吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期网络期中考试数学(理)试题

吉林省通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试 数学试卷(理科)
第I 卷(选择题60分)
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 将y =f(x)的图象的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的1
3，则所得函数的解析式为
( )
A. y =3f(3x)
B. y =13f(1
3x)
C. y =1
3f(3x)
D. y =3f(1
3x)
2. 过点(4,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为( )
A. ρsinθ=4
B. ρ=4sinθ
C. ρcosθ=4
D. ρ=4cosθ
3. 在极坐标系下，极坐标方程(ρ−3)(θ−π
2)=0(ρ≥0)表示的图形是( )
A. 两个圆
B. 一个圆和一条直线
C. 一个圆和一条射线
D. 一条直线和一条射线
4. 椭圆{
x =5cosϕ
y =3sinϕ
(φ为参数)的焦点坐标为( ) A. (±5,0)
B. (±4,0)
C. (±3,0)
D. (0,±4)
5. 在曲线{
x =3
5t +1
y =t 2
−1
(t 为参数)上的点是( ) A. (1,−1) B. (4,21) C. (7,89)
D. (8
5,1)
6. 直线{
x =−1+tsin40∘
y =3+tcos40∘
(t 为参数)的倾斜角是( ) A. 20°
B. 70°
C. 50°
D. 40°
7. 若函数1()sin 2sin 3
f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是( )
A ．[1,1]
-
B ．1[1,]3
- C ．11[,]
33-D ．1[1,]
3--
8. 已知f(x)=1
2x 2+2xf′(2019)−2019lnx ，则f′(2019)=( )
A. 2018
B. −2018
C. 2019
D. −2019
9. 已知a 为函数()3
–12f x x x =的极小值点，则a = ( )
A ．–4
B ．–2
C ．4
D ．2 10. ∫02(x 2−2x)dx 的值为
A. −4
3
B. −2
3 C. 2
3 D. 4
3
11. 定积分∫12(e x +2
x )dx =( )
A. e 2+1
B. e 2−e +1
C. e 2+2ln2
D. e 2−e +2ln 2
12. ∫−22(x +√4−x 2)dx =( )
A. π
B. 4π
C. 3π
D. 2π
第II 卷(选择题60分)
二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. ∫−11(x 2+√1−x 2)dx = ____________．
14. 曲线y =xe x −2x 2+1在点(0,1)处的切线方程为________．
15. 在极坐标系中，O 为极点，已知A,B 两点的极坐标分别为(6,π
6),(2√3,π
2)，则△AOB 的面积为
_________．
16. 对于任意实数，直线y =x +b 与椭圆{
x =2cosθ
y =4sinθ
(0≤θ≤π)恒有公共点，则b 的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共4小题，每小题各10分,共40分） 17. 已知函数f(x)=x 2−8lnx.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)求函数f(x)在区间[1
e
,e]上的最值．
18.将由曲线y=sinx(0≤x≤π
2)和直线x=π
2
，y=0所围成图形的面积写成定积分的形式．
19.设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(−2,f(−2))处的切线为2x+y+3=0．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
20.已知抛物线C:y=−x2+2x，在点A(0,0)，B(2,0)分别作抛物线的切线l1,l2．
(1)求切线l1和l2的方程；
(2)求抛物线C与切线l1和l2所围成的面积S．
参考答案
1.【答案】B
【解析】解：函数y =f(x)的图象的横坐标伸长为原来的3倍得函数y =f(1
3x)， 再把纵坐标缩短为原来的1
3得到函数y =1
3f(1
3x)，
所以将y =f(x)的图象的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的1
3， 所得函数的解析式为y =1
3f(1
3x)． 故选B ．
直接把函数y =f(x)中的x 的系数乘以1
3就能将y =f(x)的图象的横坐标伸长为原来的3倍，然后把f(1
3x)的系数再乘以1
3就能把纵坐标缩短为原来的1
3，从而答案可求． 本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属基础题．
先求出过点(4,0)，与极轴垂直的直线的直角坐标方程，再根据互化公式可得过点(4,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程． 【解答】
解：因为过点(4,0)，与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x =4， 所以过点(4,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcosθ=4， 故选：C ．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可得，极坐标方程为：ρ=3或θ=π
2， 据此可得极坐标方程表示的图形是一个圆和一条射线．
故选：C ．
将极坐标方程进行转换，结合转化之后的方程即可求得最终结果．
本题考查极坐标方程及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：椭圆{
x =5cosϕy =3sinϕ(φ为参数)的标准方程为：x 225+y 2
9=1，可得a =5，b =3，c =4， 焦点坐标(±4,0)． 故选：B ．
化简椭圆的参数方程为标准方程，然后求解焦点坐标．
本题考查参数方程与普通方程的互化，椭圆的简单性质的应用，是基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
判断选项中哪一个点是此曲线上的点可以将参数方程化为普通方程，再依据普通方程的形式判断将点的坐标代入检验即可．由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程． 本题考查抛物线的参数方程，解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元． 【解答】
解：由题意{
x =3
5t +1 (1)
y =t 2−1 (2)
，
由(1)得t =5
3(x −1)代入(2)得y =259
(x −1)2−1，
其对应的图形是抛物线， 当x =1时，y =−1， 所以此曲线过A(1,−1)． 故选A ．
6.【答案】C
【解析】解：由{x =−1+tsin40∘
y =3+tcos40∘消去t 得y −3=tan50°(x +1)，
所以直线过点(−1,3)，倾斜角为50°． 故选：C ．
化成直角坐标方程后可得．
本题考查了直线的参数方程，属基础题．
7. 【答案】C
8.【答案】B
【解析】【分析】
求函数的导数，令x =2019建立方程进行求解即可．
本题主要考查函数值的计算，结合函数的导数公式建立方程是解决本题的关键． 【解答】
解：函数的导数f′(x)=x +2f′(2019)−
2019x
2019x
， 令x =2019得f′(2019)=2019+2f′(2019)−20192019
，
即f′(2019)=−2019+1=−2018， 故选B ．
9. 【答案】D
【解析】()()()2
312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在
()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查牛顿−莱布尼兹公式的应用，考查转化思想，属于基础题． 【解答】
解：∫02(x 2−2x)dx =( 1
3 x 3−x 2) |02 =( 8
3 −4)−0=−4
3， 故选A ．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查定积分的计算，属基础题． 【解答】 解： ．
故选D ．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查定积分的计算，利用定积分的基本性质和几何意义即可解答，属基础题． 【解答】 解：因为
，
由定积分的基本性质知：，
由定积分的几何意义
等于以原点为圆心，2为半径的半圆的面积，所以，
所以，
故选D．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分∫−11√1−x2dx的几何意义是介于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数，所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数．
【解答】
解：∫−11(x2+√1−x2)dx=∫−11x2dx+∫−11√1−x2dx，
∫−11x2=1
3x3|−11=1
3
−(−1
3
)=2
3
，
根据定积分的几何意义可知，∫−11√1−x2dx等于以原点为圆心，以1 为半径的圆面积的一半，即，
所以．
故答案为．
14.【答案】y=x+1
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，首先求导方程，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．
【解答】
解：求导函数可得y′=(1+x)e x−4x，
当x=0时，y′=1，
∴曲线y=xe x−2x2+1在点(0,1)处的切线方程为y−1=x，
即y=x+1．
故答案为y=x+1．
15.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查了极坐标的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用三角形面积计算公式即可得出． 【解答】
解：因为A,B 两点的极坐标分别为(6,π
6),(2√3,π
2)， ∴△AOB 的面积，
故答案为9．
16.【答案】[−2,2√5]
【解析】解：根据题意，椭圆的参数方程为：{
x =2cosθ
y =4sinθ(0≤θ≤π)， 其普通方程为：
x 24
+y 2
16=1，(y ≥0)，为椭圆的上半部分；
该椭圆与x 轴交点坐标为(±2,0)， 将直线方程y =x +b 代入
x 24
+
y 216
=1可得5y 2−8by +4b 2−16=0，
令△=0可得：(−8b)2=20(4b 2−16)，解可得b =±2√5， 又由椭圆中
x 24
+
y 216
=1，有y ≥0，为椭圆的上半部分，则b =2√5，
即b =2√5时，直线与椭圆相切，
分析可得：当−2≤b ≤2√5时，直线y =x +b 与椭圆恒有公共点， 故b 的取值范围是[−2,2√5]； 故答案为：[−2,2√5].
根据题意，将椭圆的参数方程变形为
x 24
+
y 216
=1，由于y ≥0，分析可得其为椭圆的上半部分；由椭
圆的标准方程分析其与x 轴交点坐标为(±2,0)，进而将直线方程y =x +b 代入
x 24
+y 2
16=1可得5y 2−
8by +4b 2−16=0，令△=0可得(−8b)2=20(4b 2−16)，解可得b 的值，即可得直线与椭圆相切时b 的值，结合图形分析可得答案．
本题考查椭圆的参数方程，涉及直线与椭圆的位置关系，注意参数θ的取值范围．
17.【答案】解：(1)f′(x)=2x −8x =2(x+2)(x−2)x ， 当0<x <2时，f′(x)<0，f(x)单调递减;
当x >2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x =2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(2)=4−8ln2，f(x)无极大值．
(2)由(1)得f(x)在[1
e ,2)上单调递减，在(2,e]上单调递增，
所以f(x)在区间[1e ,e]上的最小值为f(2)=4−8ln2.
因为f(1e )=1e 2+8，f(e)=e 2−8<f(1e )，
所以f(x)在区间[1e ,e]上的最大值为f(1e )=1e 2+8．
【解析】本题考查利用导数法求函数的的极值和最值问题，属于基本题型．
(1)对函数求导，找出极值点，进一步求出极值．
(2)根据(1)得函数的最小值，然后求出端点值进行比较，即得最值．
18.【答案】解：曲线y =sinx(0≤x ≤π2)和直线x =π
2，y =0所围成图形
故表示为∫0π
2s inxdx ．
【解析】画出曲线y =sinx(0≤x ≤π2)和直线x =π
2，y =0所围成图形，表示成定积分． 考查定积分求面积的应用，基础题． 19.【答案】解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c ，
∵其图象过点(0,1)，∴c =1，
又∵在点(−2,f(−2))处的切线方程为2x +y +3=0，∴{f(−2)=1,f′(−2)=−2.
∵f ′(x)=2ax +b ，∴{a ·(−2)2+b ·(−2)+1=1,2a ·(−2)+b =−2.
∴a =1，b =2，故f(x)=x 2+2x +1．
(2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，
故所求面积．
【解析】本题考查了求函数的解析式，导数的几何意义和定积分的几何意义，属于中档题．
(1)由导数的几何意义，易得{f(−2)=1,f′(−2)=−2.
，可求a 、b ； (2)由定积分的几何意义可得所求面积．
20.【答案】解：(1)y =−2x +2，A(0,0)，B(2,0)都在抛物线上，
则K 1=2，K 2=−2，切线L 1方程：y =2x ，
切线L 2方程：y =−2x +4
(2)由{y =2x y =−2x +4
⇒{x =1y =2，P(1,2) S =∫01[2x −(−x 2+2x)]dx +∫12[(−2x +4)−(−x 2+2x)]dx
=∫01x 2dx +∫12(x 2−4x +4)dx
=(13x 3)|01+(13
x 3−2x 2+4x)|12 =13+(83−13−2)=23
即抛物线C 与切线L 1和L 2所围成的面积为23．
【解析】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题，
(1)欲求切线L 1和L 2的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值， 再结合A(0,0)，B(2,0)都在抛物线上，即可求出切线的斜率．从而问题解决；
(2)先通过解方程组得直线与抛物线的交点的坐标和L 1和L 2与x 轴交点的坐标，最后根据定积分在求面积中的应用公式即可求得所围成的面积S 即可．。