苏教版高中数学必修二电子题库知能演练轻松闯关(5)

苏教版数学必修2电子题库 第2章2.1.6知能演练轻松闯关
1.已知点P (3，m )，则P 到y 轴的距离为________．P 到x 轴的距离为________． 答案：3 |m |
2.动点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则OP 的最小值为________．
解析：OP 的最小值即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝2 2. 答案：2 2
3.两平行线3x ＋4y －1＝0与3x ＋4y ＋4＝0的距离为________．
解析：在其中一条直线如3x ＋4y －1＝0上任取一点(0，14
)，它到3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×0＋4×14＋4|32＋4
2＝1. 答案：1
4.如果已知两点O (0，0)，A (4，－1)到直线mx ＋m 2y ＋6＝0的距离相等，那么m 可取不同实数值的个数有________个．
解析：解方程6m 2＋m 4＝|4m －m 2＋6|m 2＋m 4
(m ≠0)， 得m ＝6或m ＝－2或m ＝4.
答案：3
5.到两条平行直线2x ＋y ＋1＝0和2x ＋y ＋5＝0的距离相等的点的轨迹方程是________．
解析：设P (x 0，y 0)是所求轨迹上的任意一点，则由题意得|2x 0＋y 0＋1|22＋12＝|2x 0＋y 0＋5|22＋1
2，∴|2x 0＋y 0＋1|＝|2x 0＋y 0＋5|，∴2x 0＋y 0＋1＝－2x 0－y 0－5，即2x 0＋y 0＋3＝0，又∵P (x 0，y 0)是任意的，故所求点的轨迹方程为2x ＋y ＋3＝0.
答案：2x ＋y ＋3＝0
[A 级 基础达标]
1.已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________．
解析：由|a －2＋3|1＋1
＝1，可求得a ＝－1± 2. 再由a ＞0得a ＝2－1.
答案：2－1
2.若点(4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则a 的取值范围是________．
解析：|4×4－3a －1|5
≤3，解得0≤a ≤10. 答案：0≤a ≤10
3.直线l 1经过点(3，0)，直线l 2经过点(0，4)，且l 1∥l 2，d 表示l 1和l 2间的距离，则d 的取值范围是________．
解析：当l 1，l 2与过(3，0)、(0，4)两点的直线垂直时，d max ＝5.
答案：(0，5]
4.在直线x ＋3y ＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x ＋3y ＋2＝0的距离相等，则此点坐标是________．
解析：由于点在直线x ＋3y ＝0上，设点的坐标为(－3a ，a )，又因为直线x ＋3y ＝0与直线x
＋3y ＋2＝0平行，则两平行线间的距离为|2－0|12＋3
2＝105，根据题意有（－3a ）2＋a 2＝105，解得a ＝±15
. 答案：(－35，15)或(35，－15) 5.在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有________条．
解析：法一：由图可知：符合条件的直线为y ＝3，连结AB 交y ＝3于M ，则y ＝3关于直线AB 对称的直线MN 也满足题中条件，故共有2条．
法二：由题意知所求直线必不与y 轴平行，可设直线y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.
d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1
＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3，或⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝53
. ∴符合题意的有两条直线．
答案：2
6.若(x ，y )是直线x ＋y ＋1＝0上的点，求x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值．
解：∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2，
设M (1，1)，则所求式的几何意义是点M (1，1)与直线x ＋y ＋1＝0上的点的距离的平方．可见其最小值为点M (1，1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离的平方．
d ＝|1＋1＋1|2＝32 2. ∴x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2的最小值为92
. 7.△ABC 的三个顶点是A (－1，4)，B (－2，－1)，C (2，3)．
(1)求BC 边的高所在直线方程；
(2)求△ABC 的面积S .
解：(1)设BC 边的高所在直线为l ，
由题知k BC ＝3－（－1）2－（－2）
＝1， 则k ＝－1k BC
＝－1， 又点A (－1，4)在直线l 上，
所以直线l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，
即x ＋y －3＝0.
(2)BC 所在直线方程为：
y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，
点A (－1，4)到BC 的距离
d ＝|－1－4＋1|12＋（－1）
2＝2 2.
则S △ABC ＝12
·BC ·d ＝12
×42×22＝8. [B 级 能力提升]
8.点M 在直线x －2y －1＝0上，且点M 到直线x ＋y －2＝0的距离为2，则点M 坐标为________．
解析：设M (2y ＋1，y )，则|（2y ＋1）＋y －2|2
＝2， ∴y ＝－13或1， ∴M (3，1)或M (13，－13
)． 答案：(3，1)或(13，－13
) 9.m 变化时，两平行线3x －4y ＋m －1＝0和3x －4y ＋m 2＝0之间的距离最小值等于________．
解析：d ＝|m 2－m ＋1|5＝（m －12）2＋345≥320
. 答案：320
10.已知正方形的中心为点M (－1，0)，一条边所在直线的方程是x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
解：设与直线x ＋3y －5＝0平行的直线为x ＋3y ＋m ＝0，则中心M (－1，0)到这两直线等距离，
由点到直线的距离公式得|－1－5|12＋32＝|－1＋m |12＋3
2⇒|m －1|＝6＝⇒m ＝7或m ＝－5. ∴与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.
设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线方程为3x －y ＋n ＝0， 则由|－3＋n |32＋12＝|－1－5|32＋1
2， 得|n －3|＝6⇒n ＝9或n ＝－3，
∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0.
11.(创新题)已知定点P (－2，－1)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，λ∈R.求证：不论λ取何值时，点P 到直线l 的距离不大于13.
证明：法一：由点到直线的距离，得P (－2，－1)到直线l 的距离
d ＝|（1＋3λ）·（－2）＋（1＋2λ）·（－1）－（2＋5λ）|（1＋3λ）2＋（1＋2λ）
2 ＝|13λ＋5|13λ2＋10λ＋2
. 整理，得(13d 2－169)λ2＋(10d 2－130)λ＋2d 2－25＝0.
∵λ∈R ，
∴Δ＝(10d 2－130)2－4(13d 2－169)(2d 2－25)≥0，
解得0≤d ≤13.故结论成立．
法二：由已知l 的方程得x ＋y －2＋λ(3x ＋2y －5)＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴直线l 过定点M (1，1)．
当且仅当l与PM垂直时，点P到l的距离最大，故0≤d≤13.。