云南玉溪一中高2019-2020学年高三年级第一次月考文科数学

云南玉溪一中高2019-2020学年高三年级第一次月考文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（）
A. B. C. D.
3. 某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师170人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（）
A. 10
B. 12
C. 16
D. 18
4. 若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
A. 4
B.
C.
D.
5. 执行下图程序框图，若输出，则输入的为（）
A. 或
B.
C. 1或
D. 或
6. 已知平面平面，则“直线平面”是
“直线平面”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 等差数列的前11项和，则（）
A. 18
B. 24
C. 30
D. 32
8. 函数（）的最小正周期为，则满足（）
A. 在上单调递增
B. 图象关于直线对称
C. D. 当时有最小值
9. 函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
10. 某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）
A. 4
B. 8
C.
D.
11. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线的方程为，若在圆上至少存在三点到直线的距离为1，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
12. 已知函数有两个极值点，且，若，函数
，则（）
A. 仅有一个零点
B. 恰有两个零点
C. 恰有三个零点
D. 至少两个零点
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，，若，则__________．
14. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为__________．
15. 直角的三个顶点都在球的球面上，，若球的表面积为，则球心到平面的距离等于__________．
16. 是公差不为0的等差数列，是公比为正数的等比数列，，，
，则数列的前项和等于__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角，，所对应的边分别为，，，.
（1）求证：；
（2）若，，求.
18. 某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：
若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.
（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？
（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动. （i）共有多少种不同的抽取方法？
（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.
19. 如图，平行四边形中，，，平面，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
20. 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在轴上的射影为点，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.
21. 已知函数，.
（1）设，求的最小值；
（2）若曲线与仅有一个交点，证明：曲线与在点处有相同的切线，且.
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22. 点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线. （1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积. 23. 已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）当时，，求满足的的取值范围.
云南玉溪一中高2019-2020学年高三年级第一次月考文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，则，故选B
2. 已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，则复数的共轭复数为，故选择A.
3. 某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师170人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（）
A. 10
B. 12
C. 16
D. 18
【答案】B
4. 若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
A. 4
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，
由上图，目标函数在点处取得最小值，最小值为，故选择C.
5. 执行下图程序框图，若输出，则输入的为（）
A. 或
B.
C. 1或
D. 或
【答案】D
..
...................
6. 已知平面平面，则“直线平面”是
“直线平面”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】平面平面，若直线平面，则直线平面或；
平面平面，若直线平面，则直线平面不一定成立，故选择D.
7. 等差数列的前11项和，则（）
A. 18
B. 24
C. 30
D. 32
【答案】B
【解析】，所以，根据等差数列性质：，故选择B.
8. 函数（）的最小正周期为，则满足（）
A. 在上单调递增
B. 图象关于直线对称
C. D. 当时有最小值
【答案】D
【解析】由函数（）的最小正周期为得，则，当时，，显然此时不单调递增，A错误；
当时，，B错误；
，C错误；故选择D.
9. 函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数定义域为，又，函数为偶函数，排除B，C，当时，显然，当时，，故选择A.
方法点睛：已知函数解析式确定函数图像时，应考虑函数的定义域、奇偶性、单调性，可以根据这函数性质对选项进行排除，然后再考虑特殊点的函数值，一般考虑函数的零点，综合上面信息，可以选出正确答案.
10. 某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）
A. 4
B. 8
C.
D.
【答案】D
【解析】由题可知，几何体是三棱锥，底面是边长为2的等腰直角三角形，且顶点到底面的距离为2，.
11. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线的方程为，若在圆上至少存在三点到直线的距离为1，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据直线与圆的位置关系可知，若圆：上至少存在三点到直线：
的距离为1，则圆心到直线的距离应满足，即，解得：，即，故选择B.
方法点睛：当圆上有三个点到直线的距离等于1时，则直线过半径中点，且垂直于半径，向圆心方向平移直线，显然圆上到直线距离为1的点有4个，符合题意，此时圆心到直线距离小于，可以根据点到直线距离公式求解参数取值范围.
12. 已知函数有两个极值点，且，若，函数
，则（）
A. 仅有一个零点
B. 恰有两个零点
C. 恰有三个零点
D. 至少两个零点
【答案】A
【解析】由有两个极值点，且，所以函数
在递增，在上递减，在递增，大致图像如下图
又因为，所以显然为与的中点，结合上面函数图像可知，函数与函数的交点只有一个，所以方程的根只有一个，即函数的零点只有一个，故选择A.
方法点睛：根据三次函数，可以确定函数在定义域上先递增，再递减，再递增，于是为极大值点，为极小值点，再根据可知，为与的中点，于是结合函数图像，根据数形结合可知，函数仅有一个零点，考查转化能力的应用.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，，若，则__________．
【答案】2
【解析】，所以，解得.
14. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，将点
带人方程有，所以，则所求双曲线方程为.
15. 直角的三个顶点都在球的球面上，，若球的表面积为，则球心到平面的距离等于__________．
【答案】1
【解析】直角的斜边CB为所在截面小圆的直径，则该截面小圆的半径为，由球的表面积为可得球的半径，球心到平面的距离.
16. 是公差不为0的等差数列，是公比为正数的等比数列，，，
，则数列的前项和等于__________．
【答案】
【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为，则由题有，解得：，所以，，则，设数列的前n项和为，则①
所以②；
①-②得：
所以，整理得：.
方法点睛：用错位相减法求和时，要注意以下几个问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角，，所对应的边分别为，，，.
（1）求证：；
（2）若，，求.
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据正弦定理变形，可化为，由于待证的是，所以将换成，然后根据公式展开，
，于是有，所以有；（Ⅱ）根据已知条件，当，时，，于是根据余弦定理可以求出的值. 试题解析：（Ⅰ）由根据正弦定理得，
即，
，
，
得．
（Ⅱ）由，且，，得，
由余弦定理，，
所以．
18. 某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：
若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.
（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？
（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动. （i）共有多少种不同的抽取方法？
（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.
【答案】（Ⅰ）“读书迷”约210人（Ⅱ）共有12种不同的抽取方法；所求概率
【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎叶图可知，月均课外阅读时间不低于30小时的学生人数为7人，所占比例为，因此该校900人中的“读书迷”的人数为人；（Ⅱ）（ⅰ）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，于是可以列出基本事件空间；（ⅱ）根据题意可知，符合条件的基本事件为，，，，，于是可以求出概率. 试题解析：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.
所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.
（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，
则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：
，，，，
，，，，
，，，，
所以共有12种不同的抽取方法．
（ⅱ）设A表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，
则事件A包含，，，，，
6个基本事件，
所以所求概率．
19. 如图，平行四边形中，，，平面，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）到平面的距离为
【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证平面，根据线面垂直判定定理，需要证明平面
内两条相交直线，由于，，所以易求，，则有，接下来证明平面，从而得到平面，，于是问题得证；（Ⅱ）求点到面的距离，可以用等体积法，即，由（Ⅰ）易知为直角三角形，于是可求其面积，在中，，于是可求其面积，根据
，于是可以求出点到面的距离.
试题解析：（Ⅰ）连接，在平行四边形中，
，，
∴，，从而有，
∴．
∵平面，平面，∴，
又∵，∴平面，平面
从而有．
又∵，为的中点，
∴，又∵，
∴平面．
（Ⅱ）设点到平面的距离为，
在中，，，∴．
在中，，，∴．
由得，，
∴．
所以点到平面的距离为．
方法点睛：求几何体体积常用的方法有：（1）分割求和法：把不规则图形分割成规则图形，然后进行体积计算；（2）补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；（3）等体积法：选择适当的底面图形求几何体的体积，常用于三棱锥.
20. 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在轴上的射影为点，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）椭圆Γ的方程为（Ⅱ）直线的方程为
【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查求椭圆标准方程，根据点在椭圆上，代入得，又离心率，于是可以求出的值，得到椭圆标准方程；（Ⅱ）点在轴上的射影的坐标为，过点N的直线分两种情况进行讨论，当斜率为0时，经分析，不满足，当的斜率不为0时，可设方程为，与椭圆方程联立，消元，得到关于的一元二次方程，设，，由，得，于是可以根据前面的关系
式求出的值，得到直线方程.
试题解析：（Ⅰ）由已知可得，，解得，，
所以椭圆Γ的方程为．
（Ⅱ）由已知N的坐标为，
当直线斜率为0时，直线为轴，易知不成立．
当直线斜率不为0时，设直线的方程为，
代入，整理得，，
设，则
，①，②
由，得，③
由①②③解得．
所以直线的方程为，即．
21. 已知函数，.
（1）设，求的最小值；
（2）若曲线与仅有一个交点，证明：曲线与在点处有相同的切线，且.
【答案】（Ⅰ）的最小值是（Ⅱ）证明见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ），函数定义域为R，求导数，，分别令，，根据函数单调性，确定函数的最小值；（Ⅱ）由曲线与仅有一个交点，可设函数，函数的定义域为，于是对函数求导，研究的单调性及导数为0的根，从而确定函数的最值，曲线与在点处有相同的切线，再求的取值范围.
试题解析：（Ⅰ），
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故时，取得最小值．
（Ⅱ）设，则，
由（Ⅰ）得在单调递增，又，，
所以存在使得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以)的最小值为，
由得，所以曲线与在点处有相同的切线，
又，所以，
因为，所以．
方法点睛：研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目的要求，画出函数图像走势规律，标明函数极（最）值点位置，通过数形结合思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体体现.
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用
2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22. 点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线. （1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积. 【答案】（Ⅰ）曲线的极坐标方程为；曲线的极坐标方程为
（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，结合可求得
试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．
设，则，则有．
所以，曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，
，
则．
23. 已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）当时，，求满足的的取值范围.
【答案】（Ⅰ）的解集为（Ⅱ）的取值范围是
【解析】试题分析：（Ⅰ）由绝对值的几何意义可得的解集为．（Ⅱ）分，和三种情况去绝对值解不等式即可
试题解析：（Ⅰ）,
所以表示数轴上的点到和1的距离之和，
因为或2时，
依据绝对值的几何意义可得的解集为．
（Ⅱ），
当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；当时，，
由得，解得，又因为，所以；
当时，，解得，
综上，的取值范围是．。