优化探究高考数学一轮复习 第六章 第二节 一元二次不

【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第六章 第二节 一元二次不
等式及其解法课时作业 理 新人教A 版
A 组 考点能力演练
1．关于x 的不等式x 2
＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
解析：依题意得q,1是方程x 2
＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，选B. 答案：B
2．(2016·郑州模拟)已知不等式ax 2
－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2
－5x ＋a >0的解集是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －13<x <
12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－12
<x <
1
3 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪ x <－13或x >
1
2 D.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x <－12或x >
1
3 解析：本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．由题意得方程ax 2
－5x ＋b ＝0的两根分别为－3,2，于是⎩⎪⎨⎪⎧
－3＋2＝－－5
a
，－3×2＝b
a
，⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－5，
b ＝30，于是不等式bx 2
－5x
＋a >0即为30x 2
－5x －5>0，即(3x ＋1)(2x －1)>0⇒x <－13或x >12
.
答案：C
3．已知集合A ＝{x |x 2
－2x －3>0}，B ＝{x |x 2
＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则有( )
A ．a ＝3，b ＝4
B ．a ＝3，b ＝－4
C ．a ＝－3，b ＝4
D ．a ＝－3，b ＝－4
解析：由题意得集合A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，所以集合B 为{x |－1≤x ≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a ＝－3，b ＝－4.
易知A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∩B ＝(3,4]，可得4为方程x 2
＋ax ＋b ＝0的一个根，则有16＋4a ＋b ＝0，经验证可知选项D 正确．
答案：D
4．(2015·重庆二诊)已知不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，2，对于系数a ，b ，c 有
如下结论：①a >0；②b >0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，2，则相对应的二次函数f (x )＝ax 2
＋bx
＋c 的图象开口向下，所以a <0,2和－12是方程ax 2
＋bc ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－
b a ＝3
2
>0，故b >0，c >0，且f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0，故选C. 答案：C
5．(2015·皖南八校联考)不等式x 2
－2x ＋5≥a 2
－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．[－1,4]
B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D ．[－2,5]
解析：x 2
－2x ＋5＝(x －1)2
＋4的最小值为4，所以x 2
－2x ＋5≥a 2
－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.
答案：A
6．(2016·福州质检)已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________.
解析：由不等式可得a ≠0，且不等式等价于a (x ＋1)⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a <0，由解集特点可得a <0，且
1
a ＝－1
2
，所以a ＝－2. 答案：－2
7．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为________．
解析：根据定义可知，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2
＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)．
答案：(－2,1)
8．对于任意a ∈[－1,1]，f (x )＝x 2
＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，那么x 取值范围是
________．
解析：令g (a )＝x 2
＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2
－4x ＋4，由题意知g (－1)>0且
g (1)>0，解得x <1或x >3.
答案：(－∞，1)∪(3，＋∞) 9．已知f (x )＝－3x 2
＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)>0；
(2)若不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (1)>0，∴－3＋a (6－a )＋b >0. 即a 2
－6a ＋3－b <0.
Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .
①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式的解集为∅. ②当Δ>0，即b >－6时，
方程a 2
－6a ＋3－b ＝0有两根a 1＝3－6＋b ，
a 2＝3＋6＋
b ，
∴不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )． 综上所述：当b ≤－6时，原不等式的解集为∅；
当b >－6时，原不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )． (2)由f (x )>0，得－3x 2
＋a (6－a )x ＋b >0， 即3x 2
－a (6－a )x －b <0. ∵它的解集为(－1,3)，
∴－1与3是方程3x 2
－a (6－a )x －b ＝0的两根．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝a 6－a
3，
－1×3＝－b
3
，
解得⎩⎨
⎧
a ＝3－3，
b ＝9
或⎩⎨
⎧
a ＝3＋3，
b ＝9.
10．(2015·攀枝花二模)已知函数f (x )＝x ＋b
1＋x
2为奇函数．
(1)证明：函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数； (2)解关于x 的不等式f (1＋2x 2
)＋f (－x 2
＋2x －4)>0.
解：(1)证明：∵函数f (x )＝x ＋b
1＋x
2为定义在R 上的奇函数，f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )
＝
x
x 2
＋1
(经检验满足题意)，
∴f ′(x )＝x 2＋1－x ·2x x 2＋12＝1－x
2
x 2
＋1
2
.
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，
∴函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．
(2)由f (1＋2x 2
)＋f (－x 2
＋2x －4)>0，得f (1＋2x 2
)>－f (－x 2
＋2x －4)． ∵f (x )是奇函数，∴f (1＋2x 2
)>f (x 2
－2x ＋4)． 又∵1＋2x 2
>1，x 2
－2x ＋4＝(x －1)2
＋3>1， 且f (x )在(1，＋∞)上为减函数，
∴1＋2x 2
<x 2
－2x ＋4，即x 2
＋2x －3<0，解得－3<x <1.
∴不等式f (1＋2x 2
)＋f (－x 2
＋2x －4)>0的解集为{x |－3<x <1}．
B 组 高考题型专练
1．(2013·高考大纲全国卷)不等式|x 2
－2|<2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－2,0)∪(0,2)
解析：由|x 2
－2|<2得－2<x 2
－2<2，即0<x 2
<4，所以－2<x <0或0<x <2. 答案：D
2．(2013·高考重庆卷)关于x 的不等式x 2
－2ax －8a 2
<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－
x 1＝15，则a ＝( )
A.5
2 B.72 C.154
D.152
解析：由条件知x 1，x 2为方程x 2
－2ax －8a 2
＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2
，故(x 2
－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152
，得a ＝52
.
答案：A
3．(2013·高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <－1或x >
1
2，则f (10x )>0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >－lg 2}
B ．{x |－1<x <－lg 2}
C ．{x |x >－lg 2}
D ．{x |x <－lg 2}
解析：因为一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <－1或x >
1
2，所以可设f (x )＝a (x ＋
1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)·⎝
⎛⎭⎪⎫10x －12<0，即10x <1
2，x <－lg 2.
答案：D
4．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2
－x <4的解集为________．
解析：不等式2x 2
－x <4⇒x 2
－x <2⇒－1<x <2，故原不等式的解集为(－1,2)． 答案：(－1,2)
5．(2013·高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2
－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．
解析：由题意，要使8x 2
－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2
α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π
3≤2α≤2π，解得
0≤α≤π6或5π
6
≤α≤π.
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π6，π。