中考数学反比例函数综合题汇编及详细答案.doc

中考数学反比例函数综合题汇编及详细答案
一、反比例函数
1．如图，直线y=﹣ x+b 与反比例函数y=的图象相交于A（ 1， 4）， B 两点，延长AO 交
反比例函数图象于点C，连接 OB．
（1）求 k 和 b 的值；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围；
（3）在 y 轴上是否存在一点P，使 S△PAC △AOB
P 坐标，若不存在请说
= S ？若存在请求出点
明理由．
【答案】（1）解：将A（ 1， 4）分别代入y=﹣ x+b 和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4
（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为：x＞ 4 或 0＜ x＜1
（3）解：过 A 作 AN⊥ x 轴，过 B 作 BM⊥ x 轴，由（1）知，b=5，k=4，
∴直线的表达式为：y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：
由，解得： x=4，或 x=1，
∴B（ 4，1），
∴，
∵，
∴，
过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥y 轴，设 P（ 0，t ），
∴S△PAC=OP?CD+ OP?AE=OP（ CD+AE）=|t|=3 ，
解得： t=3， t=﹣ 3，
∴P（ 0， 3）或 P（0，﹣ 3）．
【解析】【分析】（ 1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结
论；（ 3）过 A 作 AM⊥ x 轴，过 B 作 BN⊥ x 轴，由（ 1）知， b=5， k=4，得到直线的表达
式为： y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（ 4 ，1），于是得到，由已知条
件得到，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥ y 轴，设 P（ 0，t ），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
2．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y= x 的图象交于点A、 B，点 B 的横坐标是4．点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方．
（1）若点 P 的坐标是（ 1， 4），直接写出 k 的值和△ PAB的面积；
（2）设直线 PA、 PB 与 x 轴分别交于点 M、 N，求证：△PMN 是等腰三角形；
（3）设点 Q 是反比例函数图象上位于P、 B 之间的动点（与点P、B 不重合），连接AQ、BQ，比较∠ PAQ与∠ PBQ的大小，并说明理由．
【答案】（1）解： k=4， S△PAB=15．
提示：过点 A 作 AR⊥ y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥y 轴于 S，连接 PO，设
AP 与 y 轴交于点 C，如图 1，
把x=4 代入 y= x，得到点 B 的坐标为（ 4，1），把
点 B（4， 1）代入 y= ，得 k=4．
解方程组，得到点 A 的坐标为（﹣ 4 ，﹣ 1），
则点 A 与点 B 关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△AOP=S△BOP，
∴S△PAB=2S△AOP．
设直线 AP 的解析式为y=mx+n，
把点 A（﹣ 4，﹣ 1）、 P（1 ，4）代入 y=mx+n ，
求得直线AP 的解析式为y=x+3，
则点 C 的坐标（ 0，3）， OC=3，
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
=OC?AR+ OC?PS
=× 3× 4+× 3× 1=，
∴S△PAB=2S△AOP=15；
（2）解：过点P 作 PH⊥ x 轴于 H，如图 2．
B（ 4， 1），则反比例函数解析式为y=，
设 P（ m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线 PB 的方程为y=px+q，
联立，解得直线PA的方程为y= x+﹣1，
联立，解得直线PB 的方程为y=﹣x+ +1，
∴M （ m﹣ 4， 0）， N（ m+4，0），
∴H（ m，0），
∴MH=m ﹣（ m﹣ 4） =4，NH=m+4﹣m=4，
∴MH=NH，
∴PH 垂直平分 MN ，
∴PM=PN，
∴△ PMN 是等腰三角形；
（3）解：∠ PAQ=∠ PBQ．
理由如下：
过点 Q 作 QT⊥ x 轴于 T，设 AQ 交 x 轴于 D， QB 的延长线交 x 轴于 E，如图 3．可设点 Q 为（ c，），直线AQ 的解析式为y=px+q，则有
，
解得：，
∴直线 AQ 的解析式为y= x+﹣1．
当y=0 时， x+ ﹣1=0，
解得： x=c﹣ 4，∴D
（ c﹣ 4， 0）．
同理可得 E （ c+4，0），
∴ D T=c ﹣（ c ﹣ 4） =4， ET=c+4﹣ c=4，
∴ D T=ET ，
∴QT 垂直平分 DE ，
∴QD=QE ，
∴∠ QDE=∠ QED ．
∵∠ MDA=∠ QDE ，
∴∠ MDA=∠ QED ．
∵PM=PN ， ∴ ∠PMN=∠ PNM ．
∵∠ PAQ=∠ PMN ﹣ ∠ MDA ，∠ PBQ=∠ NBE=∠ PNM ﹣ ∠QED ，
∴∠ PAQ=∠ PBQ ．
【解析】 【分析】（ 1）过点 A 作 AR ⊥y 轴于 R ，过点 P 作 PS ⊥ y 轴于 S ，连接 PO ，设 AP
与 y 轴交于点 C ，如图 1，可根据条件先求出点 B 的坐标，然后把点 B 的坐标代入反比例 函数的解析式，即可求出
k ，然后求出直线 AB 与反比例函数的交点
A 的坐标，从而得到
OA=OB ，由此可得 △PAB =2S △AOP ， 要求 △ PAB 的面积，只需求 △ PAO 的面积，只需用割补
S
法就可解决问题；（ 2）过点 P 作 PH ⊥ x 轴于 H ，如图 2．可用待定系数法求出直线
PB 的
解析式，从而得到点 N 的坐标，同理可得到点 M 的坐标，进而得到 MH=NH ，根据垂直平
分线的性质可得 PM=PN ，即 △ PMN 是等腰三角形；（ 3）过点 Q 作 QT ⊥ x 轴于 T ，设 AQ
交 x 轴于 D ，QB 的延长线交
x 轴于 E ，如图 3．可设点 Q 为（ c ， ），运用待定系数法求
出直线 AQ 的解析式，即可得到点 D 的坐标为（ c ﹣ 4， 0），同理可得 E （ c+4， 0），从而
得到 DT=ET ，根据垂直平分线的性质可得 QD=QE ，则有 ∠ QDE=∠ QED ．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到 ∠ PAQ=∠ PBQ ．
3．如图，一次函数 y 1=k 1 x+b 与反比例函数 y 2= 的图象交于点 A （4， m ）和 B （﹣ 8，﹣
2），与 y 轴交于点C．
（1） m=________， k1=________；
（2）当 x 的取值是 ________时， k1 x+b＞；
（3）过点 A 作 AD⊥ x 轴于点 D，点 P 是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段 AD 交于点 E，当 S四边形ODAC： S△
ODE=3： 1 时，求点 P 的坐标．
【答案】（1） 4；
（2）﹣ 8＜ x＜ 0 或 x＞4
（3）解：由（ 1）知， y1= x+2 与反比例函数 y2= ，∴点 C 的坐标是（ 0，2），点 A 的坐标是（ 4， 4）．
∴CO=2， AD=OD=4．
∴S 梯形ODAC= ?OD= × 4=12，
∵S 四边形ODAC： S△ODE=3： 1，
∴S△ODE= S 梯形ODAC= × 12=4，
即OD?DE=4，
∴D E=2．
∴点 E 的坐标为（ 4，2）．
又点 E 在直线 OP 上，
∴直线 OP 的解析式是y=x，
∴直线 OP 与 y2=的图象在第一象限内的交点P 的坐标为（ 4，2）．
【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数 y2= 的图象过点 B（﹣ 8，﹣ 2），∴ k2=（﹣8）×（﹣ 2） =16，
即反比例函数解析式为y2=，
将点 A（ 4， m）代入 y2= ，得： m=4，即点 A（ 4，4），
将点 A（ 4， 4）、 B（﹣ 8，﹣ 2）代入 y1=k1 x+b，
得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y1=x+2，
故答案为：4，；（ 2 ）∵ 一次函数 y1=k1x+2 与反比例函数y2= 的图象交于点A（ 4，4）和 B（﹣ 8，﹣ 2），
∴当 y ＞ y 时， x 的取值范围是﹣ 8＜ x＜0 或 x＞ 4，
1 2
故答案为：﹣ 8＜ x＜ 0 或 x＞ 4；
【分析】（ 1）由 A 与 B 为一次函数与反比例函数的交点，将 B 坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将 A 的坐标代入反比例解析式中求出m 的值，确定出 A 的坐标，将 B 坐标代入一次函数解析式中即可求出k1 的值；（ 2）由 A 与 B 横坐标分别为4、﹣ 8，加上0，将 x 轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例
函数图象上方时x 的范围即可；（ 3 ）先求出四边形ODAC 的面积，由S 四边形ODAC：S△ODE=3： 1 得到△ ODE 的面积，继而求得点 E 的坐标，从而得出直线OP 的解析式，结合反比例函数解析式即可得．
4．如图，已知抛物线y=﹣ x2+9 的顶点为A，曲线 DE 是双曲线y=（3≤x≤）12的一部分，记作 G1，且 D（ 3， m）、 E（12， m﹣3），将抛物线y=﹣ x2 +9 水平向右移动 a 个单位，得到抛物线 G2．
（1）求双曲线的解析式；
（2）设抛物线 y=﹣ x2+9 与 x 轴的交点为 B、 C，且 B 在 C 的左侧，则线段 BD 的长为
________；
（3）点（ 6，n ）为 G1与 G2的交点坐标，求 a 的值．
（4）解：在移动过程中，若G1与 G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE 和 G1于M、 N 两点，若MN ＜，直接写出 a 的取值范围．
【答案】（1）把 D（ 3， m）、 E（ 12， m﹣ 3）代入 y=得，解得，
所以双曲线的解析式为y=；
（2） 2
（3）解：把（ 6， n）代入 y= 得 6n=12，解得 n=2，即交点坐标为（ 6， 2），抛物线
G2的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9，
把（ 6， 2）代入 y=﹣（ x﹣ a）2 +9 得﹣（ 6﹣ a）2+9=2，解得 a=6 ±，
即 a 的值为 6±；
（4）抛物线 G2的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9，
把 D（ 3，4）代入 y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 3﹣a）2+9=4，解得 a=3﹣或 a=3+ ；
把 E（ 12， 1 ）代入y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 12﹣ a）2+9=1，解得a=12﹣ 2 或 a=12+2 ；
∵G1与 G2有两个交点，
∴3+≤ a≤﹣12 ，
设直线 DE 的解析式为y=px+q，
把 D（ 3，4）， E（12， 1）代入得，解得，
∴直线 DE 的解析式为y=﹣x+5，
∵G2的对称轴分别交线段DE 和 G1于 M、 N 两点，
∴M （ a，﹣a+5）， N（ a，），
∵MN ＜，
∴﹣a+5﹣＜，
整理得 a2﹣13a+36 ＞0，即（ a﹣ 4）（ a﹣ 9）＞ 0，
∴a＜ 4 或 a＞ 9，
∴a 的取值范围为9＜ a ≤ 12﹣ 2．
【解析】【解答】解：（2）当 y=0 时，﹣ x2+9=0，解得 x1=﹣ 3， x2=3，则 B（﹣ 3， 0），
而 D（ 3，4），
所以 BE==2．
故答案为 2；
【分析】（ 1）把 D（ 3，m）、 E（ 12， m﹣ 3）代入 y=得关于k、m的方程组，然后解方
程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、 E 点坐标；（ 2）先解方程﹣x2+9=0 得
到 B（﹣ 3， 0），而D（3， 4），然后利用两点间的距离公式计算DE 的长；（ 3）先利用
反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6， 2），然后把（ 6 ， 2）代入y=﹣（ x ﹣a）2+9 得 a 的值；（ 4）分别把 D 点和 E 点坐标代入y=﹣（ x﹣ a）2+9 得 a 的值，则利用
图象和 G1与 G2有两个交点可得到3+≤ a≤﹣122 ，再利用待定系数法求出直线DE 的解析式为y=﹣ x+5，则 M（ a，﹣a+5）， N（ a，），于是利用MN ＜得到﹣a+5 ﹣＜，然后解此不等式得到a＜ 4 或 a＞ 9，最后确定满足条件的 a 的取值范围．
5 ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b（ k≠0）的图象与反比例函数
的图象交于二四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 B 的坐标为（ 6 ，n ），线段 OA=5 ， E 为 x 轴负半轴上一点，且 sin∠ AOE=
．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△ AOC的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围．
【答案】（1）解：作 AD⊥ x 轴于 D，如图，
在 Rt△ OAD 中，∵ sin∠ AOD==，
∴AD= OA=4，
∴OD==3，
∴A（﹣ 3， 4），
把 A（﹣ 3， 4）代入 y=得m=﹣4×3=﹣12，
所以反比例函数解析式为y=﹣；
把B（ 6，n ）代入 y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，
把 A（﹣ 3， 4）、 B（6，﹣ 2）分别代入y=kx+b 得，解得，
所以一次函数解析式为y=﹣x+2
（2）解：当 y=0 时，﹣x+2=0，解得 x=3，则 C（3， 0），所以 S△AOC
× 4× 3=6
=
（3）解：当 x＜﹣ 3 或 0＜ x＜ 6 时，一次函数的值大于反比例函数的值
【解析】【分析】（1）作 AD⊥ x 轴于 D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣ 3 ，4），再把 A 点坐标代入y= 可求得 m=﹣ 12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（ 6， n）代入反比例函数解析式求出n，然后把 A 和 B 点坐标分别代入 y=kx+b 得到关于 a、 b 的方程组，再解方程组求出 a 和 b 的值，从而可确定一次函数解析式；（ 2 ）先确定 C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数
图象上方所对应的自变量的范围即可．
6．理数学兴趣小组在探究如何求tan15 °值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：的
思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB 至点 D，使 BD=BA，连接
AD ．设AC=1，则BD=BA=2， BC=．tanD=tan15 =°== ．
思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan （α±β）=．假设
α =60，°β =45代°入差角正切公式：tan15 °=tan（ 60°﹣ 45°） ==
=．
思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以
思路四
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比：求出tan75 °的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为测得 A， C 两点间距离为60 米，从 A 测得电视塔的视角（CD 的高度；30 米，在地平面上有一点A，∠CAD）为 45°，求这座电视塔
（3）拓展：如图将直线 AB 绕点
3，直线与双曲线交于A，B两点，与y 轴交于点C，C 旋转 45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，
请说明理由．
【答案】（1）解：方法一：如图1，
在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC=30°，延长 CB 至点 D，使 BD=BA，连接 AD．设 AC=1，则BD=BA=2， BC=．tan∠ DAC=tan75°====；
方法二： tan75 °=tan（45°+30°）====
（2）解：如图2，
在Rt△ ABC 中， AB===，sin∠BAC=，即
∠BAC=30 ．° ∵ ∠ DAC=45 ∴DB=AB?tan∠ DAB= °，∴ ∠ DAB=45
+30° ?（） =
°=75 °．在R t△ ABD 中， tan∠ DAB=
，∴ DC=DB﹣ BC=
，
=
．
答：这座电视塔CD的高度为（）米
（3）解：①若直线AB 绕点 C 逆时针旋转作 CD∥ x 轴，过点P 作 PE⊥ CD于 E，过点
45°后，与双曲线相交于点
A 作 AF⊥ CD于 F．
P，如图3．过点 C
解方程组：，得：或，∴点A（4，1），点B（﹣ 2，﹣ 2）．对于，当x=0 时， y=﹣ 1，则C（ 0 ，﹣ 1 ）， OC=1，∴ CF=4， AF=1﹣（﹣ 1 ） =2 ，∴ tan∠ACF=，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan
（45°+∠ACF） ===3，即=3．设点P 的坐标为（ a， b），
则有：，
解得：或，∴点 P 的坐标为（﹣ 1，﹣ 4）或（，3）；
②若直线 AB 绕点 C 顺时针旋转45°后，与 x 轴相交于点 G，如图 4．
由①可知∠ ACP=45°， P （，3），则C P⊥ CG．过点P 作PH⊥ y轴于H ，则∠GOC=∠ CHP=90 ，°∠ GCO=90 ﹣°∠ HCP=∠ CPH，∴△ GOC∽△ CHP，∴．∵CH=3 ﹣（﹣ 1） =4， PH=，OC=1，∴，∴ GO=3，G（﹣3，0）．设直线CG 的解析式为，则有：，解得：，∴直线CG的解析式为．联立：，消去y，得：，整理得：
，∵ △ = ，∴方程没有实数根，∴ 点P 不存在．
综上所述：直线AB 绕点 C 旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为（﹣1，﹣ 4）或
（， 3）．
【解析】【分析】 tan∠DAC=tan75°， tan∠ DAC 用边的比值表示 .在 Rt△ ABC 中，由勾股定
理求出 AB，由三角函数得出∠ BAC=30°，从而得到∠ DAB=75°，在 Rt△ ABD 中，可求出
DB， DC=DB﹣ BC.分两种情况讨论，设点 P 的坐标为（ a， b），根据 tan∠ PCE 和 P 在图像上
列出含有 a， b 的方程组，求出 a，b.利用已知证明△ GOC∽ △ CHP，根据相似三角形的性
质可求出G 的坐标，设出直线CG的解析式，与反比例函数组成方程组消元，△ <0 点 P 不
存在 .
7．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于A， B 两点，点 A 的坐标
为（ 2， 6），点 B 的坐标为（ n， 1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点 E 为 y 轴上一个动点，若 S△AEB=10，求点 E 的坐标．
【答案】（1）解：把点A（ 2， 6）代入 y=，得m=12，则y=．
把点 B（n，1）代入 y=，得n=12，
则点 B 的坐标为（ 12， 1）．
由直线 y=kx+b 过点 A（2， 6），点 B（ 12，1）得
，
解得，
则所求一次函数的表达式为（2）解：如图，直线AB 与y=﹣x+7
y 轴的交点为P，设点 E 的坐标为（0， m），连接AE， BE，
则点 P 的坐标为（ 0， 7）．
∴P E=|m ﹣ 7| ．
∵S△AEB=S△BEP﹣ S△AEP=10，
∴× |m﹣7| ×（ 12﹣ 2） =10．
∴|m ﹣ 7|=2 ．
∴m1=5， m2=9．
∴点 E 的坐标为（ 0，5）或（ 0，9）．
【解析】【分析】（ 1 ）把点 A 的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析
式，把点 B 的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出 n 的值，得出点 B 的坐标，再把A、 B 的
坐标代入直线 y=kx+b，求出 k、 b 的值，从而得出一次函数的解析式；（ 2）设点 E 的坐标为（ 0，m），连接 AE， BE，先求出点 P 的坐标（ 0， 7），得出 PE=|m ﹣7| ，根据
S△AEB=S△BEP﹣ S△AEP=10，求出m 的值，从而得出点 E 的坐标．
8．如图，已知二次函数的图象与y 轴交于点A(0， 4），与x 轴交于点B， C，点 C 坐标为(8， 0），连接AB，AC.
（1）请直接写出二次函数的解析式.
（2）判断△ ABC 的形状，并说明理由 .
（3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A， N， C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时
点 N 的坐标 .
【答案】（ 1）解：∵二次函数
的图象与y 轴交于点A(0,4),与x 轴交于点 B.C,点C 坐标 (8,0),
∴
解得
∴抛物线表达式：
（2）解：△ ABC 是直角三角形 .
令y=0,则
解得 x1=8,x2=-2,
∴点 B 的坐标为 (-2,0),
由已知可得 ,
在Rt△ ABO 中
AB2=BO2+AO2=22+42 =20,
在Rt△ AOC中
AC2=AO2+CO2 =42+82=80,
又∴ BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ ABC中
AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ ABC是直角三角形
（3）解：∵ A(0,4),C(8,0),
AC= =4,
①以 A 为圆心 ,以 AC 长为半径作圆 ,交轴于 N,此时 N 的坐标为 (-8,0),
②以 C 为圆心 ,以 AC 长为半径作圆, 交 x 轴于 N, 此时 N 的坐标为 ( ,0) 或( ,0)
③作 AC 的垂直平分线 ,交 g 轴于 N,此时 N 的坐标为 (3,0),
综上 ,若点 N 在轴上运动 ,当以点 A、 N、 C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点 N 的坐标分别为(-8,0) 、( ,0)、 (3,0)、,0)
【解析】【分析】 (1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得 B 的坐标 ,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10 然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形 (3)分别以 A.C 两点为圆心 ,AC 长为半径画弧 ,与 m 轴交于三个点 ,由 AC 的垂直平分线与 c 轴交于一个点 ,即可求得点 N 的坐标
9．已知抛物线 y＝ ax2+bx+c（ a≠0）过点 A（ 1，0）， B（3， 0）两点，与 y 轴交于点 C ，OC ＝ 3．
（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
（2）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P 的坐标；
（3）若点 Q 为线段 OC上的一动点，问： AQ+ QC 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小
值；若不存在，请说明理由．
【答案】（ 1）解：函数的表达式为：y＝ a（ x﹣ 1）（ x﹣ 3）＝ a（ x2﹣ 4x+3），即： 3a＝3，解得： a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ 4x+3，则顶点D（ 2，﹣ 1）；
（2）解：将点B、C 的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n 并解得：
直线 BC的表达式为： y＝﹣ x+3，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC于点 H ，设点
P（ x ， x2﹣ 4x+3），则点 H（x ，﹣ x+3），
则 S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），
∵﹣＜ 0，故 S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；
（3）解：存在，理由：
如上图，过点 C 作与 y 轴夹角为30°的直线 CH ，过点 A 作 AH⊥ CH ，垂足为 H ，
则HQ＝ CQ ， Q+ QC最小值＝ AQ+HQ＝AH ，
直线 HC所在表达式中的k 值为，直线HC的表达式为：y＝x+3①
则直线 AH 所在表达式中的k 值为﹣，
则直线 AH 的表达式为： y＝﹣x+s ，将点 A 的坐标代入上式并解得：
则直线 AH 的表达式为： y＝﹣x+② ，
联立①②并解得：x＝，
故点 H（，），而点A（ 1， 0），则AH＝，即：AQ+QC 的最
小值为.
【解析】【分析】（ 1）将坐标（ 1， 0）， B（ 3， 0）代入计算即可得出抛物线的解析式，
即可计算出 D 的坐标 .
（2）将点 B、 C的坐标代入一次函数表达式计算，设点P（ x ， x2﹣ 4x+3），则点H（ x ，﹣x+3），求出 x 的值即可 .
（3）存在，过点 C 作与 y 轴夹角为 30°的直线 CH ，过点 A 作 AH⊥ CH ，垂足为 H ，则
HQ＝CQ ， Q+ QC最小值＝ AQ+HQ＝ AH，求出k值，再将 A 的坐标代入计算即可解答.
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，过点作轴交抛物线于点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，求的面积；
（ 3）若点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点的坐标和的最大面积．
【答案】（ 1）解：抛物线交轴于点，交轴于点
和点，
，得，
此抛物线的表达式是
（2）解：抛物线交轴于点，
点的坐标为，
轴，点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，点的纵坐标是5，点到的距离是10，
当时，，得或，
点的坐标为，
，
的面积是：
（3）解：设点的坐标为，如图所示，
设过点，点的直线的函数解析式为，
，得，
即直线的函数解析式为，
当时，，
，
的面积是：，点是直线下方的抛物线上一动点，
，
当时，取得最大值，此时，点的坐标是，，
即点的坐标是，时，的面积最大，此时的面积是．
【解析】【分析】（ 1 ）根据题意可以求得、的值，从而可以求得抛物线的表达式；
（ 2）根据题意可以求得的长和点到的距离，从而可以求得的面积；（3）根据题意可以求得直线的函数解析式，再根据题意可以求得的面积，然后根据二
次函数的性质即可解答本题
11 ．已知：如图，在四边形中，，，，
，垂直平分.点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点
也停止运动.过点作，交于点，过点作，分别交，于点，.连接，.设运动时间为，解答下列问题：
（1）当为何值时，点在的平分线上？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式.
（3）连接，，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（ 1）解：在中，∵，，，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴∠ BPE=∠ BCA=90 °
又∠ B=∠B
∴△ BPE∽△ BAC
∴
即
∴，，
当点∵∴在
，
，
的平分线上时，
，
∴，
∴.
∴当为 4 秒时，点在的平分线上. （2）解：如图，连接，.
.
（3）解：存在 .如图，连接.
∵，
∴∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，解得或 10(舍 )
∴当秒时，.
【解析】【分析】（ 1）根据勾股定理求AC，根据证，求出CD、
OD 的值，根据△ BPE∽ △BAC 得到比例式，用含有t 的代数式表示出PE、 BE，当点 E 在
∠BAC 的平分线上时，因为EP⊥ AB， EC⊥ AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问
题．（2）根据
构建函数关
系式即可．（ 3）证明∠EOC=∠ QOG，可得，推出，由此构
建方程即可解决问题．
12．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴
夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （ 1， 3）的特征线有：x=1， y=3 ，
y=x+2， y=﹣ x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、 C 分别
在 x 轴和 y 轴上，抛物线经过B、C两点，顶点 D 在正方形内部．
（1）直接写出点 D（ m， n）所有的特征线；
（2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接OP ，将△ OAP沿着 OP 折叠，点 A 落在
点 A′的位置，当点 A′在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（ 2）中条件的抛物线向下平
移多少距离，其顶点落在 OP 上？
【答案】（1）解：∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，
y=x+n﹣ m ， y=﹣ x+m+n；
（ 2 ）解：点 D 有一条特征线是y=x+1 ，∴ n ﹣ m=1 ，∴ n=m+1 ．∵抛物线解析式为
，∴，∵四边形OABC是正方形，且 D 点为正
方形的对称轴，D（ m，n），∴ B（ 2m，2m），∴，将
n=m+1 带入得到m=2， n=3；
∴D（ 2， 3），∴抛物线解析式为．
（3）解：①如图，当点A′在平行于y轴的 D 点的特征线时：
根据题意可得，D（ 2，3 ），∴ OA′=OA=4，OM=2，∴∠ A′OM=60°，∴∠ A′OP=∠ AOP=30°，
∴MN = = ，∴抛物线需要向下平移的距离= = ．
② 如图，
当点A′在平行于x 轴的 D 点的特征线时，设A′（ p ， 3），则OA′=OA=4， OE=3， EA′= = ，∴ A′F=4﹣，设P（ 4，c）（ c＞ 0），，在Rt△ A′FP 中，（4﹣） 2+
（3﹣ c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=
x ，∴ N（ 2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．
综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP 上．
【解析】【分析】（ 1）根据特征线直接求出点 D 的特征线；（ 2）由点 D 的一条特征线和
正方形的性质求出点 D 的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x 轴和 y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．。