北师大版数学高二-选修4-1测评 1.2.4切割线定理

学业分层测评(七)
2.4 切割线定理
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1.如图1-2-91所示，线段AB和⊙O交于C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于E，F.那么AE与BF的关系为()
图1-2-91
A.AE＝2BF
B.AE＝1
3BF
C.AE>BF
D.AE＝BF
【解析】∵AE2＝AC(AC＋CD)，BF2＝BD(BD＋CD).
又∵AC＝BD，CD＝CD，∴AE2＝BF2，
∴AE＝BF.
【答案】 D
2.如图1-2-92，P AB，PCD是⊙O的两条割线，PC＝AB，P A＝20，CD＝11，则AB的长为()
图1-2-92
A.30
B.25
C.20
D.15
【解析】设PC＝AB＝x，则x(x＋11)＝20×(20＋x)，所以x＝25.
所以AB的长为25.
【答案】 B
3.如图1-2-93所示，已知P A是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B，C两点，PB＝2 cm，BC＝8 cm，则P A的长等于()
图1-2-93
A.4 cm
B.16 cm
C.20 cm
D.2 5 cm
【解析】∵PB＝2，BC＝8，∴PC＝10.
∵P A是⊙O的切线，PC是⊙O的割线，
∴P A2＝PB·PC＝2×10，
∴P A＝25(cm).
【答案】 D
4.如图1-2-94，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到直线AC的距离为22，AB＝3，则AD的长为()
图1-2-94
A.7
B.213
C.15
D.5 6
【解析】∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2 2.∴BC＝232－(22)2＝2.又∵AB＝3，∴AC＝5.又∵AD为⊙O的切线，由切割线定理得AD2＝AB·AC＝3×5＝15，∴AD＝15.
【答案】 C
5.如图1-2-95，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()
图1-2-95
A.CE·CB＝AD·DB
B.CE·CB＝AD·AB
C.AD·AB＝CD2
D.CE·EB＝CD2
【解析】在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.
【答案】 A
二、填空题
6.如图1-2-96，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为P A中点，过M 引割线交圆于B，C两点.求证：∠MCP＝∠MPB.
图1-2-96
【证明】∵P A与圆相切于A，
∴MA2＝MB·MC.
∵M为P A中点，∴PM＝MA，
∴PM2＝MB·MC，
∴PM
MC
＝MB
PM.
∵∠BMP＝∠PMC，
∴△BMP∽△PMC，
∴∠MCP＝∠MPB.
7.如图1-2-97，PT是⊙O的切线，切点为T，直线P A与⊙O交于A，B两点，∠TP A的平分线分别交直线TA，TB于D，E两点，已知PT＝2，PB＝3，
则P A＝__________，TE
AD＝__________.
图1-2-97 【解析】由切割线定理得PT2＝PB·P A，
∴P A＝4
3
＝4
3 3.
由弦切角定理得∠PTB＝∠TAB，
又DP平分∠TP A，∴∠TPE＝∠DP A.∵∠TED＝∠PTB＋∠TPE，
∠TDE＝∠TAB＋∠DP A，
∴∠TED＝∠TDE.
∴TD＝TE.
由角平分线性质得TD AD ＝PT P A ＝2433＝3
2.
∴TE AD ＝32.
【答案】 433 3
2
8.如图1-2-98，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠P AB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与PQ 相交于Q 点，若AQ ＝6，AC ＝5，则弦AB 的长是________.
【导学号：96990032】
图1-2-98
【解析】 ∵PQ 为切线， ∴∠P AC ＝∠ABC . ∵AC 是∠P AB 的平分线， ∴∠BAC ＝∠P AC . ∴∠ABC ＝∠BAC ， ∴AC ＝BC ＝5， 由切割线定理， 可得AQ 2＝QB ·QC ， ∴62＝QB ·(QB ＋5)， 解得QB ＝4. ∵∠QAB ＝∠QCA ， ∴△QAB ∽△QCA ，
∴AB
AC
＝QA
QC
，
∴AB
5
＝6
4＋5
，
解得AB＝10
3.
【答案】10 3
三、解答题
9.已知如图1-2-99所示，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN 交AD的延长线于点C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2，求：
图1-2-99
(1)BC的长；
(2)⊙O的半径r.
【解】(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.
根据切割线定理，
得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x).
解得x＝2，
∴BC＝3x＝3 2.
(2)在Rt△ABC中，AC＝BC2－AB2＝14，由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，
∴CD＝CN·CM
AC
＝214
7
，
∴r＝1
2(AC－CD)＝
1
2(14－
214
7)＝
514
14.
10.如图1-2-100，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝
∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E.
图1-2-100
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长.
【解】(1)证明∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上.
连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，
∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，
∴DC⊥OC.
∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线.
(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.
又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6.
又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，
∴△ECB∽△EAC，
∴BC
AC
＝EC
EA
＝2
2
，
即AC＝2BC.
又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2 3.
能力提升]
1.如图1-2-101所示，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，过B点的切线与AD 的延长线交于点C，且AD＝DC，则sin∠ACO＝()
图1-2-101
A.
10
10 B.
2
10
C.
5
5 D.
2
4
【解析】如图所示，连接BD、DO，过点O作OE⊥AC于点E.
∵AB是直径，∴BD⊥AC.
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°.
又∵AD＝CD，∴△ACB是等腰直角三角形.
设AE＝x，
∵OE⊥AC，BD⊥AC，O是AB的中点，
∴E是AD的中点，
∴AD＝2x.
又∵CD＝AD，∴CE＝3x.
又OE＝AE＝x，∴CO＝10x，
∴sin∠ACO＝sin∠ECO＝x
10x
＝10
10.
【答案】 A
2.如图1-2-102，已知圆O的割线P AB交圆O于A、B两点，割线PCD经过
圆心，若P A＝7
2，AB＝
5
2，PO＝5，则圆O的半径为()
图1-2-102 A.2 B.3
C.7
D.6
【解析】设圆的半径为r，则PC＝5－r，PD＝5＋r.PB＝P A＋AB＝7
2
＋5
2
＝
6，由切割线定理得：
PC·PD＝P A·PB.
所以，(5－r)(5＋r)＝7
2·6，解得：r＝2.
【答案】 A
3.如图1-2-103，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝43，则圆O的半径长为__________，∠EFD 的度数为__________.
图1-2-103
【解析】由切割线定理得，
PD2＝PE·PF，
∴PE＝PD2
PF
＝(43)2
12
＝4，EF＝8，OD＝4.
∵OD⊥PD，OD＝1
2PO，
∴∠P＝30°，∠POD＝60°，
∴∠EFD＝30°.
【答案】430°
4.A点在圆周上，BC与圆切于M，AB，AC分别与圆相交于D，E，且M为︵
DE的中点.
求证：DB∶BM＝EC∶CM.
【证明】如图，连接AM.
∵BC与圆切于点M，∴CM2＝CE·CA，BM2＝BD·BA.即CE∶CM＝CM∶CA，
BD∶BM＝BM∶BA.
又∵M为︵DE的中点，∴∠1＝∠2，
∴BM∶BA＝CM∶CA，
∴BD∶BM＝EC∶MC.。