湖南省重点中学2013届高三9月月考 数学(理)

湖南省重点中学2013届高三9月月考
数学（理）试题
（考试范围：必修一、二、三、四、五；另加导数和空间向量）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|320},{|(1)(A x R x B x R x x =∈+>=
∈+->，则A B =
（ ）
A ．(,1)-∞-
B ．2
(1,)3
--
C ．2(,3)3
-
D ．(3,)+∞
2．已知平面,αβ，若直线l α⊥，则α∥β是l β⊥的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知平面向量(1,3),(4,2),a b a b λ=-=-+与a 垂直，则λ
（ ） A ．－1
B ．1
C ．－2
D ． 2
4．圆2
2
:8C x y +=上有两个相异的点到直线y=x －5的距离都为d ．则d 的取值范围是
（ ）
A ．19(,)22
B ．19[,]22
C ．
D ．
5．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱
AA l ⊥面 A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为 一个等边三角形，该三 棱柱的侧视图面积为（ ）
A ． B
C ．
D ．4
6．下列命题中正确的是 （ ）
A ．001,sin cos 122
o x R x x ∃∈+>使得
B ．设()sin(2),2
f x x π
=+则(,),36
x ππ
∀∈-
必有()(0.1)f x f x <+
C ．设()cos(),2f x x π
=+
则函数()6
y f x π
=+是奇函数
D ．设(2)2sin 2f x x =，则()2sin(2)33
f x x π
π
+
=+
7．设函数()()f x x R ∈满足()(),()(2)f x f x f x f x -==-，且当x ∈[o ，1]时，3
()f x x
=又函数
()|c o s ()g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-[13
.22
-]上的零点个数为
（ ） A ．5 B ． 6
C ．7
D ． 8
8．给出定义：若11
22
m x m -
<≤+（其中m 为整数）
，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}=m 。

在此基础上给出下列关于函数()|{}|f x x x =-的四个命题： （ ） ①函数()y f x =的定义域为R ，值域为[o ，1
2
]； ②函数()y f x =的图象关于直线()2
k
x k Z =
∈对称； ③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；
④函数()y f x =在[11
,
22
-]上是增函数． 则所有正确的命题的编号是 A ．①③ B ．①②③ C ．②④ D ．③④
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上．
9．过点（－2，0）且垂直于直线2x-6y+l=0的直线l 的方程是 。

10．定积分
12
n x e dx ⎰
的值为 ．
11．在等比数列{}n a 中，a 1=4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n +2）也是等比数列，则q 等
于 ．
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知点D 是BC 边的中点，且满足AD ·BC =
2
1()2
a ac -，则角B= ． 13．若⊙22
1:5O x y +=与⊙222:()20O x m y ++=(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆茌点
A 处的切线互相垂直，则线段A
B 的长度是 ．
14．定义函数()[[]]f x x x =，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如：[1. 5l=1，[－. 3]=－2．当
*
[0,)()x n n
N ∈∈时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n a ，则
（1）a 3= ； （2）式子
90
n a n
+的最小值为 ． 15．已知数列*12
:,(,3)n n A a a a n N n ∈≥满足a 1=a n =0，且当2≤k≤n(k ∈*N )时，
（2
1()k k a a --=1，
令1
()n
n i S A ai ==
∑．则
（1）S(A n )的所有可能的值构成的集合为 ； （2）当A n 存在时，S(A n )的最大值是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数，2
1
()cos cos ,2
f x x x x x R =--∈。

（1）求函数，()f x 的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c=3，()f C =0，若sinB=2sinA ，求边长a ，b 的值。

17．（本小题满分12分）
已知圆C ：2
2
84160x y x y +-++=，直线l 过定点(4，0)． （1）若直线l 与方向向量为a=(l ，3)的直线l 1垂直，求原点到直线l 的距离
（2）直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为
8
5
，求直线l 的方程 18．（本小题满分12分）
如图所示，已知△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平
行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB=2,tan ∠EAB=2
． （1）证明：平面ACD ⊥平面ADE,
（2）令AC=x ()V x 表示三棱锥A —CBE 的体积，
当()V x 取得最大值时，求直线AD 与平面 ACE 所成角的正弦值，
19．（本小题满分13分）
在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设
计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形），其中矩形 ABCD 的三边AB ，BC ，CD 由长6分米的材料弯折而成,
BC 选的长为2t 分米（1≤t ≤
32
）；曲线AOD 拟从以下两种 曲线中选择一种：曲线C 1是一段余弦曲线(在如图所示平面
直角坐标系中，解析式为y=cosx －l)，此时记门的最高点O 到BC 边的距离为h 1(t)；曲线C 2是一段抛物线，其焦点到准
线的距离为9
8
，此时记门的最高点O 到BC 边的距离为h 2(t)． （1）试分别求出函数h 1(t)，h 2(t)的表达式；
（2）要使得点O 到BC 边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时，最大值是多少？
20．（本小题满分13分）
已知函数，2(2),0
(),()1,0
x x ax e x f x g x c nx b bx x ⎧->==+⎨
≤⎩，且x =()y f x =的极值点．
（1）若方程()0f x m -=有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若直线l 是函数()y f x =的图象在点(2，f (2))处的切线，且直线l 与函数()y g x =)
的图象相切于点P(00,x y )，1
0[,]x e e -∈，求实数b 的取值范围．
21．（本小题满分13分）
已知各项均为正数的数列{}n a 满足22
112n n n n a a a a ++=+，且24324a a a +=+，其中
*n N ∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1n n
n c a =+
，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，其中*
n N ∈试比较n T 与9的大小，燕加以证明。

参考答案
一
二、 9．
10．1 11．3
12．
13．4 14．（1）4 （2）13
15．（1） （2）
三、 16．
17．
18．
19．
20。

20．
21．。