河北省石家庄市中考数学一模试卷--附答案解析

y 2017年河北省石家庄市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分）
1．﹣7的相反数是（）
A．7B．﹣7C．D．﹣
2．下列图形中，∠2＞∠1的是（）
A．B．C．D．
3．若两个非零的有理数a、b，满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，则在数轴上表示数a、b的点正确的是（）
A．B．C．D．
4．在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（）
A．向下移动1格B．向上移动1格C．向上移动2格D．向下移动2格
5．下列运算中，正确的是（）
A．4m﹣m=3B．﹣（m﹣n）=m+n C．（m2）3=m6D．m2÷m2=m
6．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）
A．80°B．50°C．40°D．20°
7．关于x，的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是（）A．﹣B．C．﹣D．
8．如图，己知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）
①△ABC与△DEF是位似图形；②ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A．1B．2C．3D．4
9．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：
①a是无理数；
②a可以用数轴上的一个点来表示；
③3＜a＜4；
④a是18的算术平方根．
其中，所有正确说法的序号是（）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
10．某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
成绩（分）35394244454850
人数（人）2566876
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
11．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能
够得到两个等腰三角形纸片的是（）
A．B．C．D．
12．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（）
A．﹣=4B．﹣=20
C．﹣=4D．﹣=4
13．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是（0，﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），已知OA=OD=4，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
14．用直尺和圆规作△Rt ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．
15．如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）
A．60B．80C．30D．40
16．如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，连接PE，PD，PC，DE．设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）
A．线段PD B．线段PC C．线段PE D．线段DE
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）
17．若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为．
18．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为．
19．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）（t
为常数）称为这两个函数的“再生二次函数”．其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线F，现有点A（2，0）和抛物线F上的点B（﹣1，n），下列结论正确的有．
①n的值为6；
②点A在抛物线F上；
A
③当t=2时，“再生二次函数”y在x＞2时，y随x的增大而增大
④当t=2时，抛物线F的顶点坐标是（1，2）
三、解答题（本大题共7小题，共69分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题．
计算：+
问：小明在第步开始出错，小红在第步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确解答
过程．
21．某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目：．版画B．保龄球C．航模D．园艺种植，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加保龄球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
22．在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解集办法进行了认真思考：
小亮发现：可能证法的实质是用中心对称的方法来构造全等三角形
请你利用小亮的发现解决下列问题：
（1）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．
请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程；
证明：
．
（2）解决问题：如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，过点D、E作DF∥EG，分别交BC于F、G，过点A作MN∥BC，分别与FD、GE的延长线交于M、N，则四边形MFGN周长的最小值是．
23．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y （℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
24．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资量x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据．
投资量x（万元）2
种植树木利润y1（万元）4
种植树木利润y2（万元）2
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和数目共获利利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
（3）若该专业户想获利不低于22万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的范围．
25．如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作a；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：
探究：（1）若R=2，m=1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是；如图2，
当a=°时，半圆O与射线AB相切；
（2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切，在保持线段AM 长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由．
（3）发现：（3）如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cosα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cosα=（用含有R、m的代数式表示）
拓展：（4）如图5，若R=m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示）
26．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．线段CM的长度记作y甲，线段BP的长度记作y乙，y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示．
（1）由图2可知，点M的运动速度是每秒cm，当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？在图2中反映这一情况的点是；
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t
的值；若不存在，说明理由．
2017年河北省石家庄市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分）
1．﹣7的相反数是（）
A．7B．﹣7C．D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣7的相反数是7，
故选：A．
2．下列图形中，∠2＞∠1的是（）
A．B．C．D．
【考点】平行四边形的性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】根据对顶角相等、平行四边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质求解，即可求得答案．
【解答】解：A、∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；
B、∠1=∠2（平行四边形对角相等），故本选项错误；
C、∠2＞∠1（三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角），故本选项正确；
D、如图，∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2．
故本选项错误．
故选C．
3．若两个非零的有理数a、b，满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，则在数轴上表示数a、b的点正确的是（）
A．B．C．D．
【考点】数轴；绝对值．
【分析】根据|a|=a得出a是正数，根据|b|=﹣b得出b是负数，根据a+b＜0得出b的绝对值比a大，在数轴上表示出来即可．
【解答】解：∵a、b是两个非零的有理数满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，
∴a＞0，b＜0，
∵a+b＜o，
∴|b|＞|a|，
∴在数轴上表示为：
故选B．
4．在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（）
A．向下移动1格B．向上移动1格C．向上移动2格D．向下移动2格
【考点】生活中的平移现象．
【分析】根据题意，结合图形，由平移的概念求解．
【解答】解：观察图形可知：从图1到图2，可以将图形N向下移动2格．
故选：D．
5．下列运算中，正确的是（）
A．4m﹣m=3B．﹣（m﹣n）=m+n C．（m2）3=m6D．m2÷m2=m
【考点】整式的混合运算．
【分析】根据合并同类项的法则，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；去括号法则，括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的各项都变号；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为4m﹣m=3m，故本选项错误；
B、应为﹣（m﹣n）=﹣m+n，故本选项错误；
C、应为（m2）3=m2×3=m6，正确；
D、m2÷m2=1，故本选项错误．
故选C．
y
6．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）
A．80°B．50°C．40°D．20°
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据平行线的性质得∠BCD=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=40°，
∴∠BOD=2∠BCD=80°．
故选A．
7．关于x，的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是（）A．﹣B．C．﹣D．
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】将x=1代入方程x+y=3求得y的值，将x、y的值代入x+py=0，可得关于p的方程，可求得p．
【解答】解：根据题意，将x=1代入x+y=3，可得y=2，
将x=1，y=2代入x+py=0，得：1+2p=0，
解得：p=﹣，
故选：A．
8．如图，己知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）
①△ABC与△DEF是位似图形；②ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A．1B．2C．3D．4
【考点】位似变换．
【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选C．
9．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：
①a是无理数；
②a可以用数轴上的一个点来表示；
③3＜a＜4；
④a是18的算术平方根．
其中，所有正确说法的序号是（）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
【考点】估算无理数的大小；算术平方根；无理数；实数与数轴；正方形的性质．
【分析】先利用勾股定理求出a=3，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④．
【解答】解：∵边长为3的正方形的对角线长为a，
∴a===3．
①a=3是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，说法错误；
④a是18的算术平方根，说法正确．
所以说法正确的有①②④．
故选C．
10．某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分
【考点】众数；统计表；加权平均数；中位数．
【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．
【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40，
得45分的人数最多，众数为45，
第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=45，
平均数为：=44.425．
故错误的为D．
故选D．
11．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）
A．B．C．D．
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．【解答】解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
△B、如图所示，ABC不能够分成两个等腰三角形；
△C、如图所示，ACD和△BCD都是等腰三角形；
成绩（分）35394244454850
人数（人）2566876
D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
故选：B．
12．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（）
A．﹣=4B．﹣=20
C．﹣=4D．﹣=4
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时﹣实际用时=4．【解答】解：设原计划每天挖x米，那么原计划用时为：，实际用时为：．
根据题意，得：﹣=4，
故选D．
13．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是（0，﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），已知OA=OD=4，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】两条直线相交或平行问题；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据勾股定理即可得出OB的长度，由此可得出点B的坐标，由OA、OD的长度可得出点A、D的坐标，根据点A、D、B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AD、BC的解析式，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组即可求出其交点的坐标，再根据点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界）结合点B以及交点的横坐标即可得出结论．
【解答】解：∵AB=5，OA=4，
∴OB==3，
∴点B（﹣3，0）．
∵OA=OD=4，
∴点A（0，4），点D（4，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（0，4）、D（4，0）代入y=kx+b，
，解得：，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+4；
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（﹣3，0）、C（0，﹣1）代入y=mx+n，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣1．
联立直线AD、BC的解析式成方程组，
，解得：，
∴直线AD、BC的交点坐标为（，﹣）．
∵点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），
∴﹣3＜a＜．
故选D．
14．用直尺和圆规作△Rt ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．
【考点】作图—基本作图．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是△Rt ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
15．如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例
函数y=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）
A．60B．80C．30D．40
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF=S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，
∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM==a，
∴点A的坐标为（a，a）．
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴a×a==48，
解得：a=10，或a=﹣10（舍去）．
∴AM=8，OM=6，OB=OA=10．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S△AOF=S菱形OBCA=OB•AM=40．
故选D．
16．如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC，BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，
连接PE，PD，PC，DE．设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）
A．线段PD B．线段PC C．线段PE D．线段DE
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质确定各个线段取最小值时，x的范围，结合图象得到答案．
【解答】解：设边长AC=a，
则0＜x＜a，
根据题意和等边三角形的性质可知，
当x=a时，线段PE有最小值；
当x=a时，线段PC有最小值；
当x=a时，线段PD有最小值；
线段DE的长为定值．
故选：C．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）
17．若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为1．
【考点】代数式求值；倒数．
【分析】由m，n互为倒数可知mn=1，代入代数式即可．
【解答】解：因为m，n互为倒数可得mn=1，所以mn2﹣（n﹣1）=n﹣（n﹣1）=1．
18．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为2π．
【考点】圆锥的计算．
【分析】先利用三角函数计算出BO，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
【解答】解：如图，∠BAO=30°，AO=，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，
∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴AB==2，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积=•2π•1•2=2π．
故答案为2π．
19．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）（t 为常数）称为这两个函数的“再生二次函数”．其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线F，现有点A（2，0）和抛物线F上的点B（﹣1，n），下列结论正确的有①②③．
①n的值为6；
②点A在抛物线F上；
③当t=2时，“再生二次函数”y在x＞2时，y随x的增大而增大
④当t=2时，抛物线F的顶点坐标是（1，2）
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】①已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
②将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；
③代入t=2得到二次函数，从而确定其增减性即可．
④将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标．
【解答】解：①将x=﹣1代入抛物线E的解析式中，得：
n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6，正确．
②将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得y=0，
∴点A（2，0）在抛物线E上，正确．
③当t=2时，y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，
对称轴为x=1，开口向上，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，正确；
④将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2），错误；
故答案为：①②③
三、解答题（本大题共7小题，共69分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题．
计算：+
A
问：小明在第②步开始出错，小红在第②步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确解答过程．
【考点】分式的加减法．
【分析】根据分式的加减，可得答案．
【解答】（1）②，②
原式=﹣
=．
21．某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目：．版画B．保龄球C．航模D．园艺种植，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有200人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加保龄球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，
∴这次被调查的学生共有：20÷=200（人）；
故答案为：200；
（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40=60（人）；
补充如图．
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）==．
22．在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解集办法进行了认真思考：
小亮发现：可能证法的实质是用中心对称的方法来构造全等三角形
请你利用小亮的发现解决下列问题：
（1）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程；
证明：
延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，，
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴AC=BF；．
（2）解决问题：如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，过点D、E作DF∥EG，分别交BC于F、G，过点A作MN∥BC，分别与FD、GE的延长线交于M、N，则四边形MFGN周长的最小值是10+8．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）先判断出△BDF≌△CDM进而得出MC=BF，∠M=∠BFM．再判断出∠M=∠MAC 得出AC=MC即可得出结论；
（2）先判断出四边形MFGN是平行四边形，再判断出MN=FG=DE=4，进而判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小，最后构造出直角三角形求出AH即可得出结论．
【解答】（1）延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，，
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；
故答案为：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，，
∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；
（2）如图，
∵MN∥BC，FM∥GN，
∴四边形MFGN是平行四边形，
∴MF=NG，MN=FG，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=4，DE∥BC，
∴MN=FG=BC=4，
∴四边形MFGN周长=2（MF+FG）=2MF+8，
∴MF⊥BC时，MF最短，
即：四边形MFGN的周长最小，
过点A作AH⊥BC于H，
∴FM=AH
在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，
∴AH==5，
∴四边形MFGN的周长最小为2MF+8=10+8．
故答案为10+8．
23．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y （℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x=5代入求出饮水机内的温度即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y=kx+b，依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：y=10x+20；
（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=，
依据题意，得：100=，
即m=800，
故y=，
当y=20时，20=，
解得：t=40；
（3）∵45﹣40=5≤8，
∴当x=5时，y=10×5+20=70，
答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．
24．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资量x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据．
投资量x（万元）2
种植树木利润y1（万元）4
种植树木利润y2（万元）2
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和数目共获利利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
（3）若该专业户想获利不低于22万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的范围．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意设y1=kx、y2=ax2，将表格中数据分别代入求解可得；
（2）由种植花卉m万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8﹣m）万元，根据“总利润=花卉利润+树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可；
（3）根据获利不低于22万，列出不等式求解可得．
【解答】解：（1）设y1=kx，
由表格数据可知，函数y1=kx的图象过（2，4），
∴4=k•2，
解得：k=2，
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；
∵设y2=ax2，
由表格数据可知，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a•22，
解得：a=，
故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2=x2（x≥0）；
（2）因为种植花卉m万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8﹣m）万元，
w=2（8﹣m）+m2=m2﹣2m+16=（m﹣2）2+14，
∵a=0.5＞0，0≤m≤8，
∴当m=2时，w的最小值是14，
∵a=＞0，
∴当m＞2时，w随m的增大而增大
∵0≤m≤8，
（ ∴当 m=8 时，w 的最大值是 32，
答：他至少获得 14 万元利润，他能获取的最大利润是 32 万元．
（3）根据题意，当 w=22 时， （m ﹣2）2+14=22，
解得：m=﹣2（舍）或 m=6，
故：6≤m ≤8．
25．如图所示，点 A 为半圆 O 直径 MN 所在直线上一点，射线 AB 垂直于 MN ，垂足为 A ，半圆 绕 M 点顺时针转动，转过的角度记作 a ；设半圆 O 的半径为 R ，AM 的长度为 m ，回答下列问 题：
探究：（1）若 R=2，m=1，如图 1，当旋转 30°时，圆心 O ′到射线 AB 的距离是
+1 ；如图 2，
当 a= 60 °时，半圆 O 与射线 AB 相切； （2）如图 3，在（1）的条件下，为了使得半圆 O 转动 30°即能与射线 AB 相切，在保持线段 AM 长度不变的条件下，调整半径 R 的大小，请你求出满足要求的 R ，并说明理由．
（3）发现：（3）如图 4，在 0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆 O 与射线 AB 能够相
切，小明探究了 cosα 与 R 、m 两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cosα= （用
含有 R 、m 的代数式表示）
拓展：（4）如图 5，若 R=m ，当半圆弧线与射线 AB 有两个交点时，α 的取值范围是 90°＜α≤
120° ，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用 m 表示）
【考点】圆的综合题．
【分析】 1）如图 1 中，作 O ′E ⊥AB 于 E ，MF ⊥O ′E 于 F ．则四边形 AMFE 是矩形，EF=AM=1．如 图 2 中，设切点为 F ，连接 O ′F ，作 O ′E ⊥OA 于 E ，则四边形 O ′EAF 是矩形，在 Rt △O ′EM
中，由 sinα=
=，推出 α=60°．
（2）设切点为 P ，连接 O ′P ，作 MQ ⊥O ′P ，则四边形 APQM 是矩形．列出方程即可解决问 题．
（3）设切点为 P ，连接 O ′P ，作 MQ ⊥O ′P ，则四边形 APQM 是矩形．列出方程即可解决问 题、
（4）当半圆与射线 AB 相切时，之后开始出现两个交点，此时 α=90°；当 N ′落在 AB 上时，为 半圆与 AB 有两个交点的最后时刻，此时∵MN ′=2AM ，所以∠AMN ′=60°，所以，α=120°因 此，当半圆弧线与射线 AB 有两个交点时，α 的取值范围是：90°＜α≤120°．当 N ′落在 AB 上 时，阴影部分面积最大，求出此时的面积即可．。