8.2 含有耦合电感电路的分析

第 12 页
例题：
.
I
两个电感线圈按如图所示连接，正弦稳态 +
电压源电压U=50V，角频率=10rad/s，求
R1
开关S在断开和闭合两种状态下各个支路 的电流，并求开关S在闭合状态下两个线 圈的复功率。
*
jL1 .
.
I2
U jM .
I1
R1 3Ω R2 5Ω L1 0.75H
L2 1.25H M0.6H
8+j32 32.9875.96
_
. I
R1 *
jL1 .
I2=0
jM .
I1 R2 *
jL2
第 14 页
（2）开关S闭合状态下 . I
+
R1
*
jL1 .
.
I2 0
U jM .
I1
R2
*
jL2
_
解法一：互感消去法 . I
+
R1
j(L1+M) .
.
I2
U
.
I1 -jM
R2
_
j(L2+M)
第 15 页
I1
3.47150.30
A
I2
11.09
-
44.85
A
*
U2
jL2 _
_
第 18 页
两个线圈的复功率：
S1 UI* 500 7.7951.50 389.551.50 242.5 + j304.8
S2 U2I1* 0 3.47150.30 0
. I +
R1
*
jL1 .
.
I2
U jM .
i + u1 *– +* u2 –
i
+
u
–
+
去耦等效电路 Leq
u–
u
L1
di dt
-
M
di dt
+
L2
di dt
-
M
di dt
(L1
+
L2
-
2M
)
di dt
=Leq
di dt
u1
u2
第4页
根据逆接(反接)时的等效电感
L L + L - 2M 0 eq 1 2
M
1 2
(
L1
+
L2 )
即互感不可能大于两个自感的算术平均值。
I1 +
R2 .
*
U2
jL2
_
_
第 19 页
3.47150.30 A
分流公式
I2
R2 +j L2 + M R2 +j L2 + M - jM
I
5+j10 1.25 + 0.6
7.79 - 51.50
5+j10 1.25 + 0.6 - j10 0.6
11.09 - 44.85 A
. I +
. U
_
R1
j(L1+M) .
I2 .
Leq L1 + L2 2M L1 + L2 2 L1L2 ( L1 L2 )2
4M 顺接
Leq=
0 逆接
第7页
（3）T型联接耦合电感的等效
1）同侧联接
I 1
jM
I 2
1
**
2
jL1
jL2
I 1
1
j(L1-M)
I
33
I2 I3 - I1
3
U 13
jL I + 11
jMI 2
jω(L1 - M )I1 +
第1页
（1）用受控源等效电路替代耦合电感的作用
U1 jL1I1 + jMI2 U2 jMI1 + jL2I2
. I1
+
.
jL1
U1
.+
jM I2 _
_
. I2
+
jL2
.
+
. U2
_ jM I1
_
第2页
(2)串联联接耦合电感的等效
1）顺接(正接)
L1 M L2
iHale Waihona Puke + * u1 –* +
u2
–
+
u
13
11
2
jω(L1+M )I1 - jMI3
U jL I - jMI
23
22
1
jω(L2 +M )I2 - jMI3
I I - I
1
3
2
第9页
举例
i
M
+
i1 * * i2
u
L1
L2
–
i
M
+
i1 *
i2
u
L1
L2
–
*
I
jM
I1
I 2
j(L1－M)
j(L2－M)
I
-jM j(L1+M)
I 1
R2 S
*
jL2
_
第 13 页
解： U 500 V
+ （1）开关S断开状态下
U R1 + R2 I+j L1 + L2 + 2M I
I
U
R1 + R2 +j L1 + L2 + 2M
. 等效电感 U
500
8+j10 0.75 +1.25 + 2 0.6
500
500
1.52 - 75.96 A
_
I U 500 7.79 - 51.50 A Z 6.4251.50
R1
j(L1+M) .
I2 .
I1 -jM
R2
j(L2+M)
第 16 页
分流公式
I1
- jM
R2 +j L2 + M
-
jM
I
- j10 0.6
7.79 - 51.50
5+j10 1.25 + 0.6 - j10 0.6
I 2
j(L2+M)
第 10 页
jM
**
jL1 jL2
jM
**
jL1 jL2
jM
**
jL1 jL2
j(L1-M) j(L2-M)
jM
第 11 页
2. 含有耦合电感电路的分析 第一种方法： (1) 消去耦合电感(耦合电感等效)； (2) 在正弦稳态下采用相量分析法。
第二种方法： (1) 正弦稳态下采用相量分析法，直接建立含有耦合 电感的电路方程。 (2) 注意耦合电感的电压除自感电压外，还应包含互 感电压。
jMI3
U jL I + jMI
23
22
1
jω(L2 - M )I2 + jMI3
I I - I
1
3
2
I 2 2
j(L2-M)
jM
I3
第8页
2）异侧联接
I 1
1
jL1
jM I 2
*
2
jL2
*
I 3
3
I 1
1
j(L1+M)
I 2 2
j(L2+M)
I2 I3 - I1
-jM
3 I3
U jL I - jMI
M
耦合系数 k
1
LL 12
M L1L2
互感不可能大于两个自感乘积的均方根值。
第5页
利用耦合电感的顺（正）、逆（反）联接可以测量耦合电感的大小 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
L L + L + 2M 顺12
L 逆
L1
+
L2
-
2M
L -L M 顺 逆
4
第6页
全耦合时 M L L 12
当 L1 = L2时 , M= L1 = L2
I1 -jM
R2
j(L2+M)
第 17 页
.
I 解法二：直接利用互感元件伏安方程 +
R1I+jL1I + jMI1 U
R1
R2I1+jL2I1 + jMI U2 0
.
I I1 + I2
U
联立求解上述方程组得支路电流：
*
jM
jL1 .
I2
. I1 +
R2 .
I 7.79 - 51.50 A
8.2 含有耦合电感电路的分析
1. 耦合电感的等效
i1 M
i2
+* * +
u L1 _
L2
u2 _
.
.
I1 jM I2
+ .
*
U_1 jL1
*
+.
jL2 U2
_
u1
L1
di1 dt
+
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
+
L2
di2 dt
U1 jL1I1 + jMI2 U2 jMI1 + jL2I2
–
Leq L1 + L2 + 2M 去耦等效电路
Leq i
+u –
u L di + M di + L di + M di 1 dt dt 2 dt dt
(L + L + 2M ) di =L di
1
2
dt eq dt
u1
u2
第3页
2）逆接(反接)
L L + L - 2M eq 1 2
L1 M L2
.
I 总阻抗：
Z R1+jL1 + M +R2+jL2 + M / /-jM
+
R1+j
L1
+
M
+
R2+jL2 + M-jM
R2+jL2 + M - jM
. U
5+j101.25 + 0.6 -j10 0.6
3+j100.75+0.6 + 5+j101.25+0.6 - j100.6
6.4251.50Ω