2021高考理科数学一轮总复习课标通用版课件：第3章 导数及其应用 3-1

之
间
的
平
均
变
化
率
，
即
Δy Δx
＝
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.如果当 Δx→0 时，ΔΔyx有极限，我们就说函数 y＝f(x)在点 x0 处
________，并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处的导数，记作________或 y′|x＝x0，即 f′(x0)
＝
Δy＝ lim Δx x0
lim
解析：易知平均速率为 h（2）2－－1h（1）＝2－111＝－9(m/s)． 答案：－9
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2．(教材改编)已知函数 f(x)＝10－4x＋3x2，且 f′(a)＝2，则 a＝________．
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1．导数的概念
(1)定义
如果函数 y＝f(x)的自变量 x 在 x0 处有增量 Δx，那么函数 y 相应地有增量 Δy＝f(x0＋Δx)
－
f(x0)
，
比
值
Δy Δx
就
叫
函
数
y ＝ f(x) 从
x0
到
x0 ＋ Δx
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1．(教材改编)高台跳水运动员相对水面的高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)的函数关系 式是 h(t)＝－5t2＋6t＋10，则在 1≤t≤2 内的平均速度为________m/s.
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高频考点 1 导数的概念 【 例 1.1 】 (1)(2019 年 安 徽 蚌 埠 四 校 联 考 ) 若 f ′ (x0) ＝ － 3 ， 则
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03 导数及其应用
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§3.1 导数的概念及运算
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1．导数概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算
(1)能根据导数定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导 数．
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求 简单的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b)的复合函数)的导数．
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2．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线 的斜率．也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是________．相应的切 线方程为________． 3．基本初等函数的导数公式 (1)C′＝____________(C 为常数)， (xα)′＝________(α∈Q*)； (2)(sinx)′＝________，(cosx)′＝________； (3)(lnx)′＝________，(logax)′＝________； (4)(ex)′＝________，(ax)′＝________．
解析：由题意可知，f′(x)＝－4＋6x，所以 f′(a)＝－4＋6a＝2，解得 a＝1.
答案：1
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3．(教材改编)曲线 y＝x3－x＋3 在点(1，3)处的切线的斜率为________．
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lim
h0
f（x0＋h）－h f（x0－h）＝(
)
A．－3
B．－6
C．－9
D．－12
(2)用定义法求函数 f(x)＝x2－2x－1 在 x＝1 处的导数．
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的导函数有时也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝
f（x＋Δx）－f（x）
lim
x0
Δx
.
(3)用定义求函数 y＝f(x)在点 x0 处导数的方法 ①求函数的增量 Δy＝________；
②求平均变化率ΔΔyx＝________；
③取极限，得导数 f′(x0)＝
lim
x0
Δy Δx.
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【解析】 (1)f′(x0)＝－3，
则 lim h 0
f（x0＋h）－f（x0－h） h
＝
f（x0＋h）－f（x0）＋f（x0）－f（x0－h）
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答案
1．(1)可导 f′(x0) (3)①f(x0＋Δx)－f(x0)
②f（x0＋ΔxΔ）x －f（x0）
2．f′(x0) y－y0＝f′(x0)(x－x0)
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(3)常见基本初等函数的导数公式： (C)′＝0(C 为常数)；(xn)′＝nxn－1，n∈N＋； (sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx； (ex)′＝ex；(ax)′＝axlna(a>0，且 a≠1)；
即 3x－y－1＝0. (2)易知点(1，a)在曲线 y＝ax2－lnx 上，
y′＝2ax－1x，
∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝21.
答案：(1)3x－y－1＝0
1 (2)2
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(2)函数 y＝lenxx的导函数为________． 解析：(1)本题易出现一种求导错解：f′(x)＝6x2＋2a.没弄清函数中的变量是 x，而 a 只是一个字母常量，其导数为 0. f′(x)＝6x2.
(2)y′＝1x·e（x－exe）x·2 lnx＝1－xexxlnx.
答案：(1)6x2 (2)y′＝1－xexxlnx
3．(1)0
αxα－1
(2)cosx
－sinx
1 (3)x
1 xlna
(4)ex axlna
4．(1)f′(x)±g′(x)
(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) Cf′(x)
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解析：因为 y′＝3x2－1，所以在点(1，3)处的切线的斜率为 3×12－1＝2.
答案：2
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4．导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错． (1)若函数 f(x)＝2x3＋a2，则 f′(x)＝________．
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4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝____________．
(2)[f(x)g(x)]′＝____________；
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f′（x）g（x）－f（x）g′（x）
(3)
[g（x）]2
5．yx′＝y′u·u′x
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5．求曲线切线方程的步骤：确定切点；求导数；得出斜率；写出切线方程． (1)曲线 y＝xex＋2x－1 在点(0，－1)处的切线方程为________． (2)若曲线 y＝ax2－lnx 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a＝________．
(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae(a>0，且 a≠1)． (4)常用的导数运算法则： 法则 1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． 法则 2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． 法则 3：uv（ （xx） ）＝u′（x）v（vx2）（－x）u（x）v′（x）(v(x)≠0)．
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当 g(x)＝C(C 为常数)时，即[Cf(x)]′＝________．
(3)
f x gx
′＝____________________(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为________．即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.
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(2)导函数
当 x 变化时，f′(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)
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解析：(1)依题意得 y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线 y＝xex＋2x－1 在点(0，－1)处的切线的
斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线 y＝xex＋2x－1 在点(0，－1)处的切线方程为 y＋1＝3x，