2020-2021学年湖南师大附中高二下学期期中数学复习卷(2)(含解析)

2020-2021学年湖南师大附中高二下学期期中数学复习卷(2)
一、单选题（本大题共12小题，共50.0分）
1. 已知集合A ={x|y =√1
x 2−5x+4
}，B ={−2,−1,0，1，2}，则(∁R A)∩B =( ) A. {2} B. {1,2} C. {−2,−1} D. {−2,−1,0}
2. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥平面
A 1
B 1
C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的侧视图面积为( )．
A. 2
B.
C. 2
D. 4
3. 已知t =2∫c π
40
os2xdx ，执行下面的程序框图，如果输入的a =t ，
b =2t ，那么输出的n 的值为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
4. 已知函数f(x)=x 2+ax +b(a,b ∈R)在区间(0,1)内有两个零点，则3a +b 的取值范围是( )
A. (−4,0)
B. (−5,0)
C. (0,4)
D. (0,5)
5. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1
3x +y ≤3x ≥0 
，则目标函数z =2x −y 的最大值是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
6. 函数y =
−x 的图象只可能是( )
A.
B.
C.
D.
7. 设向量a ⃗ 、b ⃗ 是互相垂直的两个单位向量，且|a ⃗ +3b ⃗ |=m|a ⃗ −b
⃗ |，则实数m 的值为( ) A. √2
B. 2√2
C. √5
D. 2√5
8. 已知角θ的顶点坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x −y =0上，则
sin(
3π
2+θ)+2cos(π−θ)sin(π
2
−θ)−sin(π−θ)
=( )
A. −32或3
2
B. 0或2
3
C. 3
2
D. 2
3
9. 已知f(x)是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f(x)=lgx ，设a =f(4
3)，b =f(3
2)，c =f(5
2)，
则( )
A. a <b <c
B. b <a <c
C. c <b <a
D. c <a <b
10. 设不等式组{x 2+y 2≤1
y ≥0表示的平面区域为M ，不等式组{0≤x ≤t 0≤y ≤√1−t 2
表示的平面区域为N.
在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值为( )
A. 2
π
B. 1
π
C. π
4
D. 1
2π
11. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则一定有( )
A. f(−3
4)>f(a 4+a 2+1) B. f(−3
4)≥f(a 4+a 2+1) C. f(−3
4)<f(a 4+a 2+1)
D. f(−3
4)≤f(a 4+a 2+1)
12. 已知直线与平面α平行，P 是直线上的一定点，平面α内的动点B 满足：PB 与直线成60°.那么B
点轨迹是( )
A. 双曲线
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 两直线
二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）
13.若的面积，则=
14.已知正项等比数列{a n}的前n项积为πn，已知a m−1⋅a m+1=2a m，π2m−1=2048，则m=
______ ．
15.若点P(x,y)在直线l：x+2y−3=0上运动，则x2+y2的最小值为______．
16.设奇函数f(x)在0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，则不等式f(x)−f(−x)
x
<0的解集为______．17.设是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的.若，
是的两个不相交的非空子集，且有有，有四个命题：①中至少有一个关于乘法是封闭的；②中至多有一个关于乘法是封闭的;③中有且只有一个关于乘法是封闭的；④中每一个关于乘法都是封闭的.其中所有正确命题的序号是．
三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
18.若数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n(n∈N∗)，则a4=(1)；前8项的和S8=(2).(用数字
作答)
四、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
19.已知二次函数f(x)=Ax2+Bx(A≠0)，f(1)=3，其图象关于x=−1对称，数列{a n}的前n项
和为S n，点(n,S n)(n∈N∗均在y=f(x)图象上．
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式，并求S n的最小值；
(Ⅱ)数列{b n}，b n=1
S n ，{b n}的前n项和为T n，求证：1
3
−1
4n
<T n<3
4
−1
n+3
．
20.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名
学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩进行统计．请你根据下面尚未完成的表和，解答下列问题：
分组频数频率
50.5～60.540.08
60.5～70.580.16
70.5～80.5100.20
80.5～90.5160.32
90.5～100.5
合计
(1)填充频率分布表中的空格；
(2)补全频率分布直方图；
(3)全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？(不要求说明理由)
21.已知函数f(x)=sin2x−2sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)求函数f(x)的零点的集合．
22.如图，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=√3，AD=2，
PB=√6，E为PB中点，且AE⊥PC．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)线段BC上是否存在点M使得二面角P−MD−A的大小为60°？
若存在，求出BM的长，若不存在，请说明理由．
23.已知函数f(x)=x−2
．
x
(1)判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)判断f(x)在(−∞,0)上的单调性，并用定义证明．
24.随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下2×2列联表：
(1)根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是
否读营养说明之间有关系”？
(2)若采用分层抽样的方法从读营养说明的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别
是多少？
(3)在(2)的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率．
25.设椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为1
3
，点P在椭圆上，且△
PF1F2的面积的最大值为2√2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y=kx+2(k>0)与椭圆C交于不同的两点A，B两点，若在x轴上存在点G，使得|GA|=|GB|，求点G的横坐标的取值范围．
26.已知函数．
(1)若时，取得极值，求实数的值；
(2)求在上的最小值；
(3)若对任意，直线都不是曲线的切线，求实数的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：由x2−5x+4>0解得x<1或x>4，即A=(−∞,1)∪(4,+∞)，
∴∁R A=[1,4]，
∵B={−2,−1,0，1，2}，
∴(∁R A)∩B={1,2}，
故选：B
先化简求出集合A，再根据补集的定义求出∁R A，再根据交集的定义求出(∁R A)∩B
本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．
2.答案：C
解析：所给三棱柱的侧视图为矩形，矩形的长为2，宽为等边三角形ABC的高，所以三棱柱的侧视图面积为2．
3.答案：B
解析：
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
解：t=2∫cπ4
os2xdx=1，可得：a=1，b=2，
模拟程序的运行，可得：
n=1，s=0
不满足条件s≥50，执行循环体，a=3，b=5，s=5，n=2
不满足条件s≥50，执行循环体，a=8，b=13，s=18，n=3
不满足条件s≥50，执行循环体，a=21，b=34，s=52，n=4
满足条件s≥50，退出循环，输出n的值为4．
故选：B ．
4.答案：B
解析：解答 解：由题意，要使函数f(x)=x 2+ax +b 在区间(0,1)上有两个零点， 则：{f(1)=1+a +b >0f(0)=b>0
0<−a 2<1△=a 2
−4b >0， 其对应的平面区域如下图所示：
则当a =0，b =0时，3a +b 取最大值0， 当a =−2，b =1时，3a +b 取最小值−5， 所以3a +b 的取值范围为(−5,0)； 故答案为：(−5,0) 故选：B ．
列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．
本题考查了函数零点的分布，线性规划，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组．
5.答案：C
解析：解：由约束条件{
x +y ≥1
3x +y ≤3x ≥0
，作出可行域如图，
联立{x +y =13x +y =3
，解得B(1,0)，
化目标函数z =2x −y 为y =2x −z ，由图可知，当直线y =
2x−z过点B时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×1−0=2．
故选：C．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6.答案：A
解析：函数为奇函数，它的图像关于原点对称，故排除B，C，
在，因此正确选项为A．
7.答案：C
解析：解：∵向量a⃗、b⃗ 是互相垂直的两个单位向量，
∴|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =0，
∵|a⃗+3b⃗ |=m|a⃗−b⃗ |，
∴|a⃗+3b⃗ |2=m2|a⃗−b⃗ |2，
∴1+9=m2(1+1)，
∴m=√5，
故选：C
根据向量为单位向量且互相垂直，得到|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =0，再把所给的式子两边平方，即可求出m的值．
本题考查了单位向量和向量的垂直以及向量的模的计算，属于基础题．
8.答案：C
解析：
利用已知条件求出θ的正切函数值，通过诱导公式化简所求表达式即可求出结果．本题考查诱导公式的应用，三角函数的定义，考查计算能力．
解：角θ的顶点坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x −y =0上， 可得tanθ=3．
sin(
3π
2+θ)+2cos(π−θ)sin(π
2
−θ)−sin(π−θ)
=
−cosθ−2cosθcosθ−sinθ
=−31−tanθ=−31−3=3
2．
故选：C ．
9.答案：D
解析：解：∵f(x)是周期为2的奇函数，且当0<x <1时，f(x)=lgx ， ∴a =f(4
3)=f(4
3−2)=f(−2
3)=−f(2
3)=−lg 2
3=lg 3
2，
b =f(3
2
)=f(3
2
−2)=f(−1
2
)=−f(1
2
)=−lg 1
2
=lg2，
c =f(52)=f(52−2)=f(12)=lg 1
2， 又∵函数y =lgx 在(0,+∞)上单调递增， ∴lg 1
2<lg 3
2<lg2，即c <a <b ， 故选：D ．
由题意化简可得a =lg 3
2，b =lg2，c =lg 1
2，由对数函数y =lgx 的单调性可得． 本题考查函数的周期性，涉及对数函数的性质，属基础题．
10.答案：B
解析：解：集合M 表示圆心为原点，半径为1的位于x 轴上方的半圆，面积为π
2，而集合N 表示集合M 上位于第一象限内的点作两坐标轴的平行线所围成的矩形的面积，即S =t√1−t 2=
√t 2(1−t 2)，当t 2=12，即t =√2
2时，N 的面积最大，最大值为1
2，故点在N 内的概率的最大值为P =
12π2
=1
π
．
故选B ．
分别求出区域M ，N 表示区域的面积，路几何概型公式求之．
本题考查了几何概型公式的运用；关键是分别求出区域M ，N 的面积，公式解答．
解析：解；∵a 4+a 2+1=(a 2+1
2)2+3
4， ∴a 4+a 2+1=(a 2+1
2)2+3
4>34， ∵f(x)在[0,+∞)上是增函数， ∴f(a 4+a 2+1)>f(34)， ∵f(x)是定义在R 上的偶函数， ∴f(a 4+a 2+1)>f(3
4)=f(−3
4)，
即f(−3
4)<f(a 4+a 2+1)， 故选：C ．
利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可比较大小．
本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的单调性和奇偶性之间的关系以及配方法是解决本题的关键．
12.答案：A
解析：试题分析：首先给出一条直线l ，在l 上取一定点P ，则过P 与直线l 成60°角的所有直线组成两个相对顶点的圆锥，直线l 为对称轴，用平面α(平行于l)截圆锥可得结论． 由题意画图如下，
P 是直线l 上的定点，有一平面α与直线l 平行，平面α内的动点B 满足PB 的连线与l 成60°角， 因为空间中过P 与l 成60°角的直线组成两个相对顶点的圆锥，α即为平行于圆锥轴的平面， 点B 可理解为是截面α与圆锥侧面的交点，所以点B 的轨迹为双曲线．
13.答案：
解析：试题分析：，
．
考点：三角形的面积公式及余弦定理的变形．
点评：由三角形的面积公式，再根据，直接可求出tan C的值，从而得到C．
14.答案：6
解析：解：∵a m−1a m+1=2a m，∴由等比数列的性质可得，a m2−2a m=0，
∵a m>0，∴a m=2，
∵π2m−1=a1a2…a2m−1=(a1a2m−1)⋅(a2a2m−2)…a m=a m2m−2a m=a m2m−1=22m−1=2048，
∴2m−1=11，∴m=6．
故答案为：6．
由a m−1a m+1−2a m=0，结合等比数列的性质可得a m=2，从而可表示T2m−1，由此可求m的值．本题考查了等比数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
15.答案：9
5
解析：解：代数法，∵点P(x,y)在直线l：x+2y−3=0上运动，
∴由x+2y−3=0，得x=3−2y，
∴x2+y2=(3−2y)2+y2=5y2−12y+9=5(y−6
5
)2+
9
5
当y=6
5时取最小值，最小值为9
5
．
几何法，x2+y2的值可以看作直线l：x+2y−3=0上点到原点的距离的平方它的最小值是原点到直线的距离的平方；
即d2=(22)2=9
5
；
故答案为：9
5．
代数法，由点在直线l 上运动，得x =3−2y ，代入x 2+y 2求最小值即可；
几何法，把x 2+y 2的值看作直线l 上的点到原点的距离的平方，最小值是原点到直线的距离的平方． 本题考查了求最值的问题，解题时应用转化思想，寻求合理的解题途径，是基础题．
16.答案：(−2,0)∪(0,2)
解析：解：由函数f(x)为奇函数，可得不等式即
2f(x)x
<0，即x 和f(x)异号，
故有{x >0f(x)<0，或{x <0f(x)>0，
再由f(2)=0，可得f(−2)=0， 由函数f(x)在(0,+∞)上为增函数， 可得函数f(x)在(−∞,0)上也为增函数，
结合函数f(x)的单调性示意图可得：−2<x <0，或0<x <2，
故答案为：(−2,0)∪(0,2)． 由函数f(x)为奇函数，可得不等式即
2f(x)x
<0，即x 和f(x)异号，故有{x >0f(x)<0，或{x <0
f(x)>0
；再
结合函数f(x)的单调性示意图可得x 的范围．
本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
17.答案：①
解析：试题分析：因为关于乘法封闭的规定是．是整数集的非空子集，如果
有，
则称
关于数的乘法是封闭的.如果
代表负数集合，
代表非负数集合，则成立，且
有
有
.但是
.所以
不是乘法封闭.所以④不正确.如果
代表奇数集合，
代表偶数集合，则
成立，且
有
有
.显然都是乘法封闭的，所以②③都不正确.若都不满足乘法封闭，
有
.假设
，若存在
，则
与题意矛盾.所以①正确.故填①
考点：1.集合的概念.2.新定义的概念的理解.3.列举特值解题的思想．
18.答案：8
127
解析：解：由数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n(n∈N∗)，
∴数列{a n}是等比数列，公比为2．
∴a4=23=8；
前8项的和S8=28−1
2−1
=127．
故答案分别为：8；127．
利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.答案：(Ⅰ)解：f(1)=A+B=3，−B
2A
=−1，
∴A=1，B=2，f(x)=x2+2x，
点(n,S n)(n∈N∗)均在y=f(x)图象上，
∴S n=n2+2n①，
S n−1=(n−1)2+2(n−1)(n≥2)②，
①−②得S n−S n−1=2n+1，即a n=2n+1(n≥2)，
又a1=S1=3，
∴a n=2n+1(n∈N∗).
由S n=n2+2n=(n+1)2−1，
该函数在[−1,+∞)上为增函数，
又n∈N∗，
∴当n=1时，(S n)min=3；
(Ⅱ)证明：b n=1
n2+2n =1
n(n+2)
=1
2
(1
n
−1
n+2
)，
T n=1
2[(1−1
3
)+(1
2
−1
4
)+⋯+(1
n
−1
n+2
)]，
=1
2[(1+1
2
−1
n+1
−1
n+2
)]=3
4
−1
2
(1
n+1
+1
n+2
)．
即证3
4−1
n+3
>3
4
−1
2
(1
n+1
+1
n+2
)，
也就是证2
n+3<(1
n+1
+1
n+2
)，
∵1
n+3<1
n+1
，1
n+3
<1
n+2
，
∴右边成立，
又T n随n的增大而增大，T n>T1=1
3>1
3
−1
4n
，左边成立．
∴原不等式成立．
解析：(Ⅰ)由f(1)=3，二次函数f(x)=Ax2+Bx的对称轴为x=−1列式求得A，B的值，则函数解析式可求，结合点(n,S n)在y=f(x)图象上得到数列数列的前n项和，由a n=S n−S n−1求得数列的通项公式．由函数的单调性求得S n的最小值；
(Ⅱ)利用裂项相消法求出数列{b n}的前n项和为T n，然后利用放缩法证得数列不等式．
本题是数列与不等式的综合题，考查了数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．
20.答案：解：(1)根据频率和为1，计算90.5～100.5内的频率为
1−0.08−0.16−0.20−0.32=0.24，
对应的频数为0.24
0.08
×4=12，由此填表如下：
(2)60.5～70.5内的频率为0.16，对应高为0.16
10
=0.016，
90.5～100.5内的频率为0.24，对应高为0.24
10
=0.024，
补全频率分布直方图，如图所示；
(3)根据频率分布直方图知，成绩落在80.5～90.5范围内的人数最多．
解析：(1)根据频率和为1，计算90.5～100.5内的频率和对应的频数，由此填表即可；
(2)计算60.5～70.5和90.5～100.5内的频率，求出对应的高，补全频率分布直方图；
(3)根据频率分布直方图中小矩形最高的即是频数(人数)最多的．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．
21.答案：解：(1)函数f(x)=sin2x−2sin2x=sin2x−cos2x+1=√2sin(2x−π
4
)+1
当2x−π
4=2kπ+π
2
时，即x=kπ+3π
8
(k∈Z)
f(x)max=√2+1
(2)令f(x)=√2sin(2x−π
4
)+1=0
解得：2x−π
4=2kπ−π
4
或2x−π
4
=2kπ−3π
4
(k∈Z)
即x=kπ或x=kπ−π
4
(k∈Z)时函数f(x)=0
即{x|x=kπ或x=kπ−π
4
}(k∈Z)
故答案为：(1)f(x)max=√2+1
(2){x|x=kπ或x=kπ−π
4
}(k∈Z)
解析：(1)首先利用三角恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出最值．
(2)令f(x)=0求出方程的根，及函数的零点．
本题考查的知识要点：三角恒等式的变换，正弦型函数的最值，及函数的零点．
22.答案：解：(1)证明：由题意有PA 2+AB 2=3+3=6=PB 2，所以PA ⊥AB①，
因为AB =AP ，E 为PB 中点，所以AE ⊥PB ，又AE ⊥PC ，PB ∩PC =P ， 所以，AE ⊥平面PBC ，
又BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BC ，又AB ⊥BC ，及AE ∩AB =A ， 所以BC ⊥平面PAB ，
又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA②，
由①②及AB ∩BC =B 得PA ⊥平面ABCD ，得证．
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以建立如图所示空间直角坐标系A −xyz ，则各点坐标为B(√3,0,0)，D(0,2，0)，P(0,0,√3)，设点M 坐标为(√3,b,0)，平面PMD 法向量n
⃗ =(x,y,z)，
因为PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−√3)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,b −2,0)， 所以由{n ⃗ ⊥DP ⃗⃗⃗⃗⃗ n ⃗ ⊥DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得，{2y −√3z =0√3x +(b −2)y =0，
取y =√3，可得n ⃗ =(2−b,√3,2)， 又平面AMD 法向量m
⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 所以由|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=cos60°，得：√(2−b)2+3+4=1
2， 解得b =−1或b =5，
又因为点M 在线段BC 上，b ∈[0,2]，而b =−1或b =5不满足b ∈[0,2]， 所以不存在点M 使得二面角P −MD −A 的大小为60°．
解析：(1)证明PA ⊥AB ，推出AE ⊥PB ，AE ⊥PC ，证明AE ⊥平面PBC ，证明BC ⊥平面PAB ，推出BC ⊥PA ，然后证明PA ⊥平面ABCD ．
(2)建立空间直角坐标系A −xyz ，求出相关点的坐标，设点M 坐标为(√3,b,0)，求出平面PMD 法向量，平面AMD 法向量，利用向量的数量积转化求解即可．
本题考查二面角的平面角的求法与应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
23.答案：解：(1)根据题意，f(x)为奇函数，
证明：f(x)=x−2
x ，其定义域为{x|x≠0}，f(−x)=(−x)−2
−x
=−(x−2
x
)=−f(x)，
则函数f(x)为奇函数；
(2)根据题意，f(x)在(−∞,0)上单调递减，证明：设x1<x2<0，
则f(x1)−f(x2)=(x1−2x
1)−(x2−2
x2
)=(x1−x2)−(2
x1
−2
x2
)=(x1−x2)(1+2
x1x2
)，
又由x1<x2<0，则(x1−x2)<0，x1x2>0，则(1+2x
1x2
)>0，
必有f(x1)−f(x2)>0，
故f(x)在(−∞,0)上单调递减．
解析：(1)根据题意，先分析函数的定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，由函数奇偶性的定义分析可得答案，
(2)根据题意，设x1<x2<0，由作差法分析可得结论．
本题考查函数奇偶性、单调性的证明，注意分析函数的定义域，属于基础题．
24.答案：解：(1)因为K2=40(16×12−4×8)2
20×20×24×16
=6.67>6.635，(3分)
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，
认为“性别与是否读营养说明之间有关系”.(5分)
(2)根据分层抽样原理，得
男生应抽取的人数是：16
16+8
×3=2(人)，(6分)
女生抽取的人数是：8
16+8
×3=1(人)；(7分)
(3)由(2)知，男生抽取的人数为2人，设为a，b；
女生抽取的人数为1人，设为c；
则所有基本事件数是：(a,b)，(a,c)，(b,c)共3种．(9分)
其中满足条件的基本事件是：(a,c)，(b,c)共2种，(11分)
所以，恰有一男一女的概率为P=2
3
.(12分)
解析：(1)计算观测值，对照表中数据做出概率统计； (2)根据分层抽样原理，得出男、女生应抽取的人数各是多少； (3)利用列举法计算基本事件数以及对应的概率．
本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目．
25.答案：解：(1)由已知得{c
a
=
13
1
2
⋅2c ⋅b =2√2a 2=b 2+c 2
，
解得{a 2=9b 2=8c 2=1，
因此，椭圆C 的方程为
x 29
+
y 28
=1；
(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，MN 的中点为E(x 0,y 0)，G(m,0)，∵|GM|=|GN|，∴GE ⊥MN ， 由{y =kx +2
x 29
+y 2
8=1得(8+9k 2)x 2+36kx −36=0， 由△>0，得k ∈R ，x 1+x 2=−36k 9k 2+8，∴x 0=−18k 9k 2+8,y 0=kx 0+2=16
9k 2+8， ∵GE ⊥MN ，∴k GE =16
9k 2+8−0−18k
9k 2+8
−m =−1
k ，
∴m =−2k
9k 2+8=
−29k+
8
k
，
∵k >0,9k +8
k ≥2√9×8=12√2， 所以−√2
12≤m <0．
解析：(1)根据题意，列方程，即可求得a 和b 的值；
(2)将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理中点坐标公式求得E 点坐标，求得直线GE 的斜率，表示出m ，根据基本不等式，求得m 的取值范围．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式的应用，考查基本不等求最值，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
26.答案：(1)(2)(3)
解析：试题分析：(Ⅰ)因为由题意得则
当时，当时，，
所以在时取得极小值，即符合题意；3分
(Ⅱ)当时，对恒成立，所以在上单调递增，
故
当时，由得
当时，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
当时，时，，在上单调递减，
综上所述；7分
(Ⅲ)因为，直线都不是曲线的切线，
所以对恒成立，即的最小值大于，
而的最小值为所以，即. 10分
考点：函数极值最值及导数的几何意义
点评：求函数极值最值主要是通过函数导数寻找单调区间求其值，本题第二问有一定难度，主要是对区间与单调区间的关系需分情况讨论。