河北省石家庄外国语学校2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题(含答案解析)

河北省石家庄外国语学校2021-2022学年九年级上学期第一
次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，AB＝5，则cos A的值为（）
A．3
5
B．
4
3
C．
3
4
D．
4
5
2．方程23
x x
=的解是（）
A．1 B．3 C．1或3 D．0或3
3．若3a-2b=0，则a b
b
+
的值为（）
A．3
5
B．
2
3
C．1 D．
5
3
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DE＝2，则EF=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．河堤的横截面如图所示，堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米那么斜坡AB的坡度i是（）
A．1：3 B．1：2.6 C．1：2.4 D．1：2
6．用配方法解2850x x -+=方程，将其化成()2
x a b +=的形式，则变形正确的是（ ） A ．()2
411x +=
B ．()2
421x -=
C ．()2
811x -=
D ．()2
411x -=
7．如图，△ABC 中，∠B ＝65°，AB ＝3， BC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，在4×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，则tan ∠ACB 的值为（ ）
A ．13
B ．12
C ．2
D ．3
9．已知关于x 的一元二次方程2(1)410a x x ---=有两个实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．4a ≥-
B ．3a >-
C ．3a ≥-且1a ≠
D ．3a >-且1a ≠
10．如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m ，则旗杆AB 的高为（ ）
A ．7 m
B ．8 m
C ．6m
D ．9m
11．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．26.5(1) 5.265x -=
B ．26.5(1) 5.265x +=
C ．25.265(1) 6.5x -=
D ．25.265(1) 6.5x +=
12．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A 处时，发现它的北偏东30°发现有一灯塔B ．轮船继续向北航行2小时后到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（ ）
A ．1小时
B
C ．2小时
D ．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG 与矩形ABCD 是位似图形（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标是（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，2.5）
C ．（0，3）
D ．（0，4）
14．如图，△ABC 的两条中线BE ，CD 交于点O ，下列说法错误的是（ ）
A ．
ED BC
＝1
2 B ．
AD
AB ＝
AE AC
C ．△ADE ∽△ABC
D ．S △DO
E ：S △BOC ＝1：2
15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC =12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，D 、G 分别在AB ，AC 上，DG ＝3，则点F 到BC 的距离为（ ）
A．3 B．2 C．5
3
D．
5
2
16．下列说法中正确的有（）个．
①线段2和8的比例中项是±4；
②将一个长方形对折一次得到一个新的长方形不能与原来的长方形相似；
③在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=7.5，DE=6，EF=5，则△ABC∽△DEF；
④如图，已知，在Rt△ABC中，BD⊥AC于D，CD=2，BC=5，则sinA=2
5
．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
17．关于x的一元二次方程2520
x x
--=的一个根是a，则代数式2
2103
a a
-++的值是____．
18．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_________m（结果保留根号）
19．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝8，点D在线段BC上运动（1）当BD＝1时，则CE＝_______；
（2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是_______．
三、解答题
20．（1）解方程：x2＋3＝6x；
（2）计算：8sin260°＋tan45°﹣3tan30°．
21．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，使得AB⊥BC，然后选定点E，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
1
tan
2
B=，点D在BC上，BC=8且BD＝AD．
（1）求AC的长；
（2）求cos∠ADC的值．
23．探究：如图①，点A、点D在直线BC上方，且AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥DE．（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）应用：如图①，在探究的条件下，若AB＝3，8
CD=,BC＝10，求BE的长；（3）拓展：如图②，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8将矩形ABCD翻折，使点A落在
边CD上的点E处，折痕为MN，若
1
3
DE=DC，则tan∠AMN＝．
24．某宾馆客房部有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．每个房间每天的定价每增加10元时就会有一个房间空闲．设每个房间每天的定价增加x元．
（1）若定价为250元时，房间每天的入住量是间；房间每天的入住量y（间）
关于x（元）的关系式为；
（2）某一天，该宾馆客房部的总收入为12000元，问这天每个房间的定价是多少元？25．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动
（1）当∠CDE＝60°时，
①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；
②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为．（直接写出结果）
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，
）
26．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB．△ACD 沿AC方向以速度为1cm/s匀速平移得到△PMN时，同时，点Q从点C出发，沿CB
方向匀速运动，速度为1cm/s．当△PMN停止平移时，点Q也停止运动，如图②设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时PQ⊥AC？
（2）是否存在某一时刻t，S△PQC：S四边形ABQP＝1：35，若存在，求出t的值；若不存在；（3）当t＝时，△PQC为等腰三角形？
参考答案
1．A 【分析】
根据锐角的余弦值的定义解决此题． 【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， ∴cos A ＝
3
5
AC AB =． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了锐角的余弦值，熟练掌握锐角的余弦值的定义是解题的关键． 2．D 【分析】
解一元二次方程可得23x x =的解是0或3. 【详解】
由23x x =得x （x-3）=0,所以，x 1=0,x 2=3. 故选D 【点睛】
本题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：用因式分解法求解. 3．D 【分析】
根据320a b -=，求得2
3
a b =，代入即可．
【详解】 解：∵320a b -= ∴2
3
a b =，
代入得，255333
b b b
a b b b b ++===
故答案为D ． 【点睛】
此题考查了分式求值，根据,a b 的等量关系代换是解题的关键．
4．C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】
解：∵直线l1∥l2∥l8，
∴
1
2 DE AB
EF BC
==，
∴EF＝2DE＝2×2＝4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式进行求解．
5．C
【详解】
分析：在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AC的长，根据坡面AB的坡比即为∠BAC的正切即可求解.
详解：
在Rt△ABC中，BC=5米，AB=13米，
根据勾股定理得AC=12米，
∴AB的坡度i=
51
12 2.4 BC
AC
==.
故选C.
点睛：本题主要考查学生对坡度坡角的掌握，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
6．D
【分析】
把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．【详解】
解：x2−8x＋5＝0，
x2−8x＝−5，
x2−8x＋16＝−5＋16，
（x−4）2＝11．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．7．C
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】
解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例（6﹣5）：（3﹣1）＝1：2＝3：6，且夹角∠B相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
8．C
【分析】
根据勾股定理求出△ABC的各边长，根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，根据锐角三角函数的定义计算即可．
【详解】
解：∵每格小正方形的边长都是1，
∴AB＝AC BC，
则AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠ACB＝AB
BC
＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了求三角函数值，解题关键是确定△ABC是直角三角形，利用勾股定理和三角函数的定义求解．
9．C 【分析】
一元二次方程的二次项系数不能为0，且当0≥时，有两个实数根，计算即可得到参数取值范围． 【详解】
解：∵2(1)410a x x ---=是一元二次方程 ∴10a -≠ ∴1a ≠
又∵一元二次方程有两个实数根 ∴0≥
即：2(4)4(1)(1)0a ---⨯-≥
412a ≥- 3a ≥-
∴满足题意的a 的取值范围是：3a ≥-且1a ≠ 故选：C 【点睛】
本题考查一元二次方程判别式，以及一元二次方程的定义，根据知识点解题是关键． 10．D 【详解】
试题解析：由题意得，CD ∥AB ， ∴△OCD ∽△OAB ， ∴CD OD
AB OB
=， 即
36612
AB =+， 解得AB=9． 故选D ．
考点：相似三角形的应用． 11．A 【分析】
由题意2019年用水总量为6.5(1)x -亿立方米，
2020年用水总量为26.5(1)(1) 6.5(1)x x x --=-亿立方米，从而可得x 满足的方程．
【详解】
解：由题意可得：
2019年用水总量为6.5(1)x -亿立方米，
2020年用水总量为26.5(1)(1) 6.5(1)x x x --=-亿立方米，
所以26.5(1) 5.265x -=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解年平均降低率的含义． 12．A
【分析】
过B 作AC 的垂线，设垂足为D ．由题易知：∠DAB ＝30°，∠DCB ＝60°，则∠CBD ＝∠CBA ＝30°，得AC ＝BC ．由此可在Rt △CBD 中，根据BC （即AC ）的长求出CD 的长，进而可求出该船需要继续航行的时间．
【详解】
解：作BD ⊥AC 于D ，如图所示：
则∠DAB ＝30°，∠DCB ＝60°，
则∠CBD ＝∠CBA ＝30°．
∴AC ＝BC ，
∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，
∴AC ＝BC ＝2×40＝80海里，
∴CD ＝1
2BC ＝40海里．
故该船需要继续航行的时间为40÷40＝1小时．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，方向角，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13．A
【分析】
连接CF ，交y 轴于点P ，根据位似图形的概念得到CD ∥GF ，根据相似三角形的性质求出GP ，进而求出OP ，得到答案．
【详解】
解：连接CF ，交y 轴于点P ，则点P 为位似中心，
矩形OEFG 与矩形ABCD ，C （﹣4，4），F （2，1），
由题意得，CD ＝4，DG ＝3，2GF =,1OG =，
∵矩形OEFG 与矩形ABCD 是位似图形，
∴CD ∥GF ，
∴△CDP ∽△FGP ， ∴CD GF ＝DP GP ，即42＝3GP GP -， 解得，GP ＝1，
∴OP ＝2，
∴位似中心P 的坐标为（0，2）
故选：A ．
【点睛】
本题考查了位似概念和性质，相似三角形的性质，根据题意作出图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14．D
【分析】
根据三角形中位线定理得到DE ＝1
2BC ，DE ∥BC ，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．
解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝1
2
BC，DE∥BC
∴ED
BC
＝
1
2
，A选项结论正确；
∵DE∥BC，
∴AD
AB
＝
AE
AC
，B选项结论正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确；
∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．A
【分析】
过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，通过证明△ADG∽△ABC，可得∠ADG＝∠B，可证DG∥BC，可证△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．
【详解】
解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴AD：AB＝AG：AC，
∵∠BAC＝∠DAG，
∴△ADG∽△ABC，
∴∠ADG＝∠B，
∴DG∥BC，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG，
∴FH⊥BC，AN⊥DG，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BM＝1
2
BC＝6，
∴AM
8，∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴AN DG AM BC
=，
∴
3 812 AN
=，
∴AN＝2，
∴MN＝AM﹣AN＝6，
∴FH＝MN﹣GF＝6﹣3＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
16．A
【分析】
①根据比例中项的概念得出答案；②根据相似多边形的概念可得出答案；③根据相似三角形的判定可得出答案；④根据锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】
解：①线段2与8的比例中项为4，故①不正确；
②将一个长方形对折一次得到一个新的长方形能与原来的长方形相似，相似比为
②不正确；
③∵
6
1
6
AB
DE
==，
7.53
52
BC
EF
==，
∴AB BC DE EF
≠，
∴△ABC∽△DEF错误，故③不正确；
④∵∠ABC=90°，BD⊥AC于D，
∴∠A+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，∴∠A=∠DBC，
∴sinA=sin∠DBC=DC
BC
=
2
5
．故④正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了比例中项的概念与性质，相似多边形的性质和判定，相似三角形的判定，锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
17．1-
【分析】
根据一元二次方程的解的定义求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】
关于x的一元二次方程2520
x x
--=的一个根是a，
2520
a a
∴--=
252
a a
∴-=
22
21032(5)32231
a a a a
-++=--+=-⨯+=-
∴
故答案为：1
-
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．
18．
【分析】
利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠BDA＝45°，
在Rt △ABD 中，∵∠BDA =45°，
∴AB ＝AD ＝120m ，
又∵∠CAD ＝30°，
∴在Rt △ADC 中，tan ∠CAD ＝tan 30°＝
CD AD
解得：CD ＝m ），
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan ∠CAD =tan 30°=CD AD 是解题关键． 19．43
4 【分析】
（1）证明△BAD ∽△CAE ，推出BD CE ＝AB AC ＝68，可得结论； （2）证明∠DCE ＝90°，推出CP ＝12DE ，求出DE 的最小值，可得结论．
【详解】
解：（1）∵△ABC ∽△ADE ， ∴AB AD ＝AC AE
，∠BAC ＝∠DAE ， BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠
即∠BAD ＝∠CAE ， 又AB AD ＝AC AE
， ∴△BAD ∽△CAE ，
BD CE ＝AB AC ＝68， ∵BD ＝1．
∴CE ＝43
， 故答案为：43
； （2）∵△BAD ∽△CAE ，
∴∠ABD ＝∠ACE ，
∵∠BAC ＝90°，
∴∠ABD +∠ACB ＝90°，
∴∠ACB +∠ACE ＝90°，
∴∠DCE ＝90°，
∵DP ＝PE ，
∴CP ＝12DE ，
∵△ABC ∽△ADE ，
DE BC AD AB
∴= ∴AD BC DE AB ⋅=
∴AD 的值最小时，DE 的值最小，此时CP 的值最小，
∵AB ＝6，AC ＝8，90BAC ∠=︒
∴BC ＝10，
根据垂线段最短可知，当AD ⊥BC 时，此时AD ＝
AB AC BC ⋅＝6810⨯＝245， ∴AD BC DE AB
⋅=＝53AD ＝8， ∴CP 的最小值为1
2×8＝4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20．（1）x 1＝x 2＝3；（2）7
【分析】
（1）整理成一般式，再利用公式法求解即可；
（2）代入三角函数值，再根据实数的运算顺序依次计算即可．
【详解】
解：（1）x 2+3＝6x ，
x 2﹣6x +3＝0，
a ＝1，
b ＝﹣6，
c ＝3，
Δ＝（﹣6）2﹣4×1×3＝24＞0，
，
即x 1＝，x 2＝3
（2）原式＝8×2+1﹣
＝8×34
+1
＝6+1
＝7
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和特殊角三角函数值的运算，解题关键是熟记求根公式和特殊角三角函数值．
21．150m
【分析】
先证明△ABD ∽△ECD ，利用对应边成比例可求出AB 的长度．
【详解】
解：由已知得，∠ABD ＝∠DCE ＝90°，
//∴AB CE
∴△ABD ∽△ECD ， ∴AB EC ＝BD DC ， 将BD ＝180m ，DC ＝60m ，EC ＝50m ，代入可得：
50AB ＝18060， 解得：AB ＝150．
答：小河的宽是150m ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．（1）4；（2）35
【分析】
（1）在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义表示出tan B ，把tan B 的值，以及BC 的长代入求出AC 的长即可；
（2）设CD ＝x ，则有AD ＝BD ＝8﹣x ，在直角三角形ACD 中，利用勾股定理列出关于x 的
方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与AD的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠ADC的值即可．
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝1
2
，
∴1
2
＝tan B＝
AC
BC
＝
8
AC
，
解得：AC＝4；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，即（8﹣x）2＝x2+16，
解得：x＝3，
∴CD＝3，AD＝5，
则cos∠ADC＝CD
AD
＝
3
5
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，利用了方程的思想，熟练掌握各自的性质是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）4或6；（3）2
【分析】
（1）先用同角的余角相等判断出∠A＝∠EDC，即可得出结论；
（2）由（1）知，△ABE∽△ECD，得AB BE
EC CD
=，即
AB BE
BC BE CD
=
-
，代值计算，即可得
出结论；
（3）先根据勾股定理求出DM，再判断出BN＝CF，FN＝BC＝8，再判断出△MDE∽△EFN，得出比例式，进而求出EF，可得AN＝DF＝DE+EF＝4+6＝10，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠A＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD；
（2）解：由（1）知，△ABE∽△ECD，
∴AB BE
EC CD
=，即
AB BE
BC BE CD
=
-
，
∴
3
108
BE
BE
=
-
，
∴BE＝4或6；
（3）解：如图②，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝12，
∵DE＝1
3 DC，
∴DE＝4，
设DM＝x，则AM＝AD﹣DM＝8﹣x，
由折叠知，ME＝AM＝8﹣x，
根据勾股定理得，DM2+DE2＝ME2，
∴x2+42＝（8﹣x）5，
∴x＝3，
∴DM＝3，
∴AM＝8﹣3＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝∠B＝90°，
过点N作NF⊥CD于F，则∠EFN＝90°＝∠B＝∠C，∴四边形BCFN是矩形，
∴BN＝CF，FN＝BC＝8，
∵∠D＝90°，
∴∠DME +∠DEM ＝90°，
由折叠知，∠MEN ＝90°，
∴∠DEM +∠NEC ＝90°，
∴∠DME ＝∠NEC ，
∴△MDE ∽△EFN ， ∴
DM DE EF FN = ， ∴348
EF = ， ∴EF ＝6
∴AN ＝DF ＝DE +EF ＝4+6＝10，
∴tan ∠AMN ＝105
AN AM =＝2． 故答案为：2．
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判断和性质，勾股定理，折叠的性质，求出EF 是解本题的关键．
24．（1）45；y ＝50﹣
10
x ；（2）300元或400元 【分析】
（1）根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可计算每天的入住量并列出函数关系式；
（2）根据客房部的总收入为12000元列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）若定价为250元时，房间每天的入住量是50﹣25020010-=45（间）， ∵宾馆客房部有50个房间供游客居住，每个房间每天的定价每增加10元时，
∴房间每天的入住量y 关于x 的函数关系式为y ＝50﹣
10x ； 故答案为45；y ＝50﹣10
x ； （2）当客房部的总收入为12000元时，有
（50﹣10
x ）（200+x ）＝12000， 解得：x 1＝100，x 2＝200，
200+100＝300（元），200+200＝400（元），
∴每个房间的定价是300元或400元；
答：每个房间的定价是300元或400元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是列出函数关系式，运用一元二次方程解决问题．
25．（1）①②124mm；（2）33.4°
【分析】
（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，根据60°角的正弦可得点C到直线DE的距离CF的长；②在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长，再根据点A到直线DE的距离为AH+CF可得答案．
（2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．
【详解】
解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE，则点C到直线DE的距离为CF，
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝CF CD
，
∴CF＝CD•sin60°＝
②由图可知，点A到直线DE的距离=AH+CF．∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG ∥DE ，
∴∠GCD ＝∠CDE ＝60°．
∴∠ACH ＝∠ACD ﹣∠DCG ＝50°．
在Rt △ACH 中，
∵sin ∠ACH ＝AH AC
， ∴AH ＝AC •sin ∠ACH ＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64mm ，
∴点A 到直线DE 的距离为AH +CF ＝．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，C 的对应点为C ′，
则B ′C ′＝BC ＝35mm ，DC ′＝DC ＝70mm ．
在Rt △B ′C ′D 中，
∵tan ∠B ′DC ′＝351702
B C DC ''=='， ∴∠B ′DC ′＝26.6°．
∴CD 旋转的角度为∠CDC ′＝∠CDE ﹣∠B ′DC ′＝60°﹣26.6°＝33.4°．
故答案为：33.4°．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．（1）209；（2）存在，t 或 （3）2013或2或3213． 【分析】
（1）先根据勾股定理求AC ＝4，根据平移的性质和平行四边形的性质得：PQ ∥AB ，列比例式为：CP CA ＝CQ CB
，代入可求t 的值； （2）由题意可知S △QMC ＝S △QPC ＝
136
S △ABC ，作PF ⊥BC 于点F ，用含t 的代数式表示△QPC 的面积即可列方程求出t 的值；
（3）分三种情形：当QP＝QC时，当CP＝CQ时，当PC＝PQ时，分别构建方程求解即可．【详解】
解：（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝3cm，BC＝5cm，
∴
AC4，
∵PQ⊥AC，AC⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴CP
CA
＝
CQ
CB
，
即4
4
t-
＝
5
t
，
解得t＝20
9
，
∴当t为20
9
时，PQ⊥AC；
（2）如图2，作PF⊥BC于点F，
由
3
5
PF AB
PC BC
==＝sin∠ACB得，PF＝
3
5
PC＝
3
5
(4﹣t）；
∵S△QPC：S四边形ABQP＝1：35，
∴S△QPC＝1
36
S△ABC＝
1
36
×（1
2
×3×4）＝
1
6
，
∴1
2
⋅t×
3
5
（4﹣t）＝
1
6
，
整理得，9t2﹣36t+5＝0，
解得，t或t
（3）当QP ＝QC 时，
过点Q 作QE AC ⊥与E ，则12
CE PC =, 4cos 5CE AC ACB QC BC ∴=== ∴12PC QC ＝cos ∠ACB ＝45，则有1(4)425
t t -= ∴t ＝2013
． 当CP ＝CQ 时，4﹣t ＝t ，
∴t ＝2．
当PC ＝PQ 时，
过点P 作PG BC ⊥与G ，则12
GC QC =
4cos 5
CG AC ACB PC BC ∴=∠== 12CQ PC
＝cos ∠ACB ＝45， ∴14245
t t =-， ∴t ＝3213
，
综上所述，满足条件的t的值为20
13
或2或
32
13
．
故答案为：20
13
或2或
32
13
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．。