混凝土本构关系总结

作业1：总结典型的混凝土本构模型类型，并就每种类型给出有代表性的几个模型
按照力学理论基础的不同，已有的本构模型大致分为以下几种类型：以弹性理论为基础的线弹性和非线性弹性本构模型；以经典塑性理论为基础的弹全塑性和弹塑性硬化本构模型；用内时理论描述的混凝土本构模型等。

1、 混凝土单轴受力应力—应变关系
1.1 混凝土单向受压应力—应变关系 1、 saenz 等人的表达式
saenz 等人（1964年）所提出的应力—应变关系为
023
0000
=
1(2)(21)()()S E E E ε
σεεε
αααεεε++---+
1
E
u u
1
E 图1 混凝土单轴
受压应力--应变关系
2、 Hognestad 的表达式
Hognestad 建议的模型，其应力—应变曲线的上升段为二次抛物线，下降段为斜直线，如图2所示，表达式为
2000
=[2
()]εε
σσεε- 0εε≤ 0
00
=[1-0.15(
)]cu εεσσεε-- 0cu εεε≤≤
u
u
图2 Hognestand 建议的应力--应变关系
3、 GB50010—2002建议公式
我国《混凝土结构设计规范》所推荐的混凝土轴心受压应力—应变关系为0
1ε
ε≤（上升段）
3000
[(32)(2)()]a
a a εε
σααασεε=+-+- 01ε
ε>（下降段） 0
0200
/(-+c εεσσεεαεε=
1）
式中，a α表示应力—应变曲线的上升段参数；c α为下降段参数。

4、 CEB —FIP 建议公式
CEB —FIP 模式规范建议的单轴受压应力—应变关系为
2
0000(/)(/)1(2)(/)
k k εεεεσσεε-=+-
式中，k 为系数，00(1.1)(/)C k E εσ=,C E 为混凝土纵向弹性模量。

2、混凝土非线性弹性本构模型
1、 混凝土非线性弹性全量型本构模型
当材料刚度矩阵[]D 用材料弹性模量E 和泊松比ν表达，则为全量E-ν型；如果材料的刚度矩阵[]D 用材料模量K 和剪变模量G 表达，则为全量K —G 型。

在全量本构模型中，关键是要合理确定材料参数E 和ν随应力状态变化的规律。

Ottosen 本构模型的建立过程可分为四个步骤：建立强度和开裂准则；定义非线性指标
β；建议采用的割线模量S E ;建议采用的泊松比s ν。

引入一非线性指数β，表示当前应力(
321,,σσσ)距破坏(包络面)的远近，以反映塑性
变形的发展程度。

假定主应力1σ和2σ值保持不变，3σ(压应力)增大至3f 时混凝土破坏，
则
33f
σβσ=
混凝土的多轴应力—应变关系仍采用单轴受压的Sargin 方程
22
(1)()1(2)()c c c c c A
D f A D εεεεσ
εεεε-+--=
--+
但用多轴应力状态的相应值代替
033,//i c f p f f s c f f s E E A E E E E E E σσ
βσσσεε
βεεσ-⎫-
====⎪⎪
⎬⎪===⎪⎭
式中各符号的意义见图3。

将以上两式代入后，得一元二次方程，解之即得混凝土的多轴割线模量：
()[]1122222
2
--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--±⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ββββD E E E
E E E E E f f
i i f i i s
c
u
u
(a)
E 0
E p
f
f
u
u
(b)E
i E f
E
B
(c)
0.8
1.0
i t
图3 Ottosen 本构模型
（a ）单轴受压应力-应变曲线（b ）多轴应力-应变曲线（c ）泊松比
其中，σ与ε均以受压为正值；c f 为混凝土单轴抗压强度；c E E A /0=；0E 为混凝
土初始弹性模量；
c E 为混凝土应力达c f 时的割线模量；c ε为应力达峰值时的应变；D 为系
数，对εσ-曲线上升段影响不大，而对下降段影响很大，如图所示。

限制0≤D ≤1.0，D
愈大，则曲线下降愈平缓。

这一曲线基本上可以反映混凝土应力应变关系全曲线的主要特征，因而在混凝土有限元分析中应用很广。

由上述分析可见，Ottosen 模型是以非线性弹性理论为基础，仅仅适当地改变了割线模量
S E 和泊松比s ν；所采用的参数仅采用单轴试验数据便
可确定；给出的与单轴受压应力—应变全曲线特征相同的一般三轴受压应力—应变曲线，以及峰值应力点和软化段，使计算简单。

2.2非线性弹性本构关系—增量型
采用全量形式对按比例一次加载的条件是合适的，它与加载路径无关。

在逐级加载以及非比例加载情况下采用全量形式会感到困难，这时采用增量形式比较合理。

因为采用非线性弹性理论，所以仍假定应力状态与应变状态有一一对应关系，材料参数是应力状态(或应变状态)的函数。

但这时不采取全量形式，而采用应力增量与应变增量的形式，材料本构矩阵将应力增量与应变增量联系起来。

各向同性增量本构模型
（1） 含一个可变模量t E 的各向同性模量
假定泊松比ν为不随应力状态变化的常数，而用随应力状态变化的变切线模量t E 取代弹性
常数E ，并采用应力和应变增量，则可得下列增量应力—应变关系：
1(1)(12)t t
ij ij kk ij
E E d d d νσεεδννν=
+++-
式中，
ij σ ，
ij
ε分别表示应力和应变增量张量；
t E 为应力—应变曲线上任一点的切线模量，
对多轴应力状态下混凝土，可根据等效单轴应力—应变关系确定。

（2） 含两个可变模量t K 和t G 的各向同性模量
增量应力—应变关系
2(32)ij t ij t t oct ij
d G d K G d σεεε=+-
1、 双轴正交各向异性增量本构模型
混凝土在开裂，尤其是接近破坏时，不再表现出各向同性的性质，而呈现出明显的各向异性的性质。

因此，用各向异性描述混凝土开裂后的性能更为合理。

（1） 正交各向异性本构关系 假定混凝土为正交各向异性材料，并且在各级荷载增量内力—应变呈线弹性关系，其应力增量与应变增量关系为
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321σσσd d d
=11221212120
10100(1)E d E d G d ενεννννγ⎡⎤⎧⎫
⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎨⎬
-⎢
⎥⎪⎪-⎩⎭⎢⎥⎣⎦
式中，1E 、2E 为施加一级荷载后在主应力方向的等效切线模量；1σd 、2σd 、3σd 为由荷
载增量引起的应力增量；21,νν为在方向1，2的应力对方向2，l 所引起的影响(泊松比)。

关于泊松比的值，一般由试验确定，一般在0.15~0.20之间，ν的值的大小对计算结果影响相对较小，Darwin 和Pecknold 建议：
双向受压时 2.0=ν 一向受压、一向受拉和双向受拉时
4
1224.06.02.0⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c c f f σσν
这一模型被广泛采用。

（2）等效单轴应力—应变关系
1E 和2E 值可由双轴受力的应力--应变关系求得，但由于这种应力—应变关系包含了泊松比
和微裂缝的影响，因此必须在双轴受力的应力—应变关系中消除泊松比的影响。

线弹性材料在单轴受压和双轴受压时的应力—应变曲线如图4所示，可见，由于泊松比的影响，在双轴受压状态下的材料刚度增大了。

i
图4 线弹性材料的等效单轴应变
双向受压
单向受压
E
对于混凝土这样的非弹性材料，在双轴受力时刚度增大，除了泊松比的影响外，还有其内部微裂缝开展的影响。

消除泊松比影响并考虑微裂缝影响的单轴应力—应变关系，称为等效单轴应力—应变关系，如图5所示，其曲线形状随应力12(/)ασσ=变化。

这样切线模量可由
等
效
单
轴
应
力
—
应
变
关
系
确
定。

ic
图5 等效单轴应变--应变曲线
Darwin —Pecknold 模型
在双向应力状态下，Darwin 和Pecknold 于1977年提出了一个正交异性的应力应变关系矩阵，他们认为在消除了泊松比的影响后，等效的应力应变关系仍可用Saenz 公式：
2
0021⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=
ic iu ic iu c iu
i E E E εεεεεσ
其中，i 为主应力方向（i=1,2）；
ic ε为相当于最大压应力ic σ时的轴向应变值；iu ε为等效
的单向应变，即
;
∑
∆c i
iu E σεic ic c E εσ/=是最大压应力时的割线模量。

任意应力时的切线模量
i E :
2
022
0[1(
)][1(2)()()]iii i
ic
i iu iu i s ic ic
E d E E d E εσεεεεεε-=
=
+-+
混凝土弹塑性本构模型
目前采用的弹塑性本构关系可分为两种：全量理论和增量理论。

全量理论是塑性小变形理论的简称，适用于简单加载情况，在按比例加载的情况下一般可获得比较满意的结果。

增量理论又称流动理论，是描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论。

1、 混凝土弹塑性增量理论
弹塑性增量理论需要对屈服准则、流动法则和硬化法则做出假定。

{}[][]{}{}[]{}[]{}{}T
T
f f D D d D d f f A D σσσεσσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-⎢⎥⎡⎤⎡⎤∂∂⎢
⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦
上式即为增量理论的弹塑性本构矩阵的一般表达式。

式中的A 表示硬化参数，其值由材料
试验确定。

对于“做功硬化”材料，参数A 等于在产生塑性变形过程中所做的功。

2、 混凝土弹塑性全量理论
1、 全量理论的基本假定
（1） 假定体积的改变是弹性的，且与平均应力成正比，而塑性变形体积不变不可压
缩。

（2） 假定应变偏量和应力偏量相似且同轴。

（3） 单一曲线假定：对于同一种材料，无论应力状态如何，其等效应力与等效应变
之间有确切的关系。

2、 应力—应变关系
弹塑性应力—应变关系采用如下形式
弹性阶段
2ij ij s e G =
塑性阶段
'2ij ij s e G =
式中，G 为剪变模量；'
G 为等效应变i ε的函数。

3、全量理论的弹塑性矩阵 应力—应变关系的矩阵表达式
{}{}ep D σε⎡⎤=⎣⎦
其中ep D ⎡⎤⎣
⎦
为弹塑性矩阵，其表达式为
()1211000121000120003002
312302
32ep E D βββ
ββββνββ+--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦对
称
其中，
()2
=-1-3
βνωε⎡⎤⎣⎦
（12）
3、混凝土损伤本构模型
在外荷载和环境作用下，由于细观结构缺陷（如微裂缝、微空洞等）引起的材料和结构的劣化过程，称为损伤。

从上世纪80年代开始，国内外学者开展了对混凝土材料损伤模型的研究。

从混凝土材料本构关系入手，在本构模型中加入损伤变量来反映材料的损伤演变过程。

比较典型的损伤模型有：Mazars 损伤模型，Loland 损伤模型以及分线段模型和分段曲线模型等。

下面介绍下Mazars 损伤模型：
单轴受力状态下混凝土损伤本构模型
（1） 单轴受拉损伤模型
Mazars 将脆性材料的应力—应变曲线分为上升段和下降段分别予以描述，如图6所示。

c
c
图6 Mazars 损伤模型的相关关系曲线
c
c
u
~
c u
D
以峰值点（
c ε，c σ）作为分界点，当ε≤c ε时，认为σ--ε曲线为线性关系，材料
无损伤（D=0）。

当ε＞
c ε时，σ--ε曲线按指数规律下降，材料产生的损伤（D ＞0）。

其受拉应力—应变关系如下：
()()()()0001exp c t c c t c E E b εεεσαε
εαεεεε ≤≤⎧⎪⎪
⎡⎤=⎨-+
≥⎢⎥⎪-⎡⎤⎢
⎥⎣⎦⎪⎣⎦⎩ 式中，
0E 是线弹性阶段的弹性模量；t a ，t b 是材料常数，其中下标t 表示受拉。

（2） 单轴受压损伤模型 设
1ε，2ε和3ε为主应变，当沿1σ方向单向受压时，1ε=ε＜0，2ε=3ε=νε-，则单
向受压时的等效应变为
ε
式中，角括号定义为()
/2x x x =+。

单向受压时，也是将应力—应变曲线分为上升段和下降段：当c εε≤时，认为σε-曲线为线性关系，材料无损伤（D=0）;当ε＞c ε时，材料产生损伤（D ＞0）。

其受压应力—应变关
系如下()
(
)()
()001exp c c c c
c c c E E b εεεσεααεεεε ≤⎧⎪⎪⎧
=-⎨⎪- >⎨⎪⎡⎤-⎪⎪⎣⎦⎩⎩。