高考数学 第十四章 导数基础知识总结 试题

卜人入州八九几市潮王学校高中数学第十四章导
数
考试内容：
导数的背影．
导数的概念．
多项式函数的导数．
利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
考试要求：
〔1〕理解导数概念的某些实际背景．
〔2〕理解导数的几何意义．
〔3〕掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．
〔4〕理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
〔5〕会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
§14.导数知识要点
，那么函数值y也
x
+
x∆
之间的平
⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.
可以证明，假设)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续.
事实上，令x x x ∆+=0，那么0x x →相当于0→∆x .
于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000
000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→ ).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f x
x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵假设)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.
例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x
y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆x
y ，故x y x ∆∆→∆0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3.导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-
4.求导数的四那么运算法那么：
''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=〔c 为常数〕
注：①v u ,必须是可导函数.
②假设两个函数可导，那么它们和、差、积、商必可导；假设两个函数均不可导，那么它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，x
x x g 2cos )(-=，那么)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.
5.复合函数的求导法那么：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或者x u x u y y
'''⋅=
复合函数的求导法那么可推广到多个中间变量的情形.
6.函数单调性：
⑴函数单调性的断定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，假设)('x f ＞0，那么)(x f y =为增函数；假设)('x f ＜0，
那么)(x f y =为减函数.
⑵常数的断定方法；
假设函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，那么)(x f y =为常数.
注：①0)( x f 是f 〔x 〕递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f 〔x 〕=0，同样0)( x f 是f 〔x 〕递减的充分非必要条件.
②一般地，假设f 〔x 〕在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正〔或者负〕，那么f 〔x 〕在该区间上仍旧是单调增加〔或者单调减少〕的.
7.极值的判别方法：〔极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，那么)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理〕 当函数)(x f 在点0x 处连续时，
①假设在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；
②假设在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.
也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①
.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小〔函数在某一点附近的点不同〕. 注①：假设点0x 是可导函数)(x f 的极值点，那么)('x f =0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是假设函数在该点可导，那么导数值为零.
例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.
②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.
8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进展比较，最值是在整体区间上对函数值进展比较.
注：函数的极值点一定有意义.
9.几种常见的函数导数：
I.0'=C 〔C 为常数〕x x cos )(sin '=2'11
)(arcsin x x -=
1')(-=n n nx x 〔R n ∈〕x x sin )(cos '-=2'11
)(arccos x x --=
II.x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '=1
1)(arctan 2'+=x x III.求导的常见方法： ①常用结论：x
x 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或者))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=
两边同取自然对数，可转化求代数和形式. ③无理函数或者形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y x x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.。