2018版高中数学理一轮全程复习课时作业第五章 数列 三十四 含解析 精品
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解析：(1)设数列{bn}的公差为d，∵a3＋S3＝27，q＝ ，
∴q2＋3d＝18,6＋d＝q2，联立方程可求得q＝3，d＝3，
∴an＝3n－1，bn＝3n.
(2)由题意得：Sn＝ ，cn＝ ＝ · · ＝ － ，
∴Tn＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .
2．(2017·广州市综合测试(一))已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；
(2)当an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2.
解析：(1)令x＝n，y＝1，
得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝ f(n)，
∴{f(n)}是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴f(n)＝ n.
(2)证明：设Tn为{an}的前n项和，
∵an＝n·f(n)＝n· n，
由①－②得，
－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1
＝2＋2× －(2n－1)2n＋1
＝－6－(2n－3)2n＋1，
所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.
3．(2016·全国卷甲)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意有 解得
所以{an}的通项公式为an＝ .
(2)由(1)知，bn＝ .
当n＝1,2,3时，1≤ <2，bn＝1；
当n＝4,5时，2≤ <3，bn＝2；
当n＝6,7,8时，3≤ <4，bn＝3；
当n＝9,10时，4≤ <5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn－1.
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得
2a3＝a2＋a2＋a3，
所以a3＝2a2，故q＝2.
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)可知，an＝qn－1，
所以双曲线x2－ ＝1的离心率
en＝ ＝ .
由e2＝ ＝2解得q＝ ，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2 log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
解析：(1)设数列{an}的公比为q，
因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.
因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.
即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.
解析：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f(n)，
则f(n)＝50n－ －72＝－2n2＋40n－72.
(1)获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.
又n∈N*，知从第三年开始获利．
(2)①平均利润为 ＝40－2 ≤16，当且仅当n＝6时取等号．
4．某集团打算投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．[f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额]
(1)从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后，该集团为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．哪种方案最合算？
∴Tn＝ ＋2× 2＋3× 3＋…＋n× n，
Tn＝ 2＋2× 3＋3× 4＋…＋(n－1)× n＋n× n＋1，
两式相减得 Tn＝ ＋ 2＋…＋ n－n× n＋1，
∴Tn＝2－ n－1－n× n<2.
6．(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.
所以e ＋e ＋…＋e
＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]
＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]
＝n＋ ＝n＋ (3n－1)．
课时作业
[授课提示：对应学生用书第238页]
1．(2017·山西省第二次四校联考)已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{bn}中，b1＝3，且{bn}的前n项和为Sn，a3＋S3＝27，q＝ .
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{பைடு நூலகம்n}满足cn＝ ，求{cn}的前n项和Tn.
因为公比q≠0，所以q＝2.
所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*)．
(2)因为an＝2n，所以bn＝2 log2an－1＝2n－1，
所以anbn＝(2n－1)2n，
则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①
2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②
故此方案获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6，
②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128，
当n＝10时，f(n)max＝128.
故此方案共获利128＋16＝144(万美元)．
比较两种方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．
5．(2017·陕西商洛模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝ .
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－ ＝1的离心率为en，且e2＝2，求e ＋e ＋…＋e .
解析：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，
两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，
故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，
∴q2＋3d＝18,6＋d＝q2，联立方程可求得q＝3，d＝3，
∴an＝3n－1，bn＝3n.
(2)由题意得：Sn＝ ，cn＝ ＝ · · ＝ － ，
∴Tn＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .
2．(2017·广州市综合测试(一))已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；
(2)当an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2.
解析：(1)令x＝n，y＝1，
得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝ f(n)，
∴{f(n)}是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴f(n)＝ n.
(2)证明：设Tn为{an}的前n项和，
∵an＝n·f(n)＝n· n，
由①－②得，
－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1
＝2＋2× －(2n－1)2n＋1
＝－6－(2n－3)2n＋1，
所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.
3．(2016·全国卷甲)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意有 解得
所以{an}的通项公式为an＝ .
(2)由(1)知，bn＝ .
当n＝1,2,3时，1≤ <2，bn＝1；
当n＝4,5时，2≤ <3，bn＝2；
当n＝6,7,8时，3≤ <4，bn＝3；
当n＝9,10时，4≤ <5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn－1.
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得
2a3＝a2＋a2＋a3，
所以a3＝2a2，故q＝2.
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)可知，an＝qn－1，
所以双曲线x2－ ＝1的离心率
en＝ ＝ .
由e2＝ ＝2解得q＝ ，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2 log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
解析：(1)设数列{an}的公比为q，
因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.
因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.
即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.
解析：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f(n)，
则f(n)＝50n－ －72＝－2n2＋40n－72.
(1)获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.
又n∈N*，知从第三年开始获利．
(2)①平均利润为 ＝40－2 ≤16，当且仅当n＝6时取等号．
4．某集团打算投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．[f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额]
(1)从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后，该集团为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．哪种方案最合算？
∴Tn＝ ＋2× 2＋3× 3＋…＋n× n，
Tn＝ 2＋2× 3＋3× 4＋…＋(n－1)× n＋n× n＋1，
两式相减得 Tn＝ ＋ 2＋…＋ n－n× n＋1，
∴Tn＝2－ n－1－n× n<2.
6．(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.
所以e ＋e ＋…＋e
＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]
＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]
＝n＋ ＝n＋ (3n－1)．
课时作业
[授课提示：对应学生用书第238页]
1．(2017·山西省第二次四校联考)已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{bn}中，b1＝3，且{bn}的前n项和为Sn，a3＋S3＝27，q＝ .
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{பைடு நூலகம்n}满足cn＝ ，求{cn}的前n项和Tn.
因为公比q≠0，所以q＝2.
所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*)．
(2)因为an＝2n，所以bn＝2 log2an－1＝2n－1，
所以anbn＝(2n－1)2n，
则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①
2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②
故此方案获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6，
②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128，
当n＝10时，f(n)max＝128.
故此方案共获利128＋16＝144(万美元)．
比较两种方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．
5．(2017·陕西商洛模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝ .
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－ ＝1的离心率为en，且e2＝2，求e ＋e ＋…＋e .
解析：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，
两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，
故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，