祁县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

祁县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若复数z=2﹣i （ i 为虚数单位），则=（ ）
A ．4+2i
B ．20+10i
C ．4﹣2i
D ．
2． 已知{}n a 是等比数列，251
24
a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-
B ．-2
C ．2
D ．12 3． “24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性. 4． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6． 函数f （x ）=，则f （﹣1）的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7． 已知等差数列的公差且
成等比数列，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则log （a 5+a 7+a 9）的值是（ ）
A ．﹣
B ．﹣5
C ．5
D ．
9． 不等式x （x ﹣1）＜2的解集是（ ）
A ．{x|﹣2＜x ＜1}
B ．{x|﹣1＜x ＜2}
C ．{x|x ＞1或x ＜﹣2}
D ．{x|x ＞2或x ＜﹣1}
10．复数Z=（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）
A ．（1，3）
B ．（﹣1，3）
C ．（3，﹣1）
D ．（2，4）
11．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]
A ．10
B ．51
C ．20
D ．30
12．函数f （x ）=cos 2x ﹣cos 4x 的最大值和最小正周期分别为（ ）
A ．，π
B ．，
C ．，π
D ．，
二、填空题
13．设A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，A ∩B=B ，则a 的取值范围是 ．
14．已知a=（
cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是 ．
15．将曲线1:C 2sin(),04
y x π
ωω=+>向右平移
6
π
个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.
16．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则
值等于 ．
17．定义某种运算⊗，S=a ⊗b 的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= ．
18．集合A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，则A ∩B= ．
三、解答题
19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．
20．设函数f（x）=a（x+1）2ln（x+1）+bx（x＞﹣1），曲线y=f（x）过点（e﹣1，e2﹣e+1），且在点（0，0）处的切线方程为y=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥x2；
（Ⅲ）若当x≥0时，f（x）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
21．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获
胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于
体力原因，第7场获胜的概率为．
（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；
（Ⅱ）设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．
22．若{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）均在函数y=的图象上．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设，T n 是数列{b n }的前n 项和，求：使得对所有n ∈N *
都成立的最大正整数m ．
23．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线2
4y x 相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
24．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象
ππ
1
（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域；
（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A+）=1，b+c=4，a=，求△ABC的面
积．
祁县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i ，
∴==
=
=
，
∴
=10•
=4+2i ，
故选：A ．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
2． 【答案】D 【解析】
试题分析：∵在等比数列}{a n 中，4
1,2a 52==a ,21,81q 253
=∴==∴q a a .
考点：等比数列的性质. 3． 【答案】A
【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当
tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”
的充分不必要条件，故选A. 4． 【答案】C
【解析】解：如图，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1， 故平面AA 1O 1⊥面AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过B 1作B 1H ⊥AO 1于H ， 则易知A
1H 的长即是点A 1到截面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=，
AO 1=3，由A 1O 1•A 1A=h •AO 1，可得A 1H=
，
故选：C ．
【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；
逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；
综上，以上3个命题中真命题的个数是2．
故选：C
6．【答案】A
【解析】解：由题意可得f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1
故选：A
【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．
7．【答案】A
【解析】
由已知，，成等比数列，所以，即
所以，故选A
答案：A
8．【答案】B
【解析】解：∵数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），
∴a n+1=3a n＞0，
∴数列{a n}是等比数列，公比q=3．
又a2+a4+a6=9，
∴=a5+a7+a9=33×9=35，
则log（a5+a7+a9）==﹣5．
故选；B．
9．【答案】B
【解析】解：∵x（x﹣1）＜2，
∴x2﹣x﹣2＜0，
即（x ﹣2）（x+1）＜0， ∴﹣1＜x ＜2，
即不等式的解集为{x|﹣1＜x ＜2}． 故选：B
10．【答案】A 【解析】解：复数Z===（1+2i ）（1﹣i ）=3+i 在复平面内对应点的坐标是（3，1）．
故选：A ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
11．【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为5030
1500
，故选D. 考点：系统抽样 12．【答案】B
【解析】解：y=cos 2x ﹣cos 4x=cos 2x （1﹣cos 2x ）=cos 2x •sin 2x=sin 2
2x=
，
故它的周期为=，最大值为=．
故选：B ．
二、填空题
13．【答案】 a ≤0或a ≥3 ．
【解析】解：∵A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，且A ∩B=B ， ∴B ⊆A ，
则有a+1≤1或a ≥3， 解得：a ≤0或a ≥3， 故答案为：a ≤0或a ≥3．
14．【答案】 240 ．
【解析】解：a=
（
cosx ﹣sinx ）dx=（
sinx+cosx ）
=﹣1﹣1=﹣2，
则二项式（x 2﹣）6=（x 2+）6
展开始的通项公式为T r+1=
•2r •x 12﹣3r ，
令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x 2
﹣）6
展开式中的常数项是
•24=240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15．【答案】6
【解析】解析：曲线2C 的解析式为2sin[()]2sin()6446y x x ππππ
ωωω=-
+=+-，由1C 与2C 关于x 轴对称知sin()sin()464x x πππωωω+-=-+，即1c
o s ()s i n ()s i n ()c o s ()06464x x ππππωωωω⎡⎤++-+=⎢⎥⎣
⎦对一切x R ∈恒成立，∴1cos()06
sin()0
6πωπω⎧
+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
∴(21)6k πωπ=+，∴6(21),k k Z ω=+∈，由0ω>得ω的最小值为6. 16．【答案】
．
【解析】解：角α终边上一点为P （﹣1，2）， 所以tan α=﹣2．
=
=
=
﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．
17．【答案】 14 ．
【解析】解：有框图知S=a ⊗
b=
∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14 故答案为14
【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．
18．【答案】 {x|﹣1＜x ＜1} ．
【解析】解：∵A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}， ∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜1}，
故答案为：{x|﹣1＜x＜1}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
椭圆的离心率为，即有=，即a=c，b==c，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x2+y2=b2，
直线y=x+与圆相切，则有=1=b，
即有a=，
则椭圆C的方程为+y2=1；
（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0），
由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称，
即有+=0，即+=0，
即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①
设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得
（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，
判别式△=16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，
即为t2﹣2k2＜1②
x1+x2=，x1x2=，③
y1=kx1+t，y2=kx2+t，
代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0，
将③代入，化简可得t=2k，
则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）．
即有直线l恒过定点（﹣2，0）．
将t=2k代入②，可得2k2＜1，
解得﹣＜k＜0或0＜k＜．
则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，∵f′（0）=a+b=0，f（e﹣1）=ae2+b（e﹣1）=a（e2﹣e+1）=e2﹣e+1∴a=1，b=﹣1．…
（Ⅱ）f（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x，
设g（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣x2，（x≥0），g′（x）=2（x+1）ln（x+1）﹣x，
（g′（x））′=2ln（x+1）+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（0）=0．∴f（x）≥x2．…
（Ⅲ）设h（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣mx2，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+x﹣2mx，
（Ⅱ）中知（x+1）2ln（x+1）≥x2+x=x（x+1），∴（x+1）ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥3x﹣2mx，
①当3﹣2m≥0即时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，成立．
②当3﹣2m＜0即时，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+（1﹣2m）x，h′′（x）=2ln（x+1）+3﹣2m，令h′′
（x）=0，得，
当x∈[0，x0）时，h′（x）＜h′（0）=0，∴h（x）在[0，x0）上单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0，不成立．
综上，．…
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B，
∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，
∴，，
∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为和．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7，
∴，P（X=6）=，P（X=7）=，∴随机变量X的分布列为
．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意知：S n =n 2
﹣n ，
当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=3n ﹣2， 当n=1时，a 1=1，适合上式， 则a n =3n ﹣2；
（2）根据题意得：b n ==
=
﹣
，
T n =b 1+b 2+…+b n =1﹣+﹣+…+
﹣
=1﹣
，
∴{T n }在n ∈N *
上是增函数，∴（T n ）min =T 1=，
要使T n ＞对所有n ∈N *
都成立，只需
＜，即m ＜15，
则最大的正整数m 为14．
23．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1x =. 【解析】
（2 ，进而得
1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,
4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2
480y my --=，∴128y y =-，
因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ==
=，E 点到直线x a =的距离
12
|
|2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）①处应填入
．
=．
∵T=，
∴，
，
即．
∵
，∴
，∴
，
从而得到f （x ）的值域为．
（Ⅱ）∵，
又0＜A ＜π，∴，
得
，
．
由余弦定理得a 2=b 2+c 2
﹣2bccosA=
=（b+c ）2﹣3bc ，
即
，∴bc=3．
∴△ABC 的面积
．
【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．。