人教A版高中数学选修3-1-8.2 无穷集合论的创立 -课件(共36张PPT)

无穷集合论的创立
• 康托认为，无论数学家们过去曾经作过什么假 定，我们都不应认为有穷的性质可以适用于无 穷的各种情况，而又正是这种不加限制的推广 导致了种种矛盾和误解。
无穷集合论的创立
• 波尔查诺是实无穷的坚定拥护者 实无穷可以无矛盾地引进数学的思想。
• 《无穷的悖论》（1821年） 是对数学和哲学 的重要贡献。
“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的 繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”
——数学史作家埃里克·坦普尔·贝尔
无穷集合论的创立
• 1877年 6月20日，康托证明了：不仅由平面到 直线可以建立一一对应，而且由任意维空间到 直线都可以建立一一对应。
“我看到了，但我简直不能相信它！” ----G。Cantor
• “上面把有理数域比作直线，结果认识到前者充 满了间隙，它是不完备的、不连续的，而我们 则把直线看成是没有间隙的、完备的和连续 的。……”
• “连续性公理”
• 实数就其数目和特性而言，要比有理数更丰富， 因为无理数竟然能不可思议地填满了有理数以 外的所有空隙，从而在连续性和完备性上完全 超过了有理数。
• 著作的特色之一是关于实无穷和潜无穷的区分。 • 数学上“实无穷”的概念；势及序数的概念；
无穷集合论的创立
• 第一，肯定实无穷是数学理论发展的需要。 • 第二，无穷有其固有的本质，不能把有穷所具
有的一切性质都强加于无穷。 • 第三，有穷的认识能力可以认识无穷。
“ 正象每个特例所表明的那样，我们可以从更一 般的角度引出这样的结论：所有反对实无穷可 能性的所谓证明都是站不住脚的，他们一开始 就期望无穷数具有有穷数的所有特性，甚至把 有穷数的性质强加到无穷数上；与此相反，如 果我们能以任何方式理解无穷数的话，倒是由 于它们（就其与有穷数的对立而言）构成了全 新的一个数类，它们的性质完全依赖于事物本 身的性质，这是研究的对象，而并不从属于我 们的主观臆想和偏见。”
无穷集合论的创立
• 康托《集合论》(1878)(直译应为《对流形学 说的一个贡献》)：
• 两个集合称为等势的，如果它们之间能够建立 一一对应。
无穷集合论的创立
• 康托的两个基本前提： ①可以通过一一对应的方法来确定相同基数； ②实无穷是一个确实的概念。
无穷集合论的创立
• 1879年-1884年间，康托相继发表了六篇系列文 章，汇集成《关于无穷的线性点集》
无穷集合论的创立
• 《超穷数理论的奠基性贡献》，于1895年和 1897年先后发表了两篇对超限基数理论具有决 定意义的论文。
• “序型”的概念，相应的序数。 • 集合 • 超限基数和超限序数的定义，符号；排成一个
“序列”；加法，乘法和乘方。
无穷集合论的创立
• 《贡献》的第一段话是那个关于集合的经典定 义
• 由此，康托在一个星期之内戏剧性地改变了自 己的主张，获得一个全新的、先前几乎不太令 人注意的方法突然涌现在他头脑中，康托得到 了意外的收获，他立即补上了两个证明：代数 数是可数的，实数是不可数的。
无穷集合论的创立
康托这第一步的主要成就在于在混沌一片的无穷 划出一首线，在无穷当中区分开来可数的与不可 数的两类，这成为研究无穷的出发点。
有特殊类型的系数的三角级数表示” 被称为 傅立叶级数 • 成为数学分析与数学物理中强有力的工具,但 在当时被认为是缺乏严格性的。
无穷集合论的创立
“ 集合论，至少部分是起源于黎曼（Riemann） 等人对于三角级数丰富的研究以及对不连续函 数的分析。狄里克莱（Dirichlet）,李普希兹 （Lipschitz），汉凯尔（Hankel）等人都对 探索三角级数问题时引进例外点集，但主要是 因为他们大体上是在三角级数的范围内考虑问 题，虽然所作的大量工作包含了集合论的思想， 只是在对函数分析时充当辅助性手段 ”
• 定义：集合M是能够明确区分的思维或感知的 对象m（称为M的元素）的总体。
谢谢
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，
• 1873年11月29日，康托在给戴德金的一封信中 明确提出了合（x）之间能否建 立一一对应？
“取所有正整数 n的集体，表示为（n)，然后考 虑所有实数 x的集体，表示为(x）；简单说来， 问题就是（n)和（x)是否能够对应起来，使得 一个集体中的每一个个体只对应另一个集体中 一个且唯一一个个体？乍一看，我们可以说答 案是否定的，这种对应不可能，因为（n)由离 散的部分构成，而（x)构成一个连续统；但是 从这种说法我们什么结果也得不到。 虽然我非 常倾向于认为（n)和（x)不能有这样一个一意 对应，但是我找不出理由，我对这事极为关注，
也许这理由非常简单。”
无穷集合论的创立
• 历史性发现：尽管有理数具有稠密性，但是它 们是可数的！
• 戴德金在《连续性和无理数》（1872年出版）
• 稠密性与连续性 • 康托在1895年给出的第二个证明是现在普遍采
用的。
证明有理数集Q是可列集（采用对角线的对应方法）
1① 1 ② 1④ 1 ⑦ 1⑾ 12345 2 ③ 2 ⑤ 2 ⑧ 2 ⑿ 2 12345 3 ⑥ 3 ⑨ 3 ⒀ 3 3 12345 4 ⑩ 4 ⒁ 4 4 4 1 2 34 5
• 柯西（A。L。Cauchy，1789～1857）
• 1823年，试图建立更严格的傅立叶级数理论， 但他的许多论证是不充分的。
• 狄里希雷（P。G。L。Dirichlet ，1805～ 1859）
• 1829年，发表了一篇关于傅立叶级数的论文， 其中证明，对于一个给定的函数，只要它是连 续的，就完全可以由它的傅立叶级数表示，端 点可能除外，而在不连续点和端点（－π和π） 处，函数仅当满足某些附加条件时才可由傅立 叶级数表示。
康托第一次把可数性概念这词引进数学，并且给 出明确的含义，判定的方法
对于凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集 合都称为可列集合（可数集合）。 这是最小的无穷集合。
无穷集合论的创立
“康托1874年的论文中，不但证明了实数的不可 数性，而且还把这一性质应用于一个长期困扰数 学家的难题——超越数的存在。……这是一个真 正引起争论的定理，因为人们毕竟只知道极少数 几个非代数数的存在。而康托却十分自信地说， 绝大多数实数是超越数，但他在作出这种推断的 时候却没有展示出任何一个具体的超越数实例！ ”
• “无穷的各种关系弄得完全明朗”
无穷集合论的创立
“ 在建立三角级数表达式的唯一性定理时，他改 造了他的前辈和同事的旧思想，表现出一种独创 精神。康托在整个研究中将无穷集合作为一个独 立于函数理论的对象进行考察，并在这一过程中 大胆开创了数学的一个全新领域——超穷集合 论。”
无穷集合论的创立
• 《论所有实代数数的一个性质》（1874)
• 1879年这篇，康托阐明了点集的另一个重要问 题： 按照集合的势对点集进行分类
无穷集合论的创立
• 《集合论基础》的出版（1883年） • 康托数学研究的里程碑。其主要成果是引进了
作为自然数系的独立和系统扩充的超穷数。康 托通过对无穷集的研究，创造了一种新的数字 和一种新的数字类型。
无穷集合论的创立
无穷集合论的创立
• 1873年12月7日，康托在给戴德金的信中断言 实数是可数的，全体实数可以排成一个序 列。 但他很快发现所给出的证明太繁，两天后当他 企图修改它时，偶然发现对任意包含在（0，1） 中的区间（a，b）,他能够证明存在一个数m \in (a，b)，没有列在上面的序列中。
无穷集合论的创立
无穷集合论的创立
康托（G.Cantor，1845～1918）
• 1870年-1872年 “函数展开为三角级数
的唯一性”
无穷集合论的创立
• 数学分析里间断函数求积分问题和三角级数收 敛性问题的研究都要求对于产生各种不连续情 形的函数定义域之上的点集进行特殊的考察， 一般是要求能够从某一区间的所有点中分离出 另一无穷点集。这个分离出的无穷集的性质在 很大程度上影响着对有关问题的讨论。
无穷集合论的创立
• 康托集合论的起源
• 19世纪,分析的严密化使人们必须考虑，收敛 的无穷级数（有一个有限和）和那些发散级数 的区别。在这些级数中，三角函数的无穷级数， 即以傅立叶命名的傅立叶级数，起了极其重要 的作用。
无穷集合论的创立
• 傅立叶（J。B。J。Fourier ，1768～1830，法国） • 1807年 “对任意给定的函数都可以用一具
无穷集合论的创立
无穷集合论的创立
• 实无穷集合 • 两个集合等价的概念，即后来叫做两个集合元素
之间的一一对应关系，适用于有限集合，也适用 于无限集合
• 无穷集合中部分或子集可以等价于整体 • 对于无穷集合同样可以指定一个数叫超限数，使
不同的无穷集合有不同的超限数，但他认为对于 超限数无需计算，所以不用深入研究它们。
• 康托清醒地认识到，他这样做是一种大胆的冒 进。
• “我很了解这样做将使我自己处于某种与数学 中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的 地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概 念最简单、最适当和最自然的扩充。”
无穷集合论的创立
• 《基础》中康托关于无穷的哲学
• 第一次公开地为实无穷这一大多数神学家，哲 学家和神学家长期反对的概念提供了辩护。
无穷集合论的创立
• 为了说明这种等价关系的真实存在，他举出了 大量实例。
• 例如，在实数集 [0，5] 与实数集 [0,12] 之间可 以建立 1—1 对应关系
无穷集合论的创立
• 直到19世纪上半叶，虽然数学家要处理无穷集 合，例如无穷级数、实数、自然数，等等；但 是，他们一般都避开存在完成的集合的假定后 面的麻烦问题。