最新精选《指数函数和对数函数》单元测试考核题完整版(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数
（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．设25a
b
m ==，且
11
2a b
+=，则m =（ ）
A ．10 C ．20 D ．100（2010辽宁文10）
2．设a ＞1,且2
log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为
A ． n ＞m ＞p
B ． m ＞p ＞n
C ． m ＞n ＞p
D ． p ＞m ＞n(2007安徽
文8)
3．若函数)1,0( )(log )(3
≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1
(-
内单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．)1,4
1[ B ． )1,4
3[
C ．),49(+∞
D ．)4
9,1(（2005天津
理）
4．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 13,24⎛⎫
⎪⎝⎭（2011全国文
10）
5．某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，
E ，
F ，
G ，
H ，
I 之间拟建立信息联网工程，实际测算 的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不 建部分网线，而使得中心与各部门、院系彼此都能连通 （直接或中转），则最少的建网费用（万元）是（ ） A ．12 B ．13 C ．14
D ．16
6．若函数()|21|x
f x =-,当a b c <<时,有()()()f a f c f b >>,则下列各式中正确的是( )
A.22a
c
> B.22a
b
> C.222a
c
+< D.22a
c -<
7．函数y=f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=x+
x
4
,且当x ∈[-3,-1]时，n ≤f(x)≤m,则m-n 的最小值为（ ）A,1/3 B,2/3 C,1 D,4/3 (郑州质检)
8．m,n 是正整数，则11lim 1--→n m x x x =（ ）A,0 B,1 C,n m D,1
1
--n m （文谱一模）
(理）方法一：原式=)1......)(1()1......)(1(lim 21211+++-+++-----→n n m m x x x x x x x =n
m
，选C
方法二：原式=1
1lim
1
1lim
11----→→x x x x n x m x =1/1/|)(|)(==x n x m x x =n m ，选C
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
9．lg2lg50+= ▲ .
10．函数23x
y t =⋅+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围是 ．
11．若0＜a ＜1,0＜x ≤y ＜1,且(log )(log )1a b x y =,则xy 的范围
12．函数y =
的定义域是 ____ ． 13．已知定义域为D 的函数()f x ，对任意x D ∈，存在正数K ，都有()f x K ≤成立，则称函数()f x 是D 上的“有界函数”。

已知下列函数：①()2sin f x x =；②
()f x =()12x f x =-；
④2()1
x
f x x =+，其中是“有界函数”的是______
14．对于在区间[a ，b ]上有意义的两个函数)()(x n x m 与，如果对于区间[a ，b ]中的任意x 均有1|)()(|≤-x n x m ，则称)()(x n x m 与在[a ，b ]上是“密切函数”， [a ，b ]称为“密切区间”，若函数43)(2+-=x x x m 与32)(-=x x n 在区间[a ，b ]上是“密切函
数”，则密切区间为
15．若关于x 的方程21x -=k(x-2)有两个不等实根，则实数k 的取值范围是
16．下列函数为幂函数的是________________ （1）3
21y x =-；（2）2y x =
；（3）21y x
=；（4）22y x = 17．已知)1,0()(≠>=-a a a x f x ，当)1,0(∈a 时，)(x f 为 （填写增函数或者减函数）；当)1,0(∈a 且∈x 时，)(x f >1.
18．已知)3(log )(2cos a ax x x f +-=ϕ为锐角且为常数）在（ϕ），∞+2[上为减函数，则实
数a 的取值范围为_________________.
19．已知函数22
lg[(1)(1)1]y a x a x =-+++的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

20．若3484log 4log 8log log 2m ⋅⋅=，则m = ．
21． 若函数0()(>--=a a x a x f x
且)1≠a 有两个零点，则实数a 的取值范围是
▲ .
22．方程x 2
+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x
的图像交点的横坐
标，若x 4
+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i
)（i ＝
1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 (－∞, －6)∪(6,+∞); （上海卷11）
23．函数2()23x f x x -=+-的零点个数是 ▲ . 2
24．已知工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为ˆ6090y
x =+，若劳动生产率提高1000元，则工资提高 元.
25．已知函数2log ,08,
()1
78.2
x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，，若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是 .
26．如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动.设顶点(,)P x y
的纵坐标与横坐标的函数关系式是()y f x =，记()f x 的最小 正周期为T ；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴 所围区域的面积记为S ，则S T ⋅=___▲___．
27．若方程232x x =-的实根在区间(),m n 内，且,,1m n Z n m ∈-=，则=+n m ▲ 。

28．已知幂函数(
)
22
6
57m y m m x
-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为
A ．3
B ．2
C ．2或3
D ．2-或3-
29．设集合{|A x y ==,{|2}x B y y ==，则A B ⋂= 02]（， 30．函数1
()3x f x a
-=+的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是 （1，4） ．
31． 已知函数2
()45f x x mx =-+在(,2)-∞上是减函数，则实数m 的取值范围
_________．
32．函数1
()3x f x a -=+的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是 .
33．函数()sin cos 1sin cos x x
f x x x =
++的值域是
34．函数223, 0
()2ln , 0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩
的零点个数为_______________
35．设有半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇.设A 、B 两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？
36．函数2)(+=kx x f 在区间]2,2[-上存在零点，则实数k 的取值范围 ▲ .
37．已知幂函数)(x f 经过点)2,2(，则=)4(f __________； 三、解答题
38．(本小题满分16分)
如图，某市市区有过市中心O 南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府
决定修建两条公路：延伸从市中心O 出发北偏西60°方向的健康路至B 点；在市中心正南方向解放路上选取A 点，在A 、B 间修建南徐新路．
（1）如果在A 点处看市中心O 和B 点视角的正弦值为3
5，求在B 点处看市中心O 和A 点
视角的余弦值；
（2） 如果△AOB 区域作为保护区，已知保护区的面积为15
4 3 km 2，A 点距市中心的距离
为3 km ，求南徐新路的长度；
（3） 如果设计要求市中心O 到南徐新路AB 段的距离为4 km ，且南徐新路AB 最短，请你确定A 、B 两点的位置．
39．为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。

若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y 与时间t 满足关系式：14
4(0,)3
y at a a =-<<
为常数，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y 与时间
t
满足关系
式：
201,23,131 3.
t y t t t <<=⎨-≤≤≤≤⎪⎩
现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物
和口服药物的吸收与代谢互不干扰。

（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ （2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4
，求正数a 的取值范围。

图2
图
40．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。

已知AB=3米，AD=2米。

（I ）设x AN =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求x 的取值范围；
（II ）若)4,3[∈x （单位：米），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积。

41．（I
）计算21 103
23(3)(0.01)1)8
--
-+-+
（II ）计算21log 32.5log 6.25lg0.01ln
2+++
（III ）已知3log 2,35
b
a ==，用,a
b 表示3log
42．某投资公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）
(1）分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
43．设,10<<a 函数),22(log )(2--=x x a a a x f 求使0)(<x f 的x 的取值范围.
44． 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时间x(小时)的关系为()[]2
1
2,0,2413
x f x a a x x =
+-+∈+，其中a 与气象有关的参数，且30,4
a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作
()M a . (1)令[]2,0,241
x
t x x =
∈+，求t 的取值范围； （2）求函数()M a ；
（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？
45．已知函数f (x )＝x
x 2+1 ．
(1)讨论f (x )的奇偶性和单调性，并求出f (x )的值域；
(2)求出y ＝f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程；当x ∈(―3
4，＋∞)时，证明函数图象在点(13，3
10)处切线的下方， 利用这一结论证明下列不等式：
已知a ，b ，c ∈(―34，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，证明：a a 2+1＋b b 2+1＋c c 2+1≤9
10． (3)已知a 1，a 2，…，a n 是正数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，猜想k ＝1∑n
a k
a k 2+1的最大值．
(不要求证明)
46．已知5)(2
3-+-=x x kx x f 在R 上单调递增，记ABC ∆的三内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等差数列时，不等式[]
)4
332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f 恒成立．
（1）求实数k 的取值范围；（2）求角B 的取值范围；（3）求实数m 的取值范围．
(1)由5)(23-+-=x x kx x f 知123)(2
+-='x kx x f ， )(x f 在R 上单调递增，∴0)(>'x f 恒
成立，∴03>k 且0<∆，即0>k 且0124<-k ，∴3
1
>
k ； 当0=∆，即31=k 时，
22)1(123)(-=+-='x x kx x f ，∴1<x 时0)(>'x f ，1>x 时，0)(>'x f ，即当
3
1=
k 时，能使)(x f 在R 上单调递增，∴31
≥k ．
(2) c b a ,,成等差数列，∴2c a b +=
，由余弦定理：cosB=ac
b
c a 22
2
2
-+=ac
c a c a 2)2(
2
22+-+ =
21222322)(4322=-≥-+ac ac ac ac ac c a ，∴3
0π≤<B ， (3) )(x f 在R 上单调递增，且[
]
)4
33
2()cos(sin 2
+<+++m f C A B m f ， 所以4
332)cos(sin 2+
<+++m C A B m ，即433)cos(sin 22++--<-C A B m m
而=++=++-=++--429cos cos 433cos sin 433)cos(sin 222B B B B C A B 87)2
1
(cos 2≥++B ，
故82<-m m ，即9)1(2
<-m ，313<-<-m ，即40<≤m ，即160<≤m ．
47．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；
(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>-成立．
48．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值。

(2）对(0,)x ∈+∞，不等式2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
(3）证明对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e x x x >-成立．
(1) ()ln 1f x x '=+.
当()
10,e x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，
当()1,e
x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．
因为0t >，所以12e
t +>.
① 当102e t t <<<+，即10e t <<时，[]()
min 11()e e
f x f ==-；
②当12e t t ≤<+，即1e t ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，[]min ()()ln f x f t t t ==；
所以[]min
110,
e e
()1ln .e t f x t t t ⎧-<<⎪=⎨
⎪≥⎩
， ， (2)22ln 3x x x ax ≥-+-，则3
2ln a x x x
≤++， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2
(3)(1)
'()x x h x x
+-=， 当(0,1)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递增，
当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递减， 所以[]min ()(1)4h x h ==，
因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以[]min ()4a h x ≤=； (3)问题等价于证明2ln ((0,))e e
x x x x x >-∈+∞，
由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1e
x =时取得.
设2()((0,))e e x x m x x =-∈+∞，则1()e
x x m'x -=，易得[]max 1()(1)e m x m ==-，当且仅当
1x =时取到，
从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e
x x x >-成立．
49．已知函数421,0()3,1c c
cx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩
满足2
9()8f c =； （1）求常数c 的值；
（2）解不等式()2f x <．
50．请先阅读：在等式2
cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得： 2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-，
由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =．
(1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x ）n ＝0122C C C C n n n n n n x x x
++++（x ∈R ，正整数2n ≥），证明：1[(1)
1]n n x -+-＝11C n k k n k k x -=∑． (2）对于正整数3n ≥，求证：
(i ）1
(1)
C n k k n k k =-∑＝0；
(ii ）21
(1)
C n k k n k k =-∑＝0； (iii ）11
121C 11n n k n k k n +=-=++∑．。