2025届高考数学一轮总复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示法

第六章
第一节 数列的概念与简单表示法
课标
1.了解数列的概念和表示方法(表格、图象、通项公式、递推公式).
解读
2.了解数列是一种特殊的函数.
强基础 增分策略
知识梳理
1.数列的有关概念
概念
含义
数列的项
按照 确定的顺序 排列的一列数
数列中的 每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
数列
通项公式
前n项和
如果数列{an}的递推公式满足an+1-an=f(n)的形式,且f(n)可求和,那么就可
以运用累加法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,求出数列
{an}的通项公式.
对点训练
1
3 数列{an}中,a1=0,an+1-an= + +1,且
√ √
an=9,则 n=
.
答案 100
1
解析∵an+1-an= + +1
√ √
= √ + 1 − √,
∴an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1=√ − -1 + -1 − -2+…+√2 −
√1+0=√-1.∵an=9,即√-1=9,解得 n=100.
考向2.累乘法
-1
· ··
…·
2 3 4
+1
1
1
1
1
1
∴S30=1- + − +…+ −
2
2
3
30
31
=
=
30
.故选
31
=

,
+2
1
(+1)
A.
=
1
1
− +1.

方法总结累乘法求通项公式
+1
如果数列{an}的递推公式满足 =f(n)(an≠0)的形式,且 f(n)可求积,那么就可

-1 -2
提示 不同.数列作为特殊的函数,也具有单调性,但其单调性与对应函数的
单调性又有所不同,由于数列中项数n只能取正整数,所以当函数f(x)在区间
[1,+∞)内单调时,数列{f(n)}也是单调数列,但当数列{f(n)}是单调数列时,函
数f(x)不一定是单调函数.
常用结论
1.注意区分数列的项与项数,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数则
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
2Sn=an(an+1),则a4 023=(
A.4 022
B.4 023
C.4 024
D.4 025
)
(2)已知各项均为正数的数列{an},若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,
是指该项对应的位置序号.
2.若数列{an}是递增(递减)数列,则an+1>an(an+1<an)对n∈N*恒成立.
3.递推关系式满足an+1-an=f(n)的数列{an},可用累加法求数列的通项公式;
+1
递推关系式满足 =f(n)的数列{an},可用累乘法求数列的通项公式.


4.若数列{an}的前 n 项和 Sn=kan+p(k≠0,1),则数列{an}为公比等于 的等比数
典例突破
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴

2 3

∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
8 7
2 1
1

9 8 7
2
*
(n≥2,n∈N ),所以 · · ·
…·
8 7 6
1
-1
=
考向3.构造法
典例突破
例
1

5.(1)在数列{an}中,a1=2,an+1= +1,则

1
A.4 019
1
B.4 020
1
C.
4 021
1
D.
4 022
a4 021=(
)
(2)(多选)(2023 吉林长春模拟)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且有
}的
+1
前n项和为
.
答案 (1)B

(2)
+1
解析(1)设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=2n-1,则a5=S5-S4=(25-1)-(24-1)=16.
故选B.
(2)当 n≥2 时,a1+2a2+3a3+…+nan=n,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n-1,两式相减,
1
则a2=3,a3=12,a4=48,故S4=a1+a2+a3+a4=1+3+12+48=64.
)
考点二
利用递推关系求通项公式(多考向探究)
考向1.累加法
典例突破
例3.(2023广西南宁三中一模)已知数列{an}满足nan+1-(n+1)an=2,a1=1,则数
列{an}的通项公式为
.
答案 an=3n-2
程中要始终注意这一条件.
(2)在已知an与Sn的关系式解决有关问题时,注意两种策略:一是再写一个式
子与已知式子相减消去Sn,得到an与an-1的关系进行求解;二是将an用Sn-Sn-1
代替,从而消去an得到Sn与Sn-1的关系进行求解.
(3)类比an与Sn的关系,若设数列{an}前n项的积为Tn(Tn≠0),则有
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
{bn}的前n项和是(
)
A.2n+1-1
B.2n-1
(+1)
C.
2
D.n(n+1)
答案 C
解析当n=1时,a1=S1=21-1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,a1=1满足上式,所以an=2n-1.
所以bn=log2an+1=log22n=n,
所以数列{bn}的前 n 项和是
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用
一个式子来表示,这个式子叫做数列的通项公式
数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做数列的前n项和
并非每一个数列都有通项公式,数列有通项公式时也不一定是唯一的
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
数列的图象是坐标系中
把点(n,an)画在平面直角坐标系中
过迭代求出数列的项.
(2)数列的通项公式与递推公式都可以确定一个数列,都可以求出数列的任
意一项.
3.an与Sn的关系
S1 , = 1,
若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 an=
Sn-Sn-1
, ≥ 2.
微点拨利用an与Sn的关系解题的注意事项
(1)切记an=Sn-Sn-1的成立条件是n≥2,当n=1时,只能用a1=S1求解,在解题过


以运用累乘法 an=

·
·
-1 -2 -3
·…· 2 ·a1,求出数列{an}的通项公式.
1


对点训练4在数列{an}中,a1=2, -1 = -1 (n≥2,n∈N*),则
a9=
.
答案 18
解析 在数列{an}中,因为

a1=2,
-1
=
9 8
3 2
9
× ×…× × =9= ,则 a9=9×2=18.
1
1

*
得 nan=n-(n-1)=1,所以 an= ,当 n=1 时,a1=1 满足 an= ,故 an= (n∈N ),则



+1
1(+1)=11− +1,数列 +1

的前 n 项和
1
1
1
1
1
1
Sn=1 − 2 + 2 − 3+…+ − +1
=

.
+1
=
方法总结已知Sn求an的流程
+ -1 =an(n≥2),则 a6=
.
答案 (1)B (2)11
2
2
解析 (1)由 2Sn=2 +an,2Sn-1=-1
+an-1(n≥2),两式相减得 2an=2 − -1
+an2
an-1,∴2 − -1
=an+an-1.∵an>0,∴an-an-1=1.
当 n=1 时,2S1=12 +a1,∴a1=1,
1 , = 1,
an= , ≥ 2.
-1
4.数列的分类
分类标准
项数
项与项间的
大小关系
类型
满足条件
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
递增数列
an+1>an
递减数列
an+1<an
常数列
an+1=an
摆动数列
n∈N*
从第二项起,有些项大于它前一项,有些项小
于它前一项
微思考数列的单调性与对应函数的单调性相同吗?
-1
列.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)数列的通项公式是唯一的.( × )
(2)若数列{an}(an=f(n))是递减数列,则函数y=f(x)必为减函数.( × )
(3)若数列{an}满足an+1=an(n∈N*),则该数列是常数列.( √ )
(4)数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值.( × )
(1)先利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出
当n≥2时an的表达式.
(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
对点训练1已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,若bn=log2an+1(n∈N*),则数列
3
<
2 2 ,即得k>-3.故选D.
3.已知数列{an+2n}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式
为
.
0, = 1,
答案 an=
2-1-2 , ≥ 2
解析 当n=1时,有a1+2=12+1=2,所以a1=0;当n≥2时,
an+2n=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,所以an=2n-1-2n,又a1=0不适合上式,故
的一些孤立的点
公
通项公式
式
法
把数列的通项用公式表示
使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和
递推公式
an+1=f(an,an-1)等表示数列的方法
给出了数列相邻两项或多项之间的关系
微点拨数列的通项公式与递推公式的异同点
(1)数列的通项公式反映的是项与序号之间的关系,可根据某项的序号求出
这一项;递推公式反映的是项与项之间的关系,可根据第1项(或前几项)通
列{an}是等差数列或等比数列,然后求出其通项公式;
(2)消去an,在an与Sn的关系式中,令an=Sn-Sn-1(n≥2)代入,消去an,得到Sn与Sn-1
的关系,从而确定数列{Sn}是等差数列或等比数列,求出Sn后再求得an.
对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则S4等于
1
1
Sn=2(an+ ),则下列结论正确的是(
数列{an}的通项公式为 an= 0, = 1,
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
数列,所以 =n,所以 Sn=n2,故 a6=S6-S5=62-52=11.
方法总结利用an与Sn的关系式求通项公式
已知an与Sn的关系式求an时,一般有两种基本思路:
(1)消去Sn,根据已给出的关系式,令n=n+1(n∈N*)或n=n-1(n≥2),再写出一
个式子,然后将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数
解析由等式
+1
nan+1-(n+1)an=2,得
+1

−

=
2
1
1
=2( −
),
(+1)

+1

1
1
1
1
1

1
所以 -a1=2(1- + − +…+ − ),即 -a1=2(1- ),

2
2
3



-1
化简得an=(2+a1)n-2,由a1=1,得an=3n-2.
方法总结累加法求通项公式
(
A.85
B.255
C.64
D.256
答案 C
解析由an+1=3Sn(n≥1)①得,an=3Sn-1(n≥2)②,①-②得an+1-an=3an,即
an+1=4an,n≥2.
又a1=1,令n=1,得a2=3S1=3.
所以当n≥2时,数列{an}是以a2=3为首项,公比为4的等比数列,所以
an=3×4n-2,n≥2.
2.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn,若对于n∈N*,都有an+1>an成立,则
实数k的取值范围是(
A.(0,+∞)
B.(-1,+∞)
C.(-2,+∞)
D.(-3,+∞)