高考数学一轮必备 6.1《数列的概念与简单表示法》考情分析学案

6.1数列的概念与简单表示法
考情分析
高考中主要在选择题、填空题中考查等差数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多考查
等差数列的证明 基础知识
1、等差数列的判定：（1）定义法：*1()n n a a d n N +-=∈（2）等差中项法：
*112(2)n n n a a a n N n -+=+∈≥且（3）通项公式法：(,)n a kn b k b R =+∈（4）2(,)n S An Bn A B R =+∈ （5）若{},{}n n a b 均为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则
232{}{}{,,}n n n k k k k k S
ma kb l S S S S S k n
++--g g g ；；即相邻项和；
由原等差数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等差 要否定是等差数列，只需举一组反例即可 2、等差数列的性质
（1）通项公式：①1(1)n a a n d =+-②()n m a a n m d -=- （2）前n 项和公式：①1()2n n n a a S +=
②1(1)
2
n n n S na d -=+ （3）下脚标性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a +=+ （4）奇偶项的性质：项数为2n 的等差数列有11
=,
=(,n
n n n S a S S nd a a S a ++-奇偶奇偶为中间两项）；项数为奇数21n -的等差数列有21(21)n n S n a -=-，n n =a ,
=n-1
S S S S -奇偶奇偶(n a 为中间项） （5）几个常用结论：①若,()n m a m a n m n ==≠则0m n a +=②若,()n m S m S n m n ==≠则
()m n S m n +=-+③若()m n S S m n =≠则0m n S +=④若,n n S T 分别为等差数列{}n a 和{}
n b 的前n 项和，则
21
21
m m m m a S b T --=
（6）两个常用技巧：若三个数成等差通常设成,,a d a a d -+，若四个数成等差通常
3,,,3a d a d a d a d --++，方便计算
注意事项
1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
2.(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．
(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现． 3.由递推式求通项a n 的方法： (1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法； (2)
a n ＋1
a n
＝f (n )型，采用叠乘法； (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决． 题型一 由数列的前几项求数列的通项 【例1】►写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；
(2)12，34，78，1516，31
32，…； (3)－1，32，－13，34，－15，3
6，…；
(4)3,33,333,3 333，….
解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23
，24
，…，所以a n ＝2n
－1
2
n .
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n
；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n
·
2＋－1
n
n
.
也可写为a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－1
n
，n 为正奇数，
3
n ，n 为正偶数.
(4)将数列各项改写为：93，993，9993，9 999
3
，…，
分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1，104－1，…，所以a n ＝13
(10n
－1)．
【变式1】下列四个关于数列的说法：
①数列可以看成一个定义在N *
(或它的有限子集{1,2，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；
③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的．
其中正确说法的序号是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④
答案：C
解析：∵②中数列项数可以有无限项，故②错．④中数列的通项公式不一定唯一，有的有多个，故④错．①③正确．故选C. 题型二 由a n 与S n 的关系求通项a n
【例2】已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2
－3n ； (2)S n ＝3n
＋2.
解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2
－3n )－[2(n －1)2
－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n
＋2)－(3
n －1
＋2)＝2·3
n －1
.
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
5， n ＝1，2·3n －1
n ≥2.
【变式2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
－2n ＋1，则其通项公式为________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12
－2×1＋1＝2；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2
－2n ＋1－[3(n －1)2
－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2，n ＝1，6n －5，n ≥2.
答案 a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2，n ＝16n －5，n ≥2
题型三 由数列的递推公式求通项
【例3】►根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝
n －1
n
a n －1(n ≥2)；
(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1
，∴a n ＝2·3
n －1
－1.
(2)∵a n ＝
n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝1
2
a 1.以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1
n
.
(3)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋1
2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1
2
×
(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2
.
【变式3】 根据下列各个数列{a n }的首项和基本关系式，求其通项公式． (1)a 1＝1， a n ＝a n －1＋3
n －1
(n ≥2)；
(2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1n .
解 (1)∵a n ＝a n －1＋3
n －1
(n ≥2)，∴a n －1＝a n －2＋3
n －2
，
a n －2＝a n －3＋3n －3，
…
a 2＝a 1＋31，
以上(n －1)个式子相加得
a n ＝a 1＋31＋32＋…＋3n －1＝1＋3＋32＋…＋3
n －1
＝3n
－1
2
.
(2)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1n ，
∴a n ＋1－a n ＝l n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n
，
∴a n －a n －1＝ln n
n －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2
， …
a 2－a 1＝ln 21
，
以上(n －1)个式相加得， ∴a n －a 1＝ln
n
n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21
＝ln n ．又a 1＝2，
∴a n ＝ln n ＋2.
题型四 数列性质的应用
【例4】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1
n －1a n －1(n >1)．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n ＝2013，求n .
解：(1)∵a 1＝1，且a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1
n －1a n －1(n >1)．
∴a 2＝a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＋1
n a n (n ≥1)．
∴a n ＋1－a n ＝1
n
a n (n ≥2)．
∴a n ＋1＝
n ＋1
n
a n ， ∴
a n ＋1n ＋1＝a n
n
(n ≥2)． ∴a n n ＝
a n －1n －1＝…＝a 22＝1
2
，
∴a n ＝n
2(n ≥2)．
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1 n ＝1
n
2
n ≥2.
(2)∵a n ＝n
2
＝2013，∴n ＝4026. 【训练4】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2
＋24n (n ∈N *
)． (1)求{a n }的通项公式；
(2)当n 为何值时，S n 达到最大？最大值是多少？ 解 (1)n ＝1时，a 1＝S 1＝23.
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋24n ＋(n －1)2－24(n －1)＝－2n ＋25.经验证，a 1＝23符合a n
＝－2n ＋25，
∴a n ＝－2n ＋25(n ∈N *
)．
(2)法一 ∵S n ＝－n 2＋24n ，∴n ＝12时，S n 最大且S n ＝144. 法二 ∵a n ＝－2n ＋25，
∴a n ＝－2n ＋25＞0，有n ＜
25
2
.∴a 12＞0，a 13＜0， 故S 12最大，最大值为144.
重难点突破
【例5】数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2
－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解：(1)当n ＝4时，a 4＝42
－4×7＋6＝－6.
(2)令a n ＝150，即n 2
－7n ＋6＝150，解得n ＝16，即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2
－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)，∴从第7项起各项都是正数． 巩固提高
1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于 ( ) A. 4 B. 2 C. 1 D. －2
答案：A
解析：∵S n ＝2a n －2，∴S 1＝a 1＝2a 1－2. 即a 1＝2，又S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－2，∴a 2＝4.
2.已知数列2，5，22，11，…，则25在这个数列中的项数为( ) A. 6 B. 7 C. 19 D. 11
答案：B
解析：设2，5，8，11，…形成的数列为{a n }，被开方数形成的数列为{b n }，从形式上讲，每一项都有二次根号，被开方数为2,5,8,11，…，易归纳出数列{b n }的一个通项公式为b n ＝3n －1，所以a n ＝3n －1，25＝20＝3n －1，解得n ＝7，所以25是这个数列的第7项．
3.已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝1
2
，则a 2012＝( ) A. 1
2 B. 2 C. －1
D. 1
答案：B
解析：由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝
1
1－a 4
＝2，…，于是a 3n ＋1＝1
2
，a 3n ＋2＝2，a 3n ＋3＝－1，因此a 2012＝a 3×670＋2＝2，故选B.
4. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *
)，则此数列是( ) A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列
答案：C
解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1， ∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n . 两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ， ∴a n ＝0(n ≥2)．
当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0， ∴a n ＝0(n ∈N *
)，故选C.
5.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)(78)n
，则当a n 取得最大值时，n 等于( )
A. 5
B. 6
C. 5或6
D. 7
答案：C
解析：由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
a n ≥a n －1，
a n ≥a n ＋1，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
n ＋27
8n
≥n ＋178n －1
，n ＋2
78
n ≥n ＋3
78
n ＋1
.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
n ≤6，n ≥5.
∴n ＝5或6.。