完全平方公式讲解

完全平方公式讲解
第一部分概念导入
1 •问题：根据乘方的定义，我们知道：穿=日・a,那么(a+b) 2应该写成什么样的形式呢？ ( a+b) 2的运
算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)_____________________________ (P+1)2=( p+1)( P+1) = ；( m+2)2= ；
(2)(P-1)2= ( p-1) ( p-1) = _______ ；( m-2) 2= _____ ；
2 •学生计算
3 •得到结果：(1) (p+1) 2= (p+1) ( p+1) =p2+2p+1
2 2
(m+2) = (m+2) (m+2) = m +4m+4
(2) (p-1) 2= (p-1) (p-1) = p2-2p+1
2 2
(m-2) = ( m-2) ( m-2=m -4m+4
4•分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 • p • 1, 4m=2- m- 2，恰好是两个数乘积的二倍。

(1) ( 2)
之间只差一个符号。

推广：计算(a+b) 2= ______ _______ _(a-b) 2= _________________ 【2］
得到公式，分析公式
(1) •结论：(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.
(2 )公式特征
左边：二项式的平方
右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.
注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号，则2ab取“ + ”，若这两
项异号，则2ab的符号为“―” •
(3)公式中字母可代表的含义
公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式.
(4 )几何解释
图1 — 5
图1 —5中最大正方形的面积可用两种形式表示：©( a + b) 2②a2+ 2ab+ b2,由于这两个代数式表
示同一块面积，所以应相等，即( a + b) 2= a2+ 2ab + b2
因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性.
【学习方法指导］
［例1 ］计算
(1) (3a+ 2b) 2(2) (mn —n2) 2
点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它
们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.
解：(1) (3a + 2b) 2=( 3a) 2+ 2 • ( 3a) • (2b) + ( 2b) 2= 9a2+ 12ab + 4b2
(2) (rnn— iC
T ?
◎ b
—〔机打)z—g(讥”)* 异+( ii)z
A + *
</ — 2 必+ ¥
=z>? if —2 mtf ~\~ »4
注意：(2)中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.
［例2 ］计算
(1)(- m- n) 2(2) (- 5a—2) ( 5a+ 2)
点拨：(1)可直接用完全平方公式•由于一m与一n是同号，所以公式中的2ab取“ + ” .( 2)中两个
二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“一”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算.
解：(1) (- m- n) 2
=(-m) 2+ 2 •( —m) (- n) + (—n) 2
=m2+ 2mn+ n2
(2)(- 5a- 2) (5a+ 2)
=-(5a+ 2) (5a+ 2)
=-(5a+ 2) 2
=-(25a2+ 20a + 4)
=-25a2- 20a- 4
小结：由(2)可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.
［例3 ］计算
(1)(x-2y) 2-( x- y) (x+ y)
(2)(m-n) (m2- n2) ( m+ n)
点拨：(1)可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简. (2)可先利用平方差公式
将m-n与m + n相乘，再将所得结果m2- n2与中间括号里的m2- n2相乘，可利用完全平方公式.
解：(1) (x- 2y) 2-( x - y) (x+ y)
=(x2- 4xy+ 4护)-(x2- y2)
=x2- 4xy+ 4y2- x2+ y2
=-4xy+ 5y2
(2) (m-n) (m2- n2) ( m+ n)
=(m- n) ( m+ n) ( m^- n2)
=(m^-n2) (m2-n2)
=(m2) 2- 2 • m2• n2+( n2) 2
=m4- 2m2n2+ n4
说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.
［例4］计算：(x+ — ) 2-(x- y ) 2
2 2
a 2—
b 2=
一、选择题
1•下列运算中，正确的是(
) 2•下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是(
点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算:
(a + b ) (a — b ),将此题转化为平方差公式进行计算.
解法一：(x + y ) 2
2
2 (x 2+ xy + 仝)— 4
2
(x 2— xy + L )
4 =x 2+ xy + 2 y 2
—x 2 + xy — 4
4
=2xy
解法二: = ［“+和+仃-和+炉-3-子口
u u
(出+ tO =* y
■加』
［例 5］计算：(a — 2b + 1) ( a + 2b — 1)
点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同•先找出两个括号中完全相同的
项放在一起，再把互为相反数的项放在一起， 构成(a + b ) ( a — b )的形式，利用平方差公式进行简化运算.
(a -W
相反
-[a-(26-1) J La *^(26 -1).②
寿_(2卜・
关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化, 随堂练习
要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变!
A . 3a+2b=5ab
B . (a — 1) 2=a 2— 2a+1
C . a 6心a 2
D . (a 4) 5=a 9
A . (x+y ) 2=x 2+y 2
B . ( x — y ) 2=x 2 — y2
C . (- x+y ) 2=x 2-2xy+y 2
D . (- x -y ) 2=x 2- 2xy+y 2
3•下列各式计算结果为 2xy - x 2-y 2的是() A . (x - y ) 2 B . (- x -y ) 2 C .-( x+y ) 2 D .-( x -y )
4•若等式(x - 4) 2=x 2 - 8x+m 2成立，则m 的值是()
A . 16
B . 4
C . - 4
D . 4 或—4
二、 填空题
5. (- x -2y ) 2= ______.
6. 若(3x+4y ) 2= (3x - 4y ) 2+B ，贝U B= ______ .
7. _______________________________ 若 a - b=3, ab=2，则 a 2+b 2= . 1
9 9 8 . ( --- ---- y ) 2= — x 2— xy+ ______ ; ( ____ ) 2=——a 2- 6ab+ _____ .
3
4 16 三、 解答题 9 .利用完全平方公式计算：(1) 20082； ( 2) 782 .
1
10 .先化简，再求值：(2x - 1) (x+2)-( x -2) 2-( x+2) 2,其中 x=-
3
11利用公式计算：1962
12某正方形边长a cm ,若把这个正方形的边长减小
1 1 分别求a 2+
2 , (a - ) 2的值
a a
15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加 3米，？则它的面积就增加 39平方米，求这个正方
3 cm ,则面积减少了多少?
13.已知 x+y=1 , 求1 x 2+xy+丄y 2的值. 2 2
1
14.已知 a+ =5 a
形花坛的边长.
-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本
2 不需要用计算器，而且很快说岀了答案•你知道他是怎么做的吗?
17.已知：a + b=- 5，ab = - 6，求a2+ b2.
18利用公式计算：992- 1
19.计算(1) (ab 1)( ab 1) ; (2) ( 2x 3)( 2x 3);
(3) 1022; (4) 992.
(5)(a b1)(a b 1) ； (6) (m 2n p)2.
20. 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加
2
39cm ,这个正方形的边长是多少？
21.当a
1,b 1
时,
求(3a 2b)(3a2
2b) (a 2b)2的值
16.小明在计算
2
20092008
2 2 20092007 20092009
22.求
证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差
2 2
(2n 1) (2n 1)是8的倍数
23. 观察下列等式:
2 2 2 .2 2 2 2 2
1 0 1 ,
2 1 3,
3 2 5 ,
4 3 7,
请用含自然数n的等式表示这种规律为：____________________ .
2 2
24. 已知4x Mxy 9y是一个完全平方式，求M的值.
25.2005年12月1日是星期四，请问：再过2005 2天的后一天是星期几？
答案
1. B
2. C 点拨：(x+y) 2=x2+2xy+y2，所以 A 不正确；(x—y2=x2- 2xy+y2,所以 B 不正确；(—x+y) 2= (-x) 2+2 (-x) y+y2=x2
—2xy+y2，所以C正确；
(—x —y) 2= (x+y) 2=x2+2xy+y2,所以 D 也不正确，故选C.
3. D
4. D 点拨：因为(x-4) 2=2—8x+16，所以若(x-4) 2=x2-8x+m2成立，
则m2=16，从而得m=±4，故选D.
__ 、
5. x2+4xy+4y2点拨：(—x —2y) 2=[ —(x+2y) ] 2= (x+2y ) 2=x2+4xy+4y2.
6. 48xy 点拨：B= (3x+4y) 2—( 3x —4y) 2=9x2+24xy+16y2—( 9x2—24xy+16y2) ?=?9x2+?24xy+16y 2—92 +24xy—16y2=48xy .
7. 13 点拨：因为a—b=3，ab=2,所以a F+b2= (a—b) 2+2ab=32+2X2=9+4=13.
3 1 2 3 2
8. —x; — y ; —a—4b;16b2
2 9 4
三、
9. 解：(1) 20082= (2000+8) 2 =20002+2 X2000 >8+8 2=4000000+32000+64=4032064;
(2)782= ( 80—2) 2=802—2X80X2+22=6400 —320+4=6084.
10. 解：(2x—1) (x+2 ) — ( x—2) 2—( x+2) 2=2x2+4x —x —2—( x2—4x+4 ) — ( x2+4x+4 )
=2x 2+3x —2 —x2+4x —4 —x2—4x —4=3x —10 .
1 1
当x=—时，原式=3X(—-) —10=—1—10=—11.
3 3
11思路：196接近整数200,故196= 200 —4,则此题可化为(200 —4 ) 2，利用完全平方公式计算.
解：1962①
(200— 4) 2
2002-2X 200 X 4 + 42 =40000 — 1600+ 16 = 38416
说明：1 .可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算. 12. 思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长X 边长” ，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即
可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.
解：原正方形面积：a 2 现正方形面积：(a — 3) 2
面积减少了 a 2—( a — 3) 2 = a 2—( a 2 — 6a + 9)= a 2— a 2 + 6a — 9=( 6a — 9) (cm 2) 答：面积减少了( 6a — 9) cm 2. 13. 解：因为 x+y=1，所以(x+y ) 2=1,即 x 2+2xy+y 2=1.
1
1 1 1 1 所以一 x 2+xy+
— y 2= — (x 2+2xy+y 2) =— X =— .
2
2 2
2
2
点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.
1 1 1 所以(a —
) 2=a 2+ 2 — 2a- =23 — 2=21.
a
a
a
点拨：注意公式的一些变形形式，例如： a F +b 2= (a+b ) 2 — 2ab, a 2+b 2= ( a — b )
2
+2ab ， (a+b )
2
=
( a — b ) 2+4ab ， ( a — b ) 2
=
(a+b ) 2 — 4ab 等等.
15. 解：设这个正方形花坛的边长为 x 米，依题意列方程得，(x+3 ) 2 — x 2=39, ?
即 x 2+6x+9 — x 2=39， 6x=30， x=5. 答：这个正方形花坛的边长为 5米.
点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可. 16. 解：知道，做法如下：
______ 200920082 ______ _________ 200920082 ___________ 200920072
200920092 2 (20092008 1)2
(20092008 1)2 2
2
_____________________ 20092008 200920082 2 20092008
1 20092008
2 ____________2 20092008 1 2
200920082 1
2 20092008^ 2
点拨：由 200920072= (20092008 — 1) 2，200920092= ( 20092008+1) 2，运用完全平方公式化简即可.
17. 点拨：同时存在a + b ，ab, a 2+ b 2的公式为完全平方公式(a + b ) 2 = a 2 +2ab + b 2,将题目中所给条件分别看作整体，代入公 式即可.
注意：1.不要分别求出 a 和b ,运算繁琐.
n.若已知a +b (或a — b), ab , a 2+ b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.
解：a 2+ b 2 =( a + b ) 2 — 2ab
14. 因为 a+^
=5，所以 a 2+4 =
a
1 1
(a+ ) 2 — 2 a •
=52 —2=23,
a
a
当 a + b = — 5, ab =— 6 时
原式=(—5) 2 —2 X(— 6)= 25 + 12 = 37.
18. 点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案. 19. 【点拨】(1)符合平方差公式的特征，只要将 ab 看成是a , 1看成是b 来计算.
( 2)利用加法交换律将原式变形为 ( 3
2x)( 3 2x) , 然后运用平方差公式计算 .
22
(3) 可将 1022
改写为 (100
2) ,利用两数和的平方公式进行简便运算 .
22
(4) 可将 99 改写为 (100 1) ，利用两数差的平方公式进行简便运算 . 解：(1) (ab 1)(ab 1) =(ab)2 1 a 2b 2
1；
(2)
( 2x 3)(2x 3)= ( 3 2x)( 3 2x) =( 3)
2
(2x)2 9 4x 2；
(3)
1022 = (100 2) 2 =100 2 2 100 2 22
10000 400 4 10404 ； (4)
992 =(100 1) 2=1002
2 100 1 1 10000 200 1 9801.
【点拨】(5,6)两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式 计算，本题可将 (a b) 看作是一项 .
先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算
解：(5) (a b 1)(a b 1) =[(a b) 1][( a b) 1] (
a b)2 1 a 2 2a
b b 2
1;
( 6) (m 2n
p)2=[(m 2n) p]2 (m 2n)2 2
(m
2n) p
2
p 2
2
=
m
4mn 22
4n 2mp 4np p .
【点评 】 1. 在运用平方差公式时 , 应分清两个因式中是不是有一项完全相同
, 有一项互为相反数 , 这样才可以用平方差公
式， 否则不能用; 2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方
式，
两数和或差的平方，等于这两个数的平方
2 2 2 2 2 2
和，加上或减去这两个数乘积的 2倍，在计算时不要发生：(a b) a b 或(a b) a b 这样的错误; 3.当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组,看成是两项，用平方差公式或完全平方公式. 20.
【点拨】如果设原正方形的边长为 xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解 . 解：设原正方形的边长为xcm,则 (x 3)2 x 2
39
即 x 2 6x 9 x 2 39，解得 X=5.
答:这个正方形的边长是 5cm . 21.
【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将 a 、b 的值代入计算出结果.
2 2 2 2 2
解： (3a 2b)(3a 2b) (a 2b)2 9a 2 4b 2 (a 2 4ab 4b 2
)
=9a 2
4b 2 a 2
4ab
4b 2 8a 2
4ab 8b 2；
当a 1,b 1时，
(3a 2b)(3a 2b) (a 2b)2
8a 2
2 2
4ab 8b =8(-1)
4( 1) 1
8=-4
【点拨】运用完全平方公式将 (2n
1)2
(2n 2
1)化简，看所得的结果是否是
8整数倍.
2
证明：(2n 1)
(2n 1)2
=4n 2
4n 2
1 (4n 4n 1)
= 4n
2
4n 1 4n 2
4n 1 8n ，
又T n 为整数，二8n 也为整数且是8的倍数.
23. 【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律 .同学们相互研讨交流
一下.答案为：n
2
(n 1)2 2n 1(n 1且n 为整数).
24. 【点拨】已知条件是一个二次三项式，且是一个完全平方式， x 2 与 y 2
项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是
2
(2x 3y),由完全平方公式就可以求出 M .
2 2 2
解：根据(2x 3y) =4x 12xy 9y 得： M 12.
二
M 12
答：M 的值是土 12.
2 2
25. 【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出 2005是7的多少倍数还余几
天.
解: 20052 = (7 286 3)2 (7 286)2
2 (7 286)
3 9
=(7 286)2
(6 286) 7 7 2.
2
显然2005年12月1日是星期四，再过2005 天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日。