2016第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解析（小学中年级）

2016第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解析
（小学中年级）
2016年第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解析
决赛试题A(小学中年级组)
一、填空题
1、计算：（98×76-679×8）÷（24×6+25×25×3-3）=_________。

解析：此题考察计算能力。

完全靠计算也能算出正确答案。

现在看一看有没有简便的方法。

原式=(98×76-97×7×8)÷[24×6+(25×25-1)×3]
=(97×76+76-97×56)÷(24×6+24×26×3)
=(97×20+76)÷(24×84)
=2016÷2016
=1
2、从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中：
□ + □> □ + □
有_________种不同的填法使式子成立。

（提示：1+5>2+3和5+1>2+3是不同的填法）
解析：此题意在考察同学们的推理思维能力。

右边小，先从右边1、2开始考虑(当然从左边最大5、4考虑起也可以，按个人习惯)
当右边为：
(1)1、2时，左边可为3、4，3、5，4、5
根据题意，交换也算是不同填法，则右边为1、2的种类为3×2×2=12
(2)1、3时，左边可为2、4，2、5，4、5
同样种数为12
(3)2、3时，左边可为1、5，4、5，此时种数为2×2×2=8
(4)1、4时，与2、3相同，也是8种
(5)2、4时，左边可为3、5，此时种数为2×2=4
(6)1、5时，与2、4相同，也是4种
其余数字无法满足式子，即总的种数为
12+12+8+8+4+4=48
3、将下图左边的大三角形纸板剪三刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作）。

见下图中间。

再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见下图右边。

这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了_________刀。

--》---》
解析：此题意在考察的归纳能力。

只要按顺序写下来找出规律即可。

第一次：刀数3，三角形个数4
第二次：刀数3+4×3，三角形个数42
第三次：刀数3+4×3+42×3，三角形个数43
第四次：刀数3+4×3+42×3+43×3，三角形个数4?
第五次：…
第六次：刀数3+4×3+42×3+43×3+4?×3+4︺5×3，三角形个数为4︺6
题目所求为刀的总数是多少，即
3×(1+4+42+43+4?+4︺5)
=3×1365
=4095
4、一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最大等于_________。

解析：此题较容易。

这个两位数能被23整除，则这个两位数可能是23、46、69、92，另一个条件是与109的乘积是四位数，因92×109=10028，是五位数，不符合题意。

则最大的是69。

5、下图中的网格是由6个相同的小正方形构成。

将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形。

经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有_________种不同的涂色方
法。

解析：此题只要考虑两个未涂色的格子即可。

可分为两个格子在在一二行与一三行这两个类型考虑。

一二行时，有4种情况
一三行时，有3种情况
即总数为：3+4=7种
6、有若干个连续的自然数，任取其中4个不同的数相加，可得到385个不同的和。

则这些自然数有_________个。

解析：该题只要抓住重点条件，挖掘潜在的关系链即可得出结论。

关键已知条件：385个和
前提：每个和都是连续4个整数相加，所有的整数都是连续的
既然有385个和，那么最小的和是哪四个数相加，最大的呢？…
于是答案迎刃而解，有时候就是关键已知条件的深层次挖掘关系。

把这些整数从小到大顺序排列
最小的和是前面的4个连续整数，最大的和是最后面的4个整数之和。

那么这两个和之间相差多少？因为385个和也是连续的，所以，385-1=384是他们的差值，则384÷4=96，这是最大4个连续整数与最小4个连续整数的平均差值，即是4个大数中最小的整数与该若干连续整数中的最小数之差。

所以，所求整数个数应为96+4=100
7、在4×4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、
每列及每条对角线上的4个数之积都相等。

下图给出了几个所填的数，那么心符号所在的小方格中所填的数是_________。

解析：此题可假设第二列底部数字为x(当然也可假设第二行左边的数字)，则每行的总和为140+x，可求出第二行左边空格为92+x，则再计算出第一列底部数字为30，此时
心符号=140+x-(30+64+x)
=46
此题实际上有一个问题，经过计算第一行第三个数字为负数-4，小学未曾学过，但对所求结果也无多大妨碍。

8、甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒。

若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇_________次（端点除外）。

解析：此题通过分析也比较容易。

关键问题就是看在端点上相遇几次。

这里用一种速算方法。

因两人从同一端点出发，那么两人每相遇一次，即两人共同走了两圈，则按照这个规则，计算出总圈数。

60×15×(3+5)÷120=60(圈)
即15分钟时两人共走了60圈，如果不考虑相遇点的情况，相遇的次数是60÷2=30
再分析端点相遇的次数：
120÷5=24(秒)即甲24秒走完全程
120÷3=40(秒)即乙40秒走完全程
求出24与40的最小公倍数为120，即在120秒时，甲乙两人在端点相遇，则有端点相遇的次数是900÷120=7…60，即甲乙两人在相遇的次数为7次。

那么就有他们在15分钟时共迎面相遇的次数是30-7=23(端点除外)。

此题，为什么要将端点相遇时不算在内，意在考察同学们对此类型题理解的深刻程度。

二、简答题
9、下图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等要直角三角形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？
解析：此题意在考察作图分析能力。

较容易。

等腰直角三角形AEF的点F忘了标出。

只要分别过点F作AB的垂线，再过点F作CG的垂线，即可解出。

列式为：6×6÷2+(6-2)×(8÷2-2)÷2=22(平方厘米)
10、有10个两两不同的自然数，其中任意5个的乘积是偶数，全部10个数的和是奇数。

则这10个自然数的和最小是多少？
解析：从关键语句得出结论
任意5个数的乘积是偶数?奇数个数为<>
全部10个数的和为奇数?奇数个数=3或者1
当奇数个数为3时，此时偶数最小是2.4.6.8.10.12.14，那么此时10个数的最小值是1+3+5+2+4+6+8+10+12+14=65
当奇数个数为1个时，和明显大于奇数为3个。

故65为10个自然数的最小值。

11、在1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？
解析：此题运用到抽屉原理。

首先将238分解质因数，即，
238=2×7×17，而后写成两数之积形式
238=2×119=14×17=7×34
有且只有这三种组合
那么根据抽屉原理，可知
至少选出200-3+1=198个数才能确保必有2个数的乘积等于238。

12、最初，盒子中有3张卡片：分别写这1、2、3.每次，从盒子里取出两张卡片，将上面的数之和写到另一张空白纸上，再把三张卡片放回盒子。

如此5次后，除了最后一张写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次。

问：此时盒子里面卡片上的数最大为多少？
解析：此题要算出卡片的最大值，而规则，每张卡片至少用到1次，即最小的数1、2、3至少用到1次，那么当然是较小的数用到较少的次数才行，尽量取较大的数用。

按照这个规则，可按如下方式：第一次：2、3取出，新卡片：2+3=5
第二次：1、5取出，新卡片：1+5=6
为什么此时要取出最小的卡片，因为此时不取的话，将会取出2或3卡片第二次，我们要尽量避免小卡片用两次。

第三次：5、6取出，新卡片：5+6=11
第四次：6、11取出，新卡片：6+11=17
第五次：11、17取出，新卡片：11+17=28
决赛试题B(小学中年级组)
一、填空题
1、计算：2016×2016-2016×2015_________。

解析：此题运用乘法结合律，较简单。

原式=2016×（2016-2015）
=2016×1
=2016
2、计算：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20=_________。

解析：此题为求和计算。

原式=（1+20）×20÷2-（3+18）×[（18-3）÷3+1]÷2
=210-63
=147
3、用一条线段把一个周长是30厘米的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形，见下图。

如果小长方形的周长是16厘米，则原来长方形的周长_________平方厘米。

解析：此题考察图形分析能力。

难度一般抓住关键词，挖掘潜在关系。

小长方形的周长=16cm-->小长方形的长BC+宽CF=16÷2=8（cm）
而已知条件四边形ABCD是正方形-->BC=DC
则大长方形的长DF=DC+CF=BC+CF=8（cm）
大长方形的周长=30cm-->DF+AD=30÷2=15（cm）
-->大长方形的宽AD=15-DF=7（cm）
-->大长方形的面积=长×宽=8×7=56（cm2）
4、某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么这个月第一日是星期_________。

解析：此题考察的是生活常识和基本分析能力。

较简单。

答案为星期五
5、从1、3、5、7、9这五个数中选取4个不同的数填入下图4个方格中，使等式成立：□ + □> □ × □。

两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后，式子相同，则认为是相同填法，则共有________种不同的填法。

解析：此题考查同学们的基本分类归纳能力。

不等式右边小且是乘法，将右边分类讨论
1、当右边为1×3时，左边可以是5、7，5、9，7、9
有且只有这三种组合，按题意即此时有3种填法。

2、当右边为1×5时，左边可以是
3、7，3、9，7、9
同样也是3种填法
3、当右边为1×7时，左边可以是3、5，3、9，5、9
也是3种填法
4、当右边为1×9时，左边可以是3、7，
5、7
只有2中填法
5、当右边为3×5时，左边可以是7、9
只有1种填法
当继续分类的时候，已无符合题意的填法。

即共有填法种数为
3+3+3+2+1=12
6、甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地60千米处相遇。

相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50千米处再次相遇。

则A、B两地的路程是________千米。

解析：此题较为普通，是路程中的普通相遇问题。

同时相向而行，第二次相遇时，即两车共行驶了AB路程的3倍，此时甲车总共行驶60×3=180（千米），而甲车第二次相遇时距B地50千米，则AB全程长为：180-50=130（千米）
7、黑板上先写下一串数：1，2，3，...，50，每次都擦去最前面的4个，并在这串数的最后写上擦去的4个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下不足4个，问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是________，（2）最后一个所写的数是________。

解析：此题考察数据分析整理能力
（1）因为擦掉数字的和始终都被重新记录在黑板上，所以总和未变，即
（1+50）×50÷2=1275
（2）我们把这些数字做一个记录，例如1+2+3+4，记为：4S，那么当黑板上擦掉第十二组数字即45+46+47+48后，此时黑板上剩余的是哪些数字：
49，50，4S，8S，12S，16S，20S，24S，28S，32S，36S，40S，44S，48S
共计14个数，那么14÷4=3...2，前12个数将会被继续擦掉组成新的3个数排列在后面，即此时黑板上是
44S，48S，（49+50+4S+8S)，（12S+16S+20S+24S)，（28S+32S+36S+40S)
此时黑板上剩下5个数，则最后一个所写的是前4个数的和，也就是总和与最后一个数的差值。

那么即可写出式子
1275-（28S+32S+36S+40S)
=1275-（25+40）×16÷2
=1275-510
=765
8、一个整数有2016位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相加，则最后的这个和数可能的最大值________。

解析：此题属于较为常规题型
先求出第一个和的最大可能值：2016×9=18144，也就是说2016位数所有位数相加不会超过18144，那么我们要求出这个小于18144的数，不管是5位数还是4位数，所有位数相加求和讨论看一下就知道。

当为5位数时，所有位数相加和最大的应是17999，即1+7+9+9+9=35.这是满足条件的5位数中和最大的
当为4位数时，所有位数相加和最大的应是9999，即9+9+9+9=36.这是所有4位数中和最大的
3位数已经不需要讨论了，均小于9999的数字之和
则答案为36
二、简答题
9、某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每2支送1只小熊玩具，不足2支不送。

卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，这次促销活动共赚了2011元，该商店此次促销共卖出多少只钢笔？
解析：此题只需分析出2支钢笔送一只小熊玩具一次所能赚多少金额就基本上解决问题了。

即：7+7-2=12，即卖出2支钢笔能赚12元
那么要赚2011元需要多少次？即：2011÷12=167 (7)
即促销了167次，另外7元是单卖1只钢笔赚的钱。

即卖出的钢笔数量是167×2+1=335（支）
这是此题的本意。

实际上本题已经暴露问题，即如果很多人买钢笔都是1支，没有参加促销也是存在的。

例如：320支钢笔参加促销，13支单卖。

这里就不一一举例了，留给同学们思考，解题并不一定是为了结果，思维过程才是最重要的。

10、下图是一个三角形纸片ABC折叠后的平面图形，使得点C落在三角形ABC所在的平面上，折痕为DE。

已知∠ABE=74',∠DAB=70',∠CEB=20',那么∠CDA等于多少度？
解析：此题较简单，与小学高年级B组填空第4题一样。

过程就不写了
∠CDA=92’
11、将自然数1，2，3，4，.....，从小到大无间隔地排列起来，得到1234567891011121314.....，这串数码中，当偶数数码首次连续5个时，其中的第一个（偶数）数码所在的位置从左数是第多少位？
解析：此题我们抓住一个核心条件，就是这些自然是连续排列，即
奇数、偶数、奇数、偶数、...奇数、偶数、奇数、偶数...，我们分位数考虑如下：
（1）当为1位数时：即1-9
偶数和奇数都是相邻的，连续的偶数没有
（2）当排到2位数时：即10-99
连续的偶数最多是几位？观察中间排序...1920212223...，最多只有3位连续偶数
（2）当排到3位数时：即100-999
观察中间排序...199200201202203...，当在100-199之间时最多只有2个连续偶数，当排序到200201时，有5位连续偶数，则此时是首次出现5位连续偶数。

题意所求是200中的2排在第几位？则可列式子为：
1×9+2×90+3×100+1（9个一位数，90个2位数，100个3位数）
=490
12、从1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有两个数的和是5的倍数？
解析：此题按被5除的余数特性来考虑，即被5除的整数可分为5类：
5n，5n+1，5n+2，5n+3，5n+4
有且只有这五种类型
那么要确保两数之和被5整除，可以有
5n+5n；
（5n+1）+（5n+4）；
（5n+2）+（5n+3）.
有且只有这3种情况
在考虑这5种类型的分别数量是多少，在1-200这200个连续自然数，5种类型是平均分布的，即5种类型一样多，即它们分别为200÷5=40（个）
根据抽屉原理，5n+1取40个，5n+2取40个，5n取1个，此时这些数的任意两个数之和均不是5的倍数，那么我们再加1个数就可。

即至少取出40+40+1+1=82个数时才能确保必有2个数之和是5的倍数。

决赛试题A(小学高年级组)
一、填空题
1、计算：
_________。

解析：此题纯计算，意在考查同学们的计算基础能力
原式=7‘1/3-(136/15)×(10/17)
=2
2、中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权。

预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，是星期______。

（今天是2016年3月12日，星期六）解析：此题意在考察思维的周密能力，是否足够细心，难度倒不大。

第一步骤:考虑从2016年3月12日至2022年3月12日，一共6年时间，中间只有一个润年，即2020年，是366天(也许有人会说，2016也是润年，怎么没算，因为润年与平年的差别只是在于每年的二月份，此题是从2016年3月12日开始，无须考虑是否润年)，所以6年的天数是365*5+366=2191,
第二步骤:考虑从2022年2月4日至3月12的天数:12+(28-4)=36
第三步骤:从2016年3月12日至2022年2月4日的天数:2191-36=2155
第四步骤:计算星期数:2155÷7=307...6,
也就是说，从2016年3月12日星期六开始，再过307周零6天，就是2022年2月4日，要求是星期几，即星期六再过6天，显而易见，是星期五。

3、下图中，AB=5厘米，∠ABC=85，∠BCA=45，∠DBC=20，则AD=_______厘米。

解析：此题比较简单，几个角度的求解即可得出，
∠ADB=∠ABD=65°?AD=AB=5
4、在9×9的格子上，1×1的小方格的顶点叫做格点。

如下图，三角形ABC的三个顶点都是格点，若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”，那么在这张格子纸上共有______个“好点”。

解析：此题考察的是同学们的应变能力，在考场是，应变能力是非常重要的，应变能力同时也是基础功底的体现。

此题有两种解题思路。

在这里我介绍一种。

首先必须要做的就是计算出两个线段的长度，即AB和AC，以每一个小格的对角线为基础，令每一个最小对角线为t，那么AB=4t，AC=2t，AB=2AC
要使得?PAB和?PAC面积相等，那么，?PAB的高只能是?PAC的一半，这只是初步的计算。

下面分情况考虑P点的位置
(1)当P点在AB左上侧的时候；
不妨任意画一个点，连接PA，PB，PC，连接过后发现，要使S?PAB=S?PAC
其实就是S?PBC=S?ABC
那么只要过点A作BC的平行线就可以了，观察平行线与格子的交点
这样就同时将AC右侧的好点找出，一共就找出3个；
(2)当P点在AB右下侧的时候，这时，我们连接P与A，B，C
得知，PA必须平分线段BC，即经过BC中点时，才能使S?PAB=S?PAC
那么，连接BC的中点与A的联系并延长，此时，同样得到好点是3个(这时把最上方的好点也同时找出)
所有情况已经考虑完毕，即好点的总数是：3+3=6
5、对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到
的数，例如n=102时，=12，那么满足<>是n的约数的三位数n有______个。

解析：此题在于同学们的归纳总结能力，这是学习奥数的重要基础
首先要计算出尾号一个0和尾号两个0的所有三位数的个数：
即：(1)从110-190,210-290,310-390...910-990所有尾号只有1个0的个数：9*9=81
(2)从100-900所有尾号为2个0的个数:9-0=9
这样就把尾号为0的所有个数算出来：81+9=90(当然也可以直
接以等差为10计算，同时也包括了尾号两个0,只是这样更加明朗清晰)第二步骤：就是计算中间为0，首尾非0的个数：
经过分析可知，当百位为1时，去中间0后，两数之差为90,则去0的两位数必定是90的约数，同时这个数在10-20之间，分解因式，很容易找出，一个是15,一个是18；同理，百位为2时，之差是180，去0后是180的约数，同时，这个必须在20-30之间，结果，无满足的数字。

这样依次推理，有405。

其余均无解。

综上所述，满足条件的三位数的个数是：90+3=93
6、共有12名同学玩一种扑克游戏，每4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1，那么他们最多可以玩_______次。

解析：此题在于考察学生的综合思维能力，包括推理、归纳等等，难度较高。

难的地方在于能否找齐全所有的种类，有无漏缺。

此题我们用两种方法来分析。

第一种：线段法
我们可以将每个同学看成一个点，我们把所有的两点连成线段，那么这样的线段一共有多少条？第一个点与另外11个点之间可以连成11条线段，第二个点和剩余10个点可以连成10条线段......，这样就有（11+1）×11÷2=66（条），按照题意，任意一条线段只能用一次。

下面再看一下四个人参加扑克游戏的时候是什么情况？如下图
从这个图上我们可以得出两个结论：
（1）从任意一个点引出的线段均是3条。

（2）看到这个图后可知，四个人一起玩游戏时有且必须用到6条不同的线段；
从结论（1）可以推出另一个结果：因为从每一个点引出的线段是11条，而每一个点要用到的时候都是3条线段同时出现，这样在每一个点上就有11-3×3=2条线段是多余的，那么12个点就是12×2=24条线段多余，其实这24条线段每条线段都重复过一次（因每条线段都有两个端点），即只有24÷2=12条不同的线段，即总数66条线段中有12条线段是用不上的，即最多可以用其中66-12=54条线段。

那么就有如上图的最多个数为：54÷6=9，即他们最多可以玩9次。

第二种：圆圈示意法。

这种方法一定要按规律连接，找不到规律，就无法找到最多的次数。

请看下图，立可明白。

如图可知，不同颜色的线段代表不同的组合，外围的3个圆圈分别和中心的9个圆圈连接，也就是说，外围的圆圈用了9条线段，再看中心的圆圈，每个中心的圆圈都被3中不同颜色连接，而每一种颜色的组合都3条线段，即也是用到3×3=9条不同的线段，一共用到9×12÷2=54条不同的线段，刚好与第一种方法完全对应。

无一线段重复，即没有两个同学在一起玩游戏超过1次，其实还可以连一连哪两个圆圈之间还没有连过，是不是如前面所说的12条，有兴趣的同学
可以连一连。

也就说另外未连上的12条线段是用不上的，原因在第一种方法已经阐述过。

综上所述，他们最多可以玩9次。

7、如果2×3^8能表示成K个连续正整数的和，则K的最大值为_____。

解析：此题在于考察数字求和与因式分解能力。

难度不大，需要细心。

首先，可以将K个连续正整数之和写成一个式子，可设第一个数为t,那么就可以写成
(t+t+K-1)K÷2=2×3︺8
(K+2t-1)K=22×3︺8
观察左边的乘积式子，t作为第一个正整数，即t≥1,所以这个乘积式子的左边恒大于右边，并且两边之差是奇数(2K-1是奇数)，即左右两边有奇有偶。

此时，我们再看等式的右边，要使得右边分解后的两个因式差值是奇数，那么22只能作为其中一个因式所用(因为两个因式都含2的话就为两个偶数，差值也为偶数)，要使得K为最大，即要使两个因式的差值最小化，这样分解得
22*33×3︺5
22*33与3︺5之间差值是最小的
此时，K值为22*33=108，t值为(3︺5-108+1)÷2=68，则他们就是：68.69.70.71......175。

有时间的话可以可以验算一遍。

则K的最大值为108。

8、两把小尺与一把大尺组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动，大尺上的每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分
为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10.现测量A、B两点间的距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间；将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3恰好与大尺上某一单位相合。

如果将第二把小尺的0单位处于B点，那么第二把小尺的第________个单位恰好与大尺上某一单位相合。

解析：此题比较简单，主要考察学生的倍数换算。

第一步骤：算出B点在大尺上的位置。

根据第一把小尺将大尺的11个单位等分为10份，即小尺的每一单位距离是大尺的11÷10=1.1倍，每一单位比大尺多0.1,那么3个单位长度就多0.1×3=0.3,即B点在19-0.3=18.7位置上。

第二步骤:同理分析第二把小尺与大尺单位值之间的关系，即是9÷10=0.9,每一单位长度比大尺少0.1,则要少0.7需要多少个单位距离，即
0.7÷0.1=7
即第二把小尺的第7个单位恰好与大尺上某一单位相合。

(第18+7=25单位值相合)
二、解答下列各题
9、复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额，投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一。

最后，乙的得票数为甲的得票数的20/21，甲胜出。

但是，若乙得票数至少增加4票，则可胜甲。

请计算甲乙所得的票数。

解析：此题比较容易，主要考察两数的比较关系(倍数关系或者分
数关系)
由条件：乙至少要增加4票可以胜出，也就是说乙比甲少3票，再由乙的票数是甲的20/21,可计算出甲乙分别的票数:
甲:3÷(1-20/21)=63
乙:63*20/21或者63-3=60。

10、如右图，三角形ABC中，AB=180厘米，AC=204厘米，D、F是AB上的点，E、G是AC上的点，连接CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形。

则AF+AG为多少厘米？
解析：此题也比较容易，从外围的?BCD算起较容易些，由?AGF 与?EGF的关系算起也可以，最终结果算出
AF=96,AG=76.5
则AF+AG=172.5(厘米)
11、某水池有甲乙两个进水阀。

只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池注满。

先要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水。

那么同时打开甲乙的时间是多少小时？
解析：此题实际上要注明若干小时为整数小时才行，像甲单独开
0.7小时，乙单独开1.2小时，最后同时开5.1小时，总共花时是7小时，而且刚好注满水池。

这样结果就太多了。

原题意应该是整数小时，提醒各位同学。

按照条件，甲乙同时打开多少小时可以注满水池？即
1÷(1/15+1/10)=6(小时)
离要求时间提前一个小时，也就是说甲单独开1小时，乙单独开1小时，然后同时开5小时，也可注满水池。

那么，其中一个水阀多开1小时行吗？答案：不行。

因为任何一个水阀单独开都抵不上两个同时开。

所以结果就是，甲单独开1小时，乙单独开1小时，两个同时开5小时。

12、将一个五边形沿一条直线剪成两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，.....，如此下去，在得到的多边形要有20个五边形，则最少剪多少次？
解析：此题首先从结果反过来考虑，20个五边形一共是几条边？20*5=100
再从前端考虑，每剪一次的特性是什么？就是多了两条边，而最初是五边形，要想把五边形剪出20个五边形，那么至少要剪多少次才有这么多边：(100-5)÷2=47...1，当剪48次的时候，总共的边数是48*2+5=101,去掉20个五边形的100条边，只剩101-100=1条边，明显不合理，1条边不是一个图形，剪下来的一定是一个图形。

所以要增加一次，即49次，此时是49*2+5=103条边，除去20个五边形的100条边，还剩103-100=3条边，是一个三角形，合乎情理。

及答案是最少要剪49次。