高三数学第三次调研测试试题 文含解析 试题

普通中学2021届高三数学第三次调研测试试题文〔含解析〕
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
，，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合B，由此能求出A∪B．
【详解】∵集合，
∴A∪B＝．
应选：C．
【点睛】此题考察并集的定义及求法，涉及一元二次方程的解法，是根底题．
〔为虚数单位〕是由瑞士著名数学家欧拉创造的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥〞，表示的复数位于复平面内〔〕
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
根据新定义，化简即可得出答案．
【详解】∵cos i sin i，
∴i)=i，
此复数在复平面中对应的点〔，〕位于第一象限，
应选：A．
【点睛】此题考察了复数的除法运算及复数的几何意义，涉及三角函数求值，属于根底题．
的终边经过点，那么的值是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出点P到原点的间隔，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角的终边经过点p〔﹣1，〕，其到原点的间隔r 2
故cos，sin
∴sin cos.
应选：B．
【点睛】此题考察了任意角三角函数的定义，考察了二倍角公式，属于根底题．
，那么“为假命题〞是“为真命题〞的〔〕
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
假设为假命题，那么为真命题，那么为真命题，假设为真命题，那么至少有一个为真命题，但不一定为真命题，无法断定为假命题，即“为假〞是“为真〞的充分不必要条件；应选A.
5.某几何体的三视图如下列图所示，且该几何体的体积为2，那么正视图的面积〔〕
A. 2
B. 1
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面BADC为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC ＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD．即可得出．
【详解】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，
其中底面BACD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD．
∴2，解得x＝2．
∴正视图的面积S2．
应选A．
【点睛】此题考察了由三视图复原几何体，考察了四棱锥的体积计算公式，考察了空间想象才能与计算才能，属于中档题．
的实轴长是虚轴长的倍，那么双曲线的渐近线方程为〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过2a=b，直接求解双曲线的渐近线方程即可．
【详解】双曲线的实轴长2a、虚轴长：2b，∴2a=b，
即a=b．
∴渐近线方程为：y＝±x=．
应选：C．
【点睛】此题考察双曲线的简单性质，考察双曲线的渐近线方程，属于根底题．
图像上相邻的最高点和最低点之间的间隔为〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
的周期是2π，最大值为，最小值为﹣，即可求出相邻的最高点和最低点之间的间隔．【详解】的周期是2π，最大值为，最小值为﹣，
∴相邻的最高点和最低点的横坐标之差为半个周期π，纵坐标之差为，
∴图象上相邻的最高点和最低点之间的间隔是，
应选：A．
【点睛】此题考察了函数y＝A cos〔ωx+〕的图象与性质的应用问题，是根底题．
8.是圆内过点的最短弦，那么等于〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出圆的HY方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进展求解即可．
【详解】圆的HY方程为〔x﹣3〕2+〔y+1〕2＝10，那么圆心坐标为C〔3，﹣1〕，半径为，
过E的最短弦满足E恰好为C在弦上垂足，那么CE，
那么|AB|，
应选：D．
【点睛】此题主要考察圆的HY方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．
9.执行如下图的程序框图，那么输出的值是〔〕
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得
s＝3，i=1
满足条件i，执行循环体s＝3+，i=2
满足条件i，执行循环体s＝3++，i=3，
满足条件i，执行循环体，s＝3++，i=4，
不满足条件i退出循环，输出s的值是s＝．
应选：C．
【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．
10.圆锥的高为3，底面半径长为4，假设一球的外表积与此圆锥侧面积相等，那么该球的半径长为〔〕
A. 5
B.
C. 9
D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由中圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，利用球的外表积与此圆锥侧面积相等，可得答案．
【详解】∵圆锥的底面半径r＝4，高h＝3，
∴圆锥的母线l＝5，
∴圆锥侧面积S＝πrl＝20π，
设球的半径为r，那么4πr2＝20π，∴r
应选：B．
【点睛】此题考察了圆锥侧面积公式的应用，纯熟掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键．
11.中，角的对边分别为，且，，那么面积的最大值为〔〕
A. B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出C的大小，进而利用余弦定理可求ab≤9，利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】∵，
由正弦定理，得a2＝〔a﹣b〕b+c2，
即a2+b2﹣c2＝ab．①
由余弦定理得cos C，
结合0＜C＜π，得C．
∵c＝4，
∴由余弦定理可得：16＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，当且仅当a＝b等号成立，
∴S△ABC，即△ABC面积的最大值为．
应选：C．
【点睛】此题主要考察了三角形面积公式，正弦定理与余弦定理的应用，考察了重要不等式求最值的方法，考察了计算才能，属于中档题．
的焦点，点，为抛物线上一点，且不在直线上，那么周长取最小值时，线段
的长为〔〕
A. 1
B.
C. 5
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D，那么根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|．因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，当D、P、A三点一共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出P的坐标，然后求解PF长度．
【详解】求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，
设点P在准线上的射影为D，
根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|
因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值
根据平面几何知识，可得当D，P，A三点一共线时|PA|+|PD|最小，
此时P〔，3〕，F〔1，0〕的长为，
应选：B．
【点睛】此题考察抛物线的定义、HY方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点一共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．
二、填空题〔将答案填在答题纸上〕
13.利用分层抽样的方法在学生总数为1200的年级中抽取30名学生，其中女生人数14人，那么该年级男生人数为_____．
【答案】640
【解析】
【分析】
先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中女生抽到的人数，求总体中女生数，可得总体中男生数．
【详解】分层抽样的抽取比例为，
又女生抽到了14人，∴女生数为560．
∴男生数为1200﹣560＝640．
故答案为：640．
【点睛】此题考察了分层抽样方法，纯熟掌握分层抽样的特征是解答此题的关键．
，，假设，那么实数_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】
由条件得到与一共线反向，求出m的值即可．
【详解】因为向量，假设，那么与一共线反向，
所以m＝-1，
故答案为：-1．
【点睛】此题考察向量的减法的几何意义及向量一共线的应用，考察计算才能．满足，那么目的函数的最大值为____．
【答案】5
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z的最大值．
【详解】作出实数x，y满足对应的平面区域，如图：
由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大．又与联立得A〔2，1〕
此时z最大，此时z的最大值为z＝2×2+1＝5，
故答案为5．
【点睛】此题主要考察线性规划的应用，考察了z的几何意义，利用数形结合是解决此题的关键．，实数满足，且，假设在区间上的最大值是2，那么的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数的单调性可得||＝2，或者＝2，分别检验两种情况下的最大值是否为2，可得结论．【详解】由题意得﹣＝，∴n，且,
又函数在〔0，1〕上是减函数，在〔1，+∞〕上是增函数，
∴||＝2，或者＝2．
∴当||＝2时，m，又n，∴n＝e，此时，f〔x〕在区间[m2，n]上的最大值为2，满足条件．当＝2时，n＝，m，此时，f〔x〕在区间[m2，n]上的最大值为||＝4，不满足条件．
综上，n＝e，m．,
故答案为．
【点睛】此题考察了含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，表达了分类讨论的数学思想，属于中档题．
三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
中，为方程的两个根，数列的前项和为.
〔1〕求及；
〔2〕在〔1〕的条件下，记，的前项和为，求证：.
【答案】〔1〕，〔2〕见证明
【解析】
【分析】
〔1〕先解得方程的两根，再由等差数列通项公式得与d，可得再利用等差数列前n项和公式求出.
〔2〕由〔1〕得到，利用裂项相消法求和即可.
【详解】由方程的两个根分别为3，5，得，
设公差为，那么，解得：，
，
.
〔2〕依题意
∴
【点睛】此题考察了等差数列通项公式及前n项和公式的应用，考察了裂项相消法求和，属于根底题．18.2021年11月15日，我召开全创立全国文明城发动大会，会议向全人民发出发动令，吹响了集结号.为了理解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的100人进展调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图，其分组区间为：，，，，，.把年龄落在和内的人分别称为“青少年人〞和“中老年人〞，经统计“青少年人〞与“中老年人〞的人数之比为.
〔1〕求图中的值，假设以每个小区间的中点值代替该区间的平均值，估计这100人年龄的平均值；〔2〕假设“青少年人〞中有15人关注此活动，根据条件完成题中的列联表，根据此统计结果，问能否有的把握认为“中老年人〞比“青少年人〞更加关注此活动？
关注不关注合计
青少年人15
中老年人
合计50 50 100
附参考公式：，其中.
【答案】〔1〕，，〔2〕见解析
【解析】
【分析】
〔1〕根据频率分布直方图中前两个小矩形的面积和为，后四个小矩形的面积和为求出a,b，再利用频率分布直方图中平均数的计算公式直接求；
〔2〕依题意完成2×2列联表，计算K2，对照临界值得出结论．
【详解】〔1〕依题意，青少年人，中老年人的频率分别为，，
由
得，
〔2〕由题意可知，“青少年人〞一共有，“中老年人〞一共有人
完成列联表如下：
关注不关注合计
青少年人15 25 40
中老年人35 25 60
合计50 50 100
结合列联表
故没有把握认为“中老年人〞比青少年人“更加关注此活动.
【点睛】此题考察了频率分布直方图的应用与HY性检验的应用问题，考察了频率分布直方图中平均数的计算公式及的运算，是中档题．
19.如图，在三棱锥中，，，，为的中点.
〔1〕求证：；
〔2〕求点到平面的间隔 .
【答案】〔1〕见证明〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕由可得，又，由线面垂直的断定定理得到面，进而得到结合，又可证得面，再由线面垂直的性质得到AB⊥PA；
〔2〕利用，可得，再利用数据求解即可.
【详解】〔1〕在等边中，为中点
∴
∵，且
∴面
∵平面
∴
∵，
∴面
∴.
〔2〕在中，，∴，同理
故在中，边上的高
设点到平面的间隔为，.
∴
∴
即点到平面的间隔为.
【点睛】此题考察线面垂直的断定和性质，考察空间想象才能和思维才能，考察了等体积转化的解题技巧，是中档题．
的短轴长为2，且离心率为.
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕假设椭圆的右焦点，右顶点分别为，过的直线交椭圆于两点，求四边形〔为坐标原点〕面积的最大值.
【答案】〔1〕〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕根据椭圆的性质，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的HY方程；
〔2〕设出直线的方程为，与椭圆方程联立，化为关于y的方程，利用根与系数的关系及三角形面积公式可得四边形面积，再由换元法结合“对勾函数〞的单调性求得最值．
【详解】〔1〕依题意，那么
由，解得，椭圆的方程为.
〔2〕由〔1〕知，设，，的方程为，
的方程与椭圆方程联立，整理得
显然，，
令，那么
当且仅当〔即〕时，等号成立，故所求四边形面积的最大值为.
【点睛】此题考察椭圆的简单性质，考察了直线与椭圆位置关系的应用，考察了利用换元法求函数的最值，是中档题．
〔1〕假设，求在处的切线方程；
〔2〕假设在上有零点，求的取值范围.
【答案】〔1〕〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕对函数进展求导，由得切线的斜率，再由，利用点斜式得到切线方程.
〔2〕利用导数对m分类讨论说明的单调性及极值，结合零点存在定理分别列出不等式，可求解m的范围.
【详解】〔1〕时，，，
∴.故所求切线方程为，即.
〔2〕依题意
①当时，，在上单调递减，依题意，，解得
故此时.
②当时，，在上单调递增，依题意，，即
此不等式无解.〔注：亦可由得出，此时函数无零点〕
③当时，假设，，单调递增，
，，单调递减，
由时，.
故只需，即，又，
故此时
综上，所求的范围为.
【点睛】此题考察了导数的几何意义，考察了利用导数研究函数的零点、单调性、极值与最值问题，涉及零点存在定理的应用，属于中档题．
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
〔1〕求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
〔2〕假设与交于两点，点的极坐标为，求的值.
【答案】〔1〕曲线普通方程为曲线的直角坐标方程为〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕将曲线的参数方程中的t消掉得到曲线的普通方程，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，能求出C2的直角坐标方程．
〔2〕将代入，得，利用直线参数的几何意义结合韦达定理，能求出．
【详解】〔1〕曲线的参数方程为〔为参数〕，两式相加消去t可得普通方程为；
又由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，
曲线的极坐标方程为转化为直角坐标方程为
〔2〕把曲线的参数方程为〔为参数〕，代入得，
设，是对应的参数，那么，
所以
【点睛】此题考察了普通方程与参数方程、极坐标方程的互相转化，考察直线参数方程中参数的几何意义及应用，是中档题．
23.选修4-5：不等式选讲
函数.
〔1〕解不等式；
〔2〕记函数的最小值为，假设均为正实数，且，求的最小值. 【答案】〔1〕〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕分，，三种情况去绝对值解不等式即可；
〔2〕由柯西不等式，有．可得a2+b2+c2的最小值．
【详解】〔1〕
所以等价于或者或者，解得或者，
所以不等式的解集为或者
〔2〕由〔1〕可知，当时，获得最小值，所以，即
故，
由柯西不等式，整理得，
当且仅当，即，，时等号成立
所以的最小值为.
【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，柯西不等式的应用，属于中档题. 本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。