邢台七年级下册数学期末试卷达标检测卷（Word版 含解析）

邢台七年级下册数学期末试卷达标检测卷（Word 版 含解析）
一、解答题 1．已知AB //CD ．
（1）如图1，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ；
（2）如图，连接AD ，BC ，BF 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，且BF ，DF 所在的直线交于点F ．
①如图2，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝50°，∠ADC ＝60°，求∠BFD 的度数． ②如图3，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，请你求出∠BFD 的度数．（用含有α，β的式子表示）
2．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线,a b ，且,a b ABC //是直角三角形，90BCA ∠=︒，操作发现：
（1）如图1．若148∠=︒，求2∠的度数；
（2）如图2，若30,1A ∠=︒∠的度数不确定，同学们把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，请说明理由．
（3）如图3，若∠A =30°，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请写出1∠与2∠的数量关系并说明理由．
3．已知：如图（1）直线AB 、CD 被直线MN 所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB //CD ；
（2）如图（2），点E 在AB ，CD 之间的直线MN 上，P 、Q 分别在直线AB 、CD 上，连接PE 、EQ ，PF 平分∠BPE ，QF 平分∠EQD ，则∠PEQ 和∠PFQ 之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P 点作PH //EQ 交CD 于点H ，连接PQ ，若PQ 平分∠EPH ，∠QPF ：∠EQF ＝1：5，求∠PHQ 的度数．
4．如图，//MN PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG AD ⊥，垂足为点G ．
（1）如图1，求证：90MAG PBG ∠+∠=︒；
（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H 请在图2中补全图形，猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系；
5．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC 的BC 边放置于长方形直尺DEFG 的EF 边上． （1）根据图1填空：∠1＝ °，∠2＝ °； （2）现把三角板绕B 点逆时针旋转n °．
①如图2，当n ＝25°，且点C 恰好落在DG 边上时，求∠1、∠2的度数；
②当0°＜n ＜180°时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n 的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
二、解答题
6．如图1，由线段,,,AB AM CM CD 组成的图形像英文字母M ，称为“M 形BAMCD ”．
（1）如图1，M 形BAMCD 中，若//,50AB CD A C ∠+∠=︒，则M ∠=______； （2）如图2，连接M 形BAMCD 中,B D 两点，若150,B D AMC α∠+∠=︒∠=，试探求A ∠与C ∠的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且AC 的延长线与BD 的延长线有交点，当点M 在线段
BD 的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出A ∠与C ∠所有可能的数量关系．
7．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a 从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b ，根据光学知识有12,34∠=∠∠=∠，请判断光线a 与光线b 是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线α与水平线OC 的夹角为40︒，问如何放置平面镜MN ，可使反射光线b 正好垂直照射到井底?（即求MN 与水平线的夹角） （3）如图3，直线EF 上有两点A 、C ，分别引两条射线AB 、CD ．105BAF ∠=︒，
65DCF ∠=︒，射线AB 、CD 分别绕A 点，C 点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转
动，设时间为t ，在射线CD 转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD 与AB 平行？若存在，求出所有满足条件的时间t ．
8．问题情境：如图1，AB ∥CD ，∠PAB =130°，∠PCD =120°，求∠APC 的度数． 小明的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质来求∠APC ． （1）按小明的思路，易求得∠APC 的度数为 度；
（2）如图3，AD ∥BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A 、B 两点之间运动时，∠ADP =∠α，∠BCP =∠β．试判断∠CPD 、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接写出∠CPD 、∠α、∠β间的数量关系．
9．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A 转动的速度是a °/秒，灯B 转动的速度是b °
/秒，且a 、b 满足()2
450a b a b -++-=．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即//PQ MN ，且60BAN ∠=︒
（1）求a 、b 的值；
（2）若灯B 射线先转动45秒，灯A 射线才开始转动，当灯B 射线第一次到达BQ 时运动停止，问A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
（3）如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作
CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化?若不
变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
10．已知//a b ，直角ABC 的边与直线a 分别相交于O 、G 两点，与直线b 分别交于E 、F 点，90ACB ∠=．
（1）将直角ABC 如图1位置摆放，如果46AOG ∠=，则CEF ∠=______； （2）将直角ABC 如图2位置摆放，N 为AC 上一点，180NEF CEF ︒∠+∠=，请写出
NEF ∠与AOG ∠之间的等量关系，并说明理由．
（3）将直角ABC 如图3位置摆放，若140GOC ∠=，延长AC 交直线b 于点Q ，点P 是射线GF 上一动点，探究POQ ∠，OPQ ∠与PQF ∠的数量关系，请直接写出结论．
三、解答题
11．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，20B ∠=︒，60C ∠=°．
（1）求CAD ∠、AEC ∠和EAD ∠的度数．
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当30B ∠=︒，60C ∠=°，则
EAD ∠=__________︒．
当50B ∠=︒，C 60∠=︒时，则EAD ∠=__________︒． 当60B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒． 当70B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒．
（3）若B 和C ∠的度数改为用字母α和β来表示，你能找到EAD ∠与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论． 12．解读基础：
（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出A ∠、B 、C ∠、D ∠之间的关系，并说明理由；
（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出A ∠、B 、C ∠、D ∠之间的关系，并说明理由：
应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题
（3）①如图3，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，请直接写出A ∠和D ∠的关系 ；
②如图4，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．
（4）如图5，BAC ∠与BDC ∠的角平分线相交于点F ，GDC ∠与CAF ∠的角平分线相交于点E ，已知26B ∠=︒，54C ∠=︒，求F ∠和E ∠的度数．
13．如图所示，已知射线//,//,100CB OA AB OC C OAB ︒∠=∠=.点E 、F 在射线CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平分COF ∠ （1）求EOB ∠的度数；
（2）若平行移动AB ，那么:OBC OFC ∠∠的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由.
14．如图1，CE 平分ACD ∠，AE 平分BAC ∠，90EAC ACE ∠+∠=
()1请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；
()2如图2，当90E ∠=且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使
MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 点移动时，问BAE ∠与MCD ∠否存在确定的数量关系？并
说明理由．
()3如图3，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点且AB 与CD 的位置关系保持
不变，①当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q 在射线CD 的反向延长线上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．
15．在ABC 中，100BAC ∠=︒，A ABC CB =∠∠，点D 在直线BC 上运动（不与点B 、C 重合），点E 在射线AC 上运动，且ADE AED ∠=∠，设DAC n ∠=︒．
（1）如图①，当点D 在边BC 上，且40n =︒时，则BAD ∠=__________︒，
CDE ∠=__________︒；
（2）如图②，当点D 运动到点B 的左侧时，其他条件不变，请猜想BAD ∠和CDE ∠的数量关系，并说明理由；
（3）当点D 运动到点C 的右侧时，其他条件不变，BAD ∠和CDE ∠还满足（2）中的数量关系吗？请在图③中画出图形，并给予证明．（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
【参考答案】
一、解答题
1．（1）见解析；（2）55°；（3）
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数； ②如图
解析：（1）见解析；（2）55°；（3）11
18022αβ︒-+
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点F 作//FE AB ，当点B 在点A 的左侧时，根据50ABC ∠=︒，
60ADC ∠=︒，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求BFD ∠的度数；
②如图3，过点F 作//EF AB ，当点B 在点A 的右侧时，ABC α∠=，ADC β∠=，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出BFD ∠的度数． 【详解】
解：（1）如图1，过点E 作//EF AB ，
则有BEF B ∠=∠，
//AB CD ，
//EF CD ∴，
FED D ∴∠=∠，
BED BEF FED B D ∴∠=∠+∠=∠+∠；
（2）①如图2，过点F 作//FE AB ，
有BFE FBA ∠=∠．
//AB CD ，
//EF CD ∴．
EFD FDC ∴∠=∠．
BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=∠+∠．
即BFD FBA FDC ∠=∠+∠， BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，
1
252FBA ABC ∴∠=∠=︒，1302
FDC ADC ∠=∠=︒，
55BFD FBA FDC ∴∠=∠+∠=︒．
答：BFD ∠的度数为55︒； ②如图3，过点F 作//FE AB ，
有180BFE FBA ∠+∠=︒．
180BFE FBA ∴∠=︒-∠，
//AB CD ，
//EF CD ∴．
EFD FDC ∴∠=∠．
180BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=︒-∠+∠．
即180BFD FBA FDC ∠=︒-∠+∠， BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，
11
22FBA ABC α∴∠=∠=，1122
FDC ADC β∠=∠=，
11
18018022
BFD FBA FDC αβ∴∠=︒-∠+∠=︒-+．
答：BFD ∠的度数为11
18022αβ︒-+．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
2．（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析 【分析】
（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案； （2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2+∠ABD=180°
解析：（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析 【分析】
（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2+∠ABD =180°，∠1=∠DBC ，则∠ABD =∠ABC -∠DBC =60°-∠1，进而得出结论；
（3）过点C 作CP ∥a ，由角平分线定义得∠CAM =∠BAC =30°，∠BAM =2∠BAC =60°，由平行线的性质得∠1=∠BAM =60°，∠PCA =∠CAM =30°，∠2=∠BCP =60°，即可得出结论． 【详解】
解：（1）∵∠1=48°，∠BCA =90°， ∴∠3=180°-∠BCA -∠1=180°-90°-48°=42°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=42°；
（2）理由如下：
过点B作BD∥a．如图2所示：
则∠2+∠ABD=180°，
∵a∥b，
∴b∥BD，
∴∠1=∠DBC，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，
∴∠2+60°-∠1=180°，
∴∠2-∠1=120°；
（3）∠1=∠2，理由如下：
过点C作CP∥a，如图3所示：
∵AC平分∠BAM
∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，
又∵a∥b，
∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，
∴∠PCA=∠CAM=30°，
∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，
又∵CP∥a，
∴∠2=∠BCP=60°，
∴∠1=∠2．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、
角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线
解析：（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，
∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB//CD．
（2）结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH//AB．
∵AB//CD，EH//AB，
∴EH//CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠1+∠4+∠EQD +∠BPE ＝2×180°，
即∠PEQ +2(∠FQD +∠BPF )=360°，
∴∠PEQ +2∠PFQ ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF ＝y ，∠PHQ ＝x ．∠EPQ ＝z ，则∠EQF ＝∠FQH ＝5y ，
∵EQ //PH ，
∴∠EQC ＝∠PHQ ＝x ，
∴x +10y ＝180°，
∵AB //CD ，
∴∠BPH ＝∠PHQ ＝x ，
∵PF 平分∠BPE ，
∴∠EPQ +∠FPQ ＝∠FPH +∠BPH ，
∴∠FPH ＝y +z ﹣x ，
∵PQ 平分∠EPH ，
∴Z ＝y +y +z ﹣x ，
∴x ＝2y ，
∴12y ＝180°，
∴y ＝15°，
∴x ＝30°，
∴∠PHQ ＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键． 4．（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点在上时，；当点在上时，．
【分析】
（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解．
【详解】
（1）证明：
解析：（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点C 在AG 上时，290AHB CBG ∠-∠=︒；当点C 在DG 上时，290AHB CBG ∠+∠=︒．
【分析】
（1）过点G 作//GE MN ，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点C 在AG 上，当点C 在DG 上，再过点H 作//HF MN 即可求解．
【详解】
（1）证明：如图，过点G 作//GE MN ，
∴MAG AGE ∠=∠，
∵//MN PQ ，
∴//GE PQ ．
∴PBG BGE ∠=∠．
∵BG AD ⊥，
∴90AGB ∠=︒，
∴90MAG PBG AGE BGE AGB ∠+∠=∠+∠=∠=︒．
（2）补全图形如图2、图3，
猜想：290AHB CBG ∠-∠=︒或290AHB CBG ∠+∠=︒．
证明：过点H 作//HF MN ．
∴1AHF ∠=∠．
∵//MN PQ ，
∴//HF PQ
∴2BHF ∠=∠，
∴12AHB AHF BHF ∠=∠+∠=∠+∠．
∵AH 平分MAG ∠，
∴21MAG ∠=∠．
如图3，当点C 在AG 上时，
∵BH 平分PBC ∠，
∴22PBC PBG CBG ∠=∠+∠=∠，
∵//MN PQ ，
∴MAG GDB ∠=∠，
2212290AHB MAG PBG CBG
GDB PBG CBG CBG
∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠
即290AHB CBG ∠-∠=︒．
如图2，当点C 在DG 上时，
∵BH 平分PBC ∠，
∴22PBC PBG CBG ∠=∠-∠=∠．
∴2212290AHB MAG PBG CBG CBG ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠．
即290AHB CBG ∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．
5．（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②见解析
【分析】
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE ，再根据两直线平行，同位角相 解析：（1）120，90；（2）①∠1=120°-n °，∠2=90°+n °；②见解析
【分析】
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE ，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠ABE ，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG ，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2； ②结合图形，分A B 、B C 、AC 三条边与直尺垂直讨论求解．
【详解】
解：（1）∠1=180°-60°=120°，
∠2=90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，
∵∠ABC =60°，
∴∠ABE =180°-60°-n °=120°-n °，
∵DG ∥EF ，
∴∠1=∠ABE =120°-n °，
∠BCG =180°-∠CBF =180°-n °，
∵∠ACB +∠BCG +∠2=360°，
∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG
=360°-90°-（180°-n°）
=90°+n°；
②当n=30°时，∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=30°+60°=90°，
AB⊥DG（EF）；
当n=90°时，
∠C=∠CBF=90°，
∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；
当n=120°时，
∴AB⊥DE（GF）．
【点睛】
本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
二、解答题
6．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α
【分析】
（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，
解析：（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】
（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可；
【详解】
解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延长BA，DC交于E，
∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；
即∠A+∠C=30°+α；
（3）①如下图所示：
延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A-∠C=30°+α．
②如图所示，210-∠A=（180°-∠D CM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．
综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．
7．（1）平行，理由见解析；（2）65°；（3）5秒或95秒
【分析】
（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b；
（2）根据入射光线与镜面的夹角与反
解析：（1）平行，理由见解析；（2）65°；（3）5秒或95秒
【分析】
（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b；
（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1=∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上40°即可得解；
（3）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与
∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF 的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）平行．理由如下：
如图1，∵∠3=∠4，
∴∠5=∠6，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠6，
∴a∥b(内错角相等，两直线平行）；
（2）如图2：
∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1=∠2，
∵入射光线a与水平线OC的夹角为40°，b垂直照射到井底，
∴∠1+∠2=180°-40°-90°=50°，
∴∠1＝1
×50°=25°，
2
∴MN与水平线的夹角为：25°+40°=65°，
即MN与水平线的夹角为65°，可使反射光线b正好垂直照射到井底；
（3）存在．
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，
∴∠ACD=180°-65°-3t°=115°-3t°，
∠BAC=105°-t°，
要使AB∥CD，
则∠ACD=∠BAC，
即115-3t=105-t，
解得t=5；
如图②，CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，
∴∠DCF=360°-3t°-65°=295°-3t°，
∠BAC=105°-t°，
要使AB∥CD，
则∠DCF=∠BAC，
即295-3t=105-t，
解得t=95；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，
∴∠DCF=3t°-（180°-65°+180°）=3t°-295°，
∠BAC=t°-105°，
要使AB∥CD，
则∠DCF=∠BAC，
即3t-295=t-105，
解得t=95，
此时t＞105，
∴此情况不存在．
综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．
8．（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠A
解析：（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，
∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为110°；
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α，理由是：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE =∠β-∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α-∠β，
理由是：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE ，∠β=∠CPE ，
∴∠CPD =∠DPE -∠CPE =∠α-∠β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，分类讨论是解题的关键．
9．（1），；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，
【分析】
（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．
（3）由参数表示，即可判断．
【详解】
解析：（1）4a =，1b =；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，34BAC BCD ∠=∠
【分析】
（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．
（3）由参数t 表示BAC ∠，BCD ∠即可判断．
【详解】
解：（1）∵()2
450a b a b -++-=, ∴4050a b a b -=⎧⎨+-=⎩
, 4a ∴=，1b =；
（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，
①当045t <<时，
4(45)1t t =+⨯，
解得15t =；
②当4590t <<时，
()418018045t t -=-+，
解得63t =；
③当90135t <<时，
436045t t -=+，
解得135t =，（不合题意）
综上所述，当t =15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设A 灯转动时间为t 秒，
1804CAN t ∠=︒-，
60(1804)4120BAC t t ∴∠=︒-︒-=-︒，
又//PQ MN ，
18041803BCA CBD CAN t t t ∴∠=∠+∠=+︒-=︒-，
而90ACD ∠=︒，
9090(1803)390BCD BCA t t ∴∠=︒-∠=︒-︒-=-︒，
:4:3BAC BCD ∴∠∠=，
即34BAC BCD ∠=∠．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10．（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF ＝90°，理由见解析；（3）当点P 在GF 上时，∠OPQ ＝140°﹣∠POQ+∠PQF ；当点P 在线段GF 的延长线上时，140°﹣∠POQ ＝∠OPQ+∠PQF ．
解析：（1）136°；（2）∠AOG +∠NEF ＝90°，理由见解析；（3）当点P 在GF 上时，∠OPQ ＝140°﹣∠POQ +∠PQF ；当点P 在线段GF 的延长线上时，140°﹣∠POQ ＝
∠OPQ +∠PQF ．
【分析】
（1）如图1，作CP ∥a ，则CP ∥a ∥b ，根据平行线的性质可得∠AOG ＝∠ACP ，
∠BCP +∠CEF ＝180°，然后利用∠ACP +∠BCP ＝90°即可求得答案；
（2）如图2，作CP ∥a ，则CP ∥a ∥b ，根据平行线的性质可得∠AOG ＝∠ACP ，
∠BCP +∠CEF ＝180°，然后结合已知条件可得∠BCP ＝∠NEF ，然后利用∠ACP +∠BCP ＝90°即可得到结论；
（3）分两种情况，如图3，当点P 在GF 上时，过点P 作PN ∥OG ，则NP ∥OG ∥EF ，根据平行线的性质可推出∠OPQ ＝∠GOP +∠PQF ，进一步可得结论；如图4，当点P 在线段GF 的延长线上时，同上面方法利用平行线的性质解答即可．
【详解】
解：（1）如图1，作CP ∥a ，
∵//a b ，
∴CP ∥a ∥b ，
∴∠AOG ＝∠ACP ，∠BCP +∠CEF ＝180°，
∴∠BCP ＝180°﹣∠CEF ，
∵∠ACP +∠BCP ＝90°，
∴∠AOG +180°﹣∠CEF ＝90°，
∵∠AOG ＝46°，
∴∠CEF＝136°，
故答案为136°；
（2）∠AOG+∠NEF＝90°．
理由如下：如图2，作CP∥a，
则CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
而∠NEF+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°；
（3）如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG，
∴NP∥OG∥EF，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，
∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；
如图4，当点P在线段GF的延长线上时，过点P作PN∥OG，
∴NP ∥OG ∥EF ，
∴∠GOP ＝∠OPN ，∠PQF ＝∠NPQ ，
∵∠OPN ＝∠OPQ +∠QPN ，
∴∠GOP ＝∠OPQ +∠PQF ，
∴140°﹣∠POQ ＝∠OPQ +∠PQF ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键．
三、解答题
11．（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，．
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；
解析：（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当αβ<时，
1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1()2
EAD αβ∠=-． 【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出EAC ∠和DAC ∠的度数，进而可求AEC ∠和EAD ∠的度数；
（2）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出EAC ∠和DAC ∠的度数，则前三问利用EAD EAC DAC ∠=∠-∠即可得出答案，第4问利用EAD DAC EAC ∠=∠-∠即可得出答案；
（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案．
【详解】
（1）∵20B ∠=︒，60C ∠=°，
∴180100BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1502
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ADE ∴∠=∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
20EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ，
9070AEC EAD ∴∠=︒-∠=︒ ．
（2）当30B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵30B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18090BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1452
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当50B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵50B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1352
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
5EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当60B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵60B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1302
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
0EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当70B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵70B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18050BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1252
EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
5EAD DAC EAC ∴∠=∠-∠=︒ ．
（3）当B C ∠<∠ 时，即αβ<时，
∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1111(180)902222
EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，
1()2
EAD EAC CAD βα∴∠=∠-∠=- ； 当B C ∠>∠ 时，即αβ>时，
∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1111(180)902222
EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，
1()2
EAD DAC EAC αβ∴∠=∠-∠=- ； 综上所述，当αβ<时，1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1()2
EAD αβ∠=-． 【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．
12．（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； .
【分析】
（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结
解析：（1）D A B C ∠=∠+∠+∠，理由详见解析；（2）A D B C ∠+∠=∠+∠，理由详见解析：（3）①1902
D A ∠=︒+∠；②360°；（4）124
E ∠=︒； =14
F ∠︒.
【分析】
（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；
（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；
②连结BE ，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论；
（4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
（1）D A B C ∠=∠+∠+∠．理由如下：
如图1，BDE B BAD ∠=∠+∠，CDE C CAD ∠=∠+∠，
BDC B BAD C CAD B BAC C ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，D A B C ∴∠=∠+∠+∠；
（2）A D B C ∠+∠=∠+∠．理由如下：
在ADE ∆中，180AED A D ∠=︒-∠-∠，在BCE ∆中，180BEC B C ∠=︒-∠-∠，
AED BEC ∠=∠，A D B C ∴∠+∠=∠+∠；
（3）①180A ABC ACB ∠=︒-∠-∠，180D DBC DCB ∠=︒-∠-∠，BD 、CD 分别平分ABC
∠和ACB ∠，∴1122ABC ACB DBC DCB ∠+∠=∠+∠，
1111180()180(180)902222D ABC ACB A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠． 故答案为：1902D A ∠=︒+∠．
②连结BE ．
∵C D CBE DEB ∠+∠=∠+∠，360A B C D E F A ABE F BEF ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒． 故答案为：360︒；
（4）由（1）知，BDC B C BAC ∠=∠+∠+∠，
26B ∠=︒，54C ∠=︒，80BDC BAC ∴∠=︒+∠，402CDF CAE ∴∠=︒+∠，4BAC CAE ∠=∠，2BDC CDF ∠=∠，1902
GDE CDF ∴∠=︒-∠，26180AGD B GDB CDF ∠=∠+∠=︒+︒-∠，3GAE CAE ∠=∠，
3336064(2)644012422
E GAE AGD GDE CAE CD
F ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠=︒+⨯︒=︒； 180180(206)2262264014F AGF GAF CDF CAE CDF CAE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠=-︒+∠-∠=-︒+︒=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键．
13．（1）40°；（2）的值不变，比值为;（3）∠OEC=∠OBA=60°.
【分析】
（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出
∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA ，从而得出答案；
（2
解析：（1）40°；（2）:OBC OFC ∠∠的值不变，比值为12;（3）∠OEC=∠OBA=60°.
【分析】
（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=1
2∠COA ，从而
得出答案；
（2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA ，∠OFC=∠FOA ，再根据
∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB ，即可得出∠OBC ：∠OFC 的值为1：2．
（3）设∠AOB=x ，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC ，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA ，然后列出方程求解即可．
【详解】
（1）∵CB ∥OA
∴∠C+∠COA=180°
∵∠C=100°
∴∠COA=180°-∠C=80°
∵∠FOB=∠AOB ，OE 平分∠COF
∴∠FOB+∠EOF=12（∠AOF+∠COF ）=12∠COA=40°;
∴∠EOB=40°;
（2）∠OBC ：∠OFC 的值不发生变化
∵CB ∥OA
∴∠OBC=∠BOA ，∠OFC=∠FOA
∵∠FOB=∠AOB
∴∠FOA=2∠BOA
∴∠OFC=2∠OBC
∴∠OBC ：∠OFC=1：2
（3）当平行移动AB 至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA ．
设∠AOB=x ，
∵CB ∥AO ，
∴∠CBO=∠AOB=x ，
∵CB ∥OA ，AB ∥OC ，
∴∠OAB+∠ABC=180°，∠C+∠ABC=180°
∴∠OAB=∠C=100°．
∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+40°，
∠OBA=180°-∠OAB-∠AOB=180°-100°-x=80°-x ，
∴x+40°=80°-x ，
∴x=20°，
∴∠OEC=∠OBA=80°-20°=60°．
【点睛】
本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
14．（1）详见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析. 【详解】
试题分析：（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE，再
解析：（1）详见解析；（2）∠BAE+1
2
∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析.
【详解】
试题分析：（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；
（3）根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故
∠BAC=∠PQC+∠QPC．
试题解析：证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE．
∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；
（2）∠BAE+1
2
∠MCD=90°．证明如下：
过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE．∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°．
∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+1
2
∠MCD=90°；
（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC．理由如下：
如图3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；
②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．理由如下：
如图4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ．
∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．
点睛：本题考查了平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键．15．（1）60，30；（2）∠BAD=2∠CDE，证明见解析；（3）成立，
∠BAD=2∠CDE，证明见解析
【分析】
（1）如图①，将∠BAC=100°，∠DAC=40°代入∠BAD=∠BAC-∠DAC
解析：（1）60，30；（2）∠BAD=2∠CDE，证明见解析；（3）成立，∠BAD=2∠CDE，证明见解析
【分析】
（1）如图①，将∠BAC=100°，∠DAC=40°代入∠BAD=∠BAC-∠DAC，求出∠BAD．在△ABC 中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，根据三角形外角的性质得出
∠ADC=∠ABC+∠BAD=100°，在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ADE=∠AED=70°，那么∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°；
（2）如图②，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，
∠ADE=∠AED=180
2n
︒-
．根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACB-∠AED=
100
2
n-︒
，再由
∠BAD=∠DAC-∠BAC得到∠BAD=n-100°，从而得出结论∠BAD=2∠CDE；
（3）如图③，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，
∠ADE=∠AED=180
2n
︒-
．根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACD-∠AED=100
2
n
︒+
，再由
∠BAD=∠BAC+∠DAC得到∠BAD=100°+n，从而得出结论∠BAD=2∠CDE．【详解】
解：（1）∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-40°=60°．
∵在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+60°=100°．
∵∠DAC=40°，∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=100°-70°=30°．
故答案为60，30．
（2）∠BAD=2∠CDE，理由如下：
如图②，在△ABC中，∠BAC=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°．
在△ADE中，∠DAC=n，
∴∠ADE=∠AED=180
2n
︒-
，∵∠ACB=∠CDE+∠AED，
∴∠CDE=∠ACB-∠AED=40°-180
2n
︒-
=
100
2
n-︒
，
∵∠BAC=100°，∠DAC=n，
∴∠BAD=n-100°，
∴∠BAD=2∠CDE．
（3）成立，∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∴∠ACD=140°．
在△ADE中，∠DAC=n，
∴∠ADE=∠AED=180
2n
︒-
，∵∠ACD=∠CDE+∠AED，
∴∠CDE=∠ACD-∠AED=140°-180
2n
︒-
=100
2
n
︒+
，
∵∠BAC=100°，∠DAC=n，
∴∠BAD=100°+n，
∴∠BAD=2∠CDE．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，从图形中得出相关角度之间的关系是解题的关键．。