2018_2019学年高二数学上学期期中试题理(11)

长沙市第二十一中学2018年下学期期中考试高二试卷
数 学（理科）
时量：120分钟 满分：150分 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）
1.命题“若a=0,则ab=0”的逆否命题是 A ．若ab=0,则a=0 B. 若a ≠0，则ab ≠0 C ．若ab=0,则a ≠0 D. 若ab ≠0，则a ≠0
2.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(x ，－1,6)的距离为86，则x= A ．2
B ．－8
C ．2或－8
D ．8或2
3.已知条件p:y x ,都是偶数,条件q:y x -是偶数，那么p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
4.直三棱柱111ABC A B C -中，0
90=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，
则BM 与AN 所成的角的余弦值为
A ．110
B ．25
C D 5.椭圆22
1x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为
A ．
14 B ． 1
2
C ．2
D ．4 6.若双曲线x 的离心率为3，则其渐近线方程为
A ．x y 2±= B.x y 2±= C. x y 2
1
±
= D.x y 22±= 7.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点A 1到平面ABC 1D 1的距离为 A.
2
1
B.42
C. 22
D. 23
8.过抛物线x y 42
=的焦点作直线l 交抛物线与()11,y x A ，()22,y x B 两点，若 1021=+x x ，则弦AB 的长度为
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
9.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成 角的正弦值等于
A.
10.过椭圆22a
x ＋22b y ＝1（a >b >0）的左焦点F 1作x 轴的
垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，
则椭圆的离心率为 A ．
22 B ．33 C ．21 D ．3
1
11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的 中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的 角为α，则sin α的取值范围是
A.[
3 B.[,1]3 C. D.
12.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线)0(22
>=p px y 上任意一点，
M 是线段PF 上的点，且MF PM 2=,则直线OM 的斜率的最大值为
A ．
3
3
B ．
3
2
C ．22
D ． 1
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在答题卡上的相应位置） 13.设条件p ：b
a
22>；条件q ：b a 22log log >，那么p 是q 的 条件 （填“充分不必要，必要不充分，充要”）.
14.在四面体PABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ，M 是线段PA 上一点，N 是
线段BC 的中点，则∠MNB ＝________.
15. 已知双曲线2
213
x y -=右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点， 点A(0,2)，则△APF 周长的最小值为 .
16. 如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方
形,若∠A 1AB=∠A 1AD=60º，且A 1A=3，则A 1C 的长为 . 三.解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
17.(本题满分10分) 已知p ：x R ∈任意，不等式23
02
x mx -+
>恒成立； q ：双曲线
1312
2=---m
y m x 的焦点在x 轴上． （1）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围．
17. （本题满分12分）已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 的焦点为)0,1(F ，抛物线 py x E 2:2
=的焦点为.M
（1）若过点M 的直线l 与抛物线有且仅有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于B A ,两点，求OAB ∆的面积.
19.（12分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P （1，32
）在椭圆C 上，
且2PF x ⊥轴. （1）求椭圆C 的方程；
（2）求过右焦点2F 且斜率为1的直线l 被椭圆C 截得的弦长AB .
20.（本题满分12分）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1 的菱形，4
ABC π
∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC
的中点.
（1）证明：直线MN OCD 平面‖；
（2）求点B 到平面OCD 的距离.
21. （本题满分12分）如图，1111ABCD A B C D -是棱长为6的正方体，E 、F 分 别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF =． （1）求证：11A F C E ⊥；
（2）当点1A 、E 、F 、1C 共面时，求线段E F 的长； （3）在（2）的条件下，求平面1A DE 与平面1C DF 夹 角的余弦值．
22、（本题满分12分）已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>和直线L ：y ＝bx ＋2，椭圆的离心率e
标原点到直线L （1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2与椭圆相交于C 、D 两点，判
断是否存在实数k ，使得点E 在以CD 为直径的圆外？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
长沙市第二十一中学2018年下学期期中考试高二试卷
数 学（理科）答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、必要不充分 14、0
90 15、3224+ 16
三、解答题：（本大题共6小题，共70分 ） 17、（10分）解：（1）61<<m （2
）3m <<
18. (本小题满分12分)
解：（1）已知).1,0(,2M p =
当直线l 的斜率不存在时，其方程为0=x ，满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设方程为1+=kx y ，代入x y 42
=得
01)42(22=+-+x k x k ，
当0=k 时，4
1
=
x 满足题意，1:=y l ； 当0≠k 时，令1:10+=⇒=⇒=∆x y l k 综上，直线l 的方程为：0=x 或1=y 或.1+=x y 16. 由（1）易知1:+-=x y MF ，.4:2
x y C =
联立⎩⎨⎧+-==1
42x y x y 得0442
=-+y y ，设),(),,(2211y x B y x A ，
则244,4212121=-⇒-=-=+y y y y y y ，
.222
1
21=-=
∴∆y y OF S oAB
19.解：（1）由题意，c ＝1,可设椭圆方程为22
2
2114x y b b
+=+。

．．．．．．2分 因为P 在椭圆上，所以
22
19114b b +=+，解得2b ＝3，2
b ＝34-
（舍去）。

∴椭圆方程为 22
143x y +=． ．．．．．．4分
另解：依题意知12(10),(10)F F -，
，,122a PF PF =+=4，得椭圆方程。

18.
依题意知直线l 方程为1y x =-，设两交点为1122(,),(,)A x y B x y
由 2221
7880143y x x x x y =-⎧⎪
⇒--=⎨+=⎪⎩ ．
．．．．．8分 121288
,77
x x x x ∴+=⋅=-
AB ∴=
24
7
= ．．．．．．12分
20．（12分）
解： 作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系
(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1
22244A B P D O M N --,
(1)2222
(1,,1),(0,,2),(2)44222
MN OP OD =-
-=-=--
设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0n OP n OD == 即 202022
y z x y z -=⎨⎪-+-=⎪⎩取z =解得(0,4,2)n =
22
(1,,1)(0,4,2)04MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖
(2)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量(0,4,2)n =上的投影的绝对值,
由 (1,0,2)OB =-, 得23OB n d n
⋅=
=
.所以点B
到平面OCD 的距离为23
21. （12分）【解析】（1）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则1(6 , 0 , 6)A 、
1(0 , 6 , 6)C ，
设AE m =，则(6 , , 0)E m ，(6 , 6 , 0)F m -
从而1( , 6 , 6)A F m =--、1(6 , 6 , 6)C E m =--
则1166(6)(6)(6)0A F C F m m ⋅=-⨯+⨯-+-⨯-=，所以1
1A F C E ⊥ （2）当1A 、E 、F 、1C 共面时，11//A C EF ，又11//A C AC ,所以//AC EF ，因为AE=BF ，所以E 、F
分别为AB,BC 的中点，所以EF=
1
2
（3）由（2）知(6 , 3 , 0)E 、 (3 , 6 , 0)F ，设平面1A DE 的一个法向量为1( , , )n a b c =，
依题意111630660
n DE a b n DA a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 所以1(1 , 2 , 1)n =-
同理平面1C DF 的一个法向量为2(2 , 1 , 1)n =-
由图知，面1A DE 与面1C DF 夹角的余弦值1212||1
cos 2
||||n n n n θ⋅==⋅
22（12分）解析：（1）直线l ：y ＝bx ＋
2，坐标原点到直线l ∴b ＝1
∵椭圆的离心率e 222
1)3a a -=，解得a 2
＝3∴所求椭圆的方程是2213
x y +=； （2）直线y ＝kx ＋2代入椭圆方程，消去y 可得：（1＋3k 2
）x 2
＋12kx ＋9＝0
∴△＝36k 2
﹣36＞0，∴k ＞1或k ＜﹣1 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则有x 1＋x 2＝－
21213k +，x 1x 2＝
2
9
13k + ∵EC ＝（x 1＋1，y 1），ED ＝（x 2＋1，y 2），且点E 在以CD 为直径的圆外。

∴EC .ED >0 ∴（x 1＋1）（x 2＋1）＋y 1y 2>0
∴（1＋k 2
）x 1x 2＋（2k ＋1）（x 1＋x 2）＋5>0
∴（1＋k 2
）×
2913k +＋（2k ＋1）×（－2
1213k +）＋5>0，解得k<7
6，
综上所述， k ＜﹣1或 1<k<7
6。