整数倍。 金属晶体的点阵类型主要是fcc、bcc和hp，其中fcc和bcc 结构金属的原子与空间点阵的阵点重合。如Cu、Al、Fe、W。 密堆六方（hcp）金属的点阵属于简单点阵（hp）。如 Mg、Zn。 金刚石和NaCl属于fcc点阵，一个晶胞中含有8个C原子。 有序结构Cu3Au和CsCl属于pc点阵。
阵胞：以初基矢为棱边作平行六面体，称为点阵的初基 阵胞。初基阵胞有多种取法，但每种取法最终阵胞体积 都相同，且每个阵胞中只含一个阵点。 复胞：以阵矢为棱边构成的平行六面体称为非初基阵胞 （复杂阵胞），简称复胞。复胞中包含一个以上的阵点。
点阵常数 ： 确定点阵阵胞的三个棱边矢量 a 、 b 、 c 的 模a、b、c及其间夹角、、称为点阵常数。
2. 晶体的对称性（宏观）
2.1 基本概念
对称： 晶体的对称性是指晶体中存在两个或两个以上 的等同部分，通过一定的几何动作后能使它们周期性 复原的性质。 对称操作：上述几何动作。 对称元素： 在实施对称操作时所凭借的几何元素，即 对称操作过程中不动的点、线、面等几何元素。
2.2 晶体宏观对称变换
不同晶系中的标准单胞选择规则
晶系
三斜 单斜
标准单胞选择
晶轴间交角尽可能接近直角，但 90。 Y轴平行于唯一的二次轴或垂直于镜面， 角尽可能接近直角。
变通单胞选择
容许轴间交角= 90 同标准选择，但Z轴代替 Y轴，角代替角。
正交
四方
晶轴选择平行于三个相互垂直的2次轴（或 垂直于镜面）。
32晶类的推演 http://metafysica.nl/derivation_32.html
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 三斜 1,`1 方向 第二位 可能对称 元素 方向 第三位 可能对称 元素 无 方向 1，`1 点群
任意 无
单ห้องสมุดไป่ตู้ 2,m,2/m
正交 2，m
材料的结构（3） -几何晶体学
几 何 晶 体 学
1. 晶体点阵
1.1 基本概念
晶体与非晶体： 晶体是由原子（或离子、分子）在空 间周期地排列构成的固体物质。从结构上，晶体具有 三维空间的周期性，即长程有序；非晶体的结构只在 几个原子范围内具有某种统计分布规律而在大范围内 呈无规则排列，即为短程有序。 晶体具有各向异性，而非晶体呈各向同性。
晶体结构： 晶体中原子、离子或分子的构型称为晶体 结构。 等同点： 从晶体结构中抽象出的几何环境和物质环境 均相同的点，称为等同点。 结构基元：等同点所代表的具体物质内容（原子 （团）、离子（团）、分子（团））称为结构基元。 空间点阵： 从晶体结构中的抽象出来的，描述结构基 元空间分布周期性的等同点集合成的几何图形称为晶 体的空间点阵。 空间点阵中的几何点称为阵点。