高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53

45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
接圆的半径)；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边． 注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正 弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊 角的和或差，如 75°＝45°＋30°)，再根据上述思路 求解．
23，
∴B＝60°或 120°.
当 B＝60°时，C＝90°，
c＝assiinnAC＝2 s3insi3n09°0°＝4 3；
当 B＝120°时，C＝30°， c＝assiinnAC＝2 s3insi3n03°0°＝2 3. ∴B＝60°，C＝90°， c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
(2)判断三角形的形状，主要看其是 否是正三角形、等腰三角形、直角三角 形、钝角三角形或锐角三角形，要特别 注意“等腰直角三角形”与“等腰三角 形或直角三角形”的区别．
练一练 3．已知在△ABC 中，bsin B＝csin C，且 sin2A＝sin2B＋sin2C，
试判断三角形的形状．
解：因为sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，R 为△ABC 外 接圆半径，所以 sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. 因为 bsin B＝csin C，所以2bR2 ＝2cR2 ，得 b2＝c2. 因为 sin2A＝sin2B＋sin2C，所以4aR22＝4bR22＋4cR22， 所以 a2＝b2＋c2， 故△ABC 为等腰直角三角形．
[思考 1] 若已知∠A＝α，∠B＝β，c＝m， 能求出∠C，a，b 的值吗？如何求解？
名师指津：可以．可先由三角形内角和定 理 A＋B＋C＝180°，求出∠C.然后利用正弦
定理
求出 a 和 b 的值．
[思考 2] 若已知∠A＝α，∠B＝β，a＝ n，能求出三角形的其它未知元素吗？如何 求解？
名师指津：可以．由三角形内角和定
讲一讲 3．在△ABC 中，若coas A＝cobs B＝cocs C， 试判断△ABC 的形状．(链接教材 P10－B 组 T2) [思路点拨] 由正弦定理把已知条件转化 为内角的三角函数间的关系式，得出内角关系．
[尝试解答] 法一：化角为边
由正弦定理，
令sina A＝sinb B＝sinc C＝k(k>0)， 得 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k≠0)，
练一练 1．在△ABC 中，已知 c＝10，A＝45°， C＝30°，解这个三角形． 解：∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A ＋C)＝105°. 由sina A＝sinc C得 a＝cssiinnCA＝10×sinsi3n04°5°＝10 2. 由sinb B＝sinc C得
b＝cssiinnCB＝10×sinsin301°05°＝20sin 75°，
提示：(1)由于在△ABC 中，sin_A＝sin_B，
有 a＝b，则 A＝B，故(1)成立．
(2) 由 正 弦 定 理 知 sin_A ∶ sin_B ∶ sin_C ＝
a∶b∶c 正确，即(2)成立．
(3)∵A>B
，
∴
a>b.
又
∵
a sin
A
＝
b sin
B
，
∴
sin
A>sin B. 反之，若 sin A>sin B，则 a>b，即 A>B.故 A>B
(1)根据边角关系判断三角形形状的途径： ①利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因 式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形 状； ②利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判 断出三角形的形状，此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个蕴 含的结论． 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因 式，应移项提取公因式，以免漏解．
第 1 课时 正 弦 定 理
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P2～P4，回答下列问题： (1)观察教材图 1.1－1，在 Rt△ABC 中，根据三角函 数的定义可知 sin A＝ac，sin B＝bc，sin C＝1.由此你能发 现sina A，sinb B，sinc C之间的大小关系是什么？
∵sin 75°＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6，
∴b＝20×
2＋ 4
6＝5
2＋5
6.
观察知识点 1 中的△ABC. [思考] 若已知 a＝m，b＝n，A＝α，能 求出△ABC 的其他元素吗？如何求解？
名师指津：能．先由正弦定理sina A＝sinb B， 求出 sin_B 的值，进而求出∠B.然后利用三角形 内角和定理求出 C＝π－(A＋B)，最后再用正弦 定理sina A＝sinc C求出 c 的值即可
又∵coas A＝cobs B＝cocs C，
∴sina
A·coas
A＝sinb
B·cobs
B＝sinc
C·cocs
C .
∴csoins AA＝csoins BB＝csoins CC.
即csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C
∴tan A＝tan B＝tan C. 又∵A、B、C∈(0，π)， ∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
提示：sina A＝sinb B＝sinc C.
(2)教材图 1.1－2 中的△ABC 为锐角三 角形，sina A，sinb B，sinc C之间的大小关系 是什么？
提示：sina A＝sinb B＝sinc C.
(3)如图，△ABC 为钝角三角形，sina A，
b sin
B，sinc
C之间又有什么样的大小关系？
[尝试解答] A＝180°－(B＋C)＝ 180°－(60°＋75°)＝45°.
由
b sin
B
＝
a sin
A
得
，
b
＝
asin B sin A
＝
8×sinsin456°0°＝4 6.
由sina A＝sinc C得
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°
8× ＝
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
[名师点拨] 在△ABC 中，已知任意 两边及一边的对角，能求出△ABC 的其 他所有元素．(请看讲 2)
讲一讲
2．在△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，
a＝2，解这个三角形．(链接教材 P4－例 2) [尝试解答] ∵sina A＝sinc C，
∴sin C＝csian A
＝
6×sin 2
练一练 2．根据下列条件解三角形： (1)a＝10，b＝20，A＝60°； (2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
解 ： (1) 由 正 弦 定 理 得 ， sin
B
＝bsin a源自A＝20·sin 60° 10
＝ 3>1，∴三角形无解．
(2)由正弦定理得，
sin
B＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形 的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦 值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角 形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一 边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能 判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求 两个角，要分类讨论．
⇔sin A>sin B．
[课前反思]
(1)正弦定理的内容：
；
(2)三角形元素的构成有：
；
(3)在△ABC 中，已知任意两个角与一边，如何能求出
其他元素？
； (4)在△ABC 中，已知任意两边及其中一边的对角，如
何能求出其他元素？
．
如图，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对 边分别为 a，b，c.
a (3)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
； C
(4)在△ABC 中，sin A>sin B⇔A>B⇔a>b.
3．要掌握正弦定理的三个应用： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角，见讲 1. (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角，见 讲 2. (3)判断三角形的形状，见讲 3. 4．本节课的易错点有两处： (1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现 无解或两解的情况，如讲 2. (2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角 形”与“等腰直角三角形”，如练 3.
理 A＋B＋C＝180°，得 C＝180°－(A＋
B)，然后利用正弦定理 和 c 的值．
求出 b
[名师点拨] 通过以上问题思考可 知，在△ABC 中，若已知任意两角及一 边，能求出该三角形的其他剩余元素．(请 看讲 1)
讲一讲 1．在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，C＝75°，求 A， b，c.(链接教材 P3－例 1)，