北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)

北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学上学期10月月
考试题（含解析）
说明:本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟;考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.
一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上.）
1.若集合A ＝{x ∈Z ||x |＜3}，B ＝{x ∈Z |x 2
﹣3x ﹣4＜0}，则A ∩B ＝（ ） A. {0，1，2} B. {﹣2，﹣1，0，1，2，3} C. {﹣1，0，1，2，3} D. {﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}
【答案】A 【解析】 【分析】
化简集合,A B 后利用集合的交集运算进行运算可得. 【详解】因为集合{2,1,0,1,2}A =--,{0,1,2,3}B =, 所以{0,1,2}A B ⋂=, 故选：A
【点睛】本题考查了集合的交集运算,含绝对值不等式的解法,一元二次不等式的解法,属于基础题.
2.设命题2:,2n
P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2n
n N n ∀∈> B. 2,2n
n N n ∃∈≤ C. 2,2n
n N n ∀∈≤ D. 2
,2n
n N n ∃∈=
【答案】C 【解析】
【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2
,2n
n N n ∀∈≤，即本
题的正确选项为C.
【此处有视频，请去附件查看】
3.已如函数f （x ）sinx
x
=，则f ′（π）+f ′（﹣π）＝（ ） A. ﹣2 B. 2 C. 2
π
-
D. 0
【答案】D 【解析】 【分析】
利用导数公式以及导数的除法法则求导后,代入π和π-计算可得.
【详解】因为f （x ）sinx x =,所以cos sin ()2x x x f x x
-'=, 所以22cos sin cos()sin()()()()f f ππππππππππ-----''+-=+=-220ππ
ππ
-+=.
故选:D
【点睛】本题考查了导数公式以及导数的除法法则,属于基础题. 4.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【详解】试题分析：因为
，所以
“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件；故选A ． 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件判定． 【此处有视频，请去附件查看】
5.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A. 若e a
+2a=e b
+3b ，则a ＞b B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A
【解析】
【详解】若223a b e a b +=+，必有22a b e a e b +>+． 构造函数：()2x
f x e x =+，则()()f a f b >，
则()20x
f x e ='+>恒成立，
故有函数()2x
f x e x =+在x ＞0上单调递增，
所以a ＞b 成立．故选A ． 6.已知曲线y ＝2sin （x 4π+
）cos （4x π-）与直线y 1
2
=相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5|等于（ ） A. π B. 2π
C. 3π
D. 4π
【答案】B 【解析】 【分析】 将2sin()cos()44
y x x π
π
=+
-化为1sin 2y x =+,根据已知条件得到关于x 的方程,求出
方程的解,进而得到12345,,,,P P P P P 的横坐标,从而可得15||PP 的值. 【详解】因为2sin()cos()2sin[()]cos()44244
y x x x x π
ππππ
=+
-=---
22cos ()1cos(2)1sin 242
x x x ππ
=-=+-=+,
所以由1
1sin 22x +=,得1sin 22x =-,
所以7226x k ππ=+或11226x k π
π=+,k Z ∈,
所以712x k ππ=+或1112
x k π
π=+,k Z ∈,
所以12345,,,,P P P P P 的横坐标依次是
7117117,,,,21212121212
ππππππππ+++, 所以15
77||221212
PP ππππ=+-=. 故选:B
【点睛】本题考查了诱导公式,降幂公式,简单的三角方程,本题是一道关于关于三角函数的问题,掌握三角函数的转换公式是答题的关键,属于中档题.
7.函数2sin 2
x
y x =
-的图象大致是 A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数22
x
y sinx =
-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果
【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又1
2cos 2
y x =
-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C
【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证． 8.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+，当[]
12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()1212
0f x f x x x ->-，给出如下命题：
①()30f =；
②直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴；
③函数()y f x =在[]
9,6--上为增函数； ④函数()y f x =在[]
9,9-上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为（ ） A. ①② B. ②④
C. ①②③
D. ①②④
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定
【详解】①令3x =，则由()()()63f x f x f +=+，函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，
可得：()()()()33323f f f f =-+=，故()30f =，故①正确
②由()30f =可得：()()6f x f x +=，故函数()f x 是周期等于6的周期函数
()f x Q 是偶函数，y 轴是对称轴，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，
故②正确
③Q 当[]
12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，
()()1212
0f x f x x x ->-，
故()f x 在[]
03，
上为增函数 ()f x Q 是偶函数，故()f x 在[]30-，上为减函数
Q 函数()f x 是周期等于6的周期函数
故()f x 在[]
96--，
上为减函数，故③错误 ④Q 函数()f x 是周期等于6的周期函数
()()()()93390f f f f ，∴-=-===
故函数()y f x =在[]
9,9-上有四个零点，故④正确 综上所述，则正确命题的序号为①②④ 故选D
【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解．
二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分.请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上.)
9.
函数()f x =________． 【答案】[2，+∞） 【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为
[2,)+∞.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 10.计算112e
x dx x ⎛⎫⎰+ ⎪⎝⎭
【答案】2e 【解析】 【
分析】
先求出被积函数2x 1
x +
的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可． 【详解】解：1
e
⎰
（2x 1
x
+
）dx ＝（x 2+lnx ） 1|e
＝e 2
+lne ﹣1﹣ln 1 ＝e 2
故答案为e 2
【点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．
11.如图，点P 是函数y ＝2sin （ωx +φ）（x ∈R ，ω＞0）图象的一个最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若△MPN 为直角三角形，则ω＝_____．
【答案】
4
π 【解析】 【分析】
结合题意得到||4MN =,所以周期8T =,再根据周期公式可得答案. 【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN 的高为2， ∵△MPN
直角三角形，∴根据对称性知△MPN 为等腰直角三角形，即MN ＝4，
即三角函数的周期T ＝8，由T 2π
ω
=
=8，得ω284
ππ=
=， 故答案为:
4
π
. 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到||4MN =,是答题的关键,属于基础题.
12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinC ＝2sinA ，b 2﹣a 21
2
=
ac ，则sinB 等于_____．
7【解析】 【分析】
由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ，再由b 2﹣a 2
1
2
=
ac 得b 2=,然后由余弦定理可
求得cos B ,根据同角公式可得sin B .
【详解】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ， 又b 2﹣a 212=
ac ，得b 2﹣a 21
2
=a ×2a ＝a 2， 即b 2＝2a 2，则b 2=，
由余弦定理得cosB 222222224233
22244
a c
b a a a a a
c a a a +-+-====⋅，
因为0B π<<,所以sinB 23977
1()1416164
=-=-
==
， 故答案为:
7
4
. 【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,同角公式,属于基础题.
13.已知函数()1
22,0,20
x x c f x x x x ⎧⎪≤≤=⎨⎪+-≤<⎩，
其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是，则c 的取值范围是
________．
【答案】 (1). －1和0 (2). (0,4] 【解析】 【分析】
根据分段函数的
概念，分x 为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f （x ）的零点．
根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[-2，0）时，函数f （x ）的值域恰好是[−14
，2]，所以当0≤x≤c 时，f （x ）=1
2x 的最大值小于等于2，即可解出实数c 的取值范围. 【详解】当x≥0时，令1
2x =0，得x=0；
当x ＜0时，令x 2+x=0，得x=-1或x=0（舍去） ∴f（x ）的零点是-1和0
∵函数y=x 2
+x=2
1124x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭ ，在区间[-2，-12）上是减函数，在区间（-12，0）上是增
函数
∴当x∈[-2，0）时，函数f （x ）最小值为f （-1
2）=-14
，最大值是f （-2）=2 ∵当0≤x≤c 时，f （x ）=1
2x 是增函数且值域为[0c ] ∵f （x ）的值域是[−1
4
，2]c ≤2，即0＜c≤4
【点睛】函数的零点是实数，是方程f （x ）=0的根，若能直接解方程求解，解方程即可；若不方便解方程，可通过图象法，函数的零点也是函数y=f （x ）与x 轴的交点的横坐标.分
段函数的值域，是每个分段区间内对应的函数的值域的并集.
14.设集合 {}n P 1,2,,n =L ，*n N ∈．记 ()f n 为同时满足下列条件的集合 A 的个数：① n A P ⊆； ②若 x A ∈，则 2x A ∉；③若 n P x A ∈ð，则 n P 2x A ∉ð． 则（1） ()f 4=_____________；
（2） ()f n 的解析式（用 n 表示）()f n =_____________．
【答案】 (1). 4 (2). ()n
2n 122,
n ,f n 2,n .+⎧⎪=⎨⎪⎩
为偶数为奇数
【解析】
（1）当4n =时，{
}41,2,3,4P =，符合条件的集合A 为{}{}{}{}2,1,4,2,3,1,3,4， 所以()44f =．
（2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2L ，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，
于是2k x m =⋅，其中m 为奇数，k N +∈．由条件知，
若m A ∈，则m A k ∈⇔为偶数；
若m A Ï，则m A k ∈⇔为奇数． 于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．
设n Q 是n P 中所有奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集个数． 当n 为偶数（或奇数）时，n P 中奇数的个数是
2n
（或12
n +）， 所以()2122,2,n
n n f x n 为偶数
为奇数+⎧⎪=⎨⎪⎩
.
点睛：本题主要考查了有关集合的创新性试题和函数的解析式的求解问题，其中解答中涉及到元素与集合的关系，求解函数的解析式，以及集合之间的包含关系等知识点的综合考查，试题比较新颖，具有一定的创新性，解答是需要认真审题，仔细作答，有一定的难度，属于难题.
三、解答题（本大题共6道小题，共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上.) 15.在ABC V 中，AC=6，4cos .54
B C π
==， （1）求AB 的长； （2）求()6
cos A π
-
的值.
【答案】（1）52（2）72620
- 【解析】
试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ，再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6
A π
-
试题解析：解（1）因为4cos B=
5，0B π<<，所以2243
sin 1cos 1(),55
B B =-=-= 由正弦定理知
sin sin AC AB B C =，所以2
6sin 25 2.3
sin 5
AC C
AB B
⨯⋅===
（2）在ABC V 中，A B C π++=，所以，
于是cos cos()cos()cos cos
sin sin
,4
4
4
A B C B B B π
π
π
=-+=-+
=-+
又4
3cos ,sin ,55
B B ==故42322
cos 525210
A =-
⨯+⨯=-
因为0A π<<，所以272
sin 1cos 10A A =-=
因此23721726cos()cos cos
sin sin
6
6
6
10102A A A π
π
π
--
=+=-
+= 【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，
善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等. 【此处有视频，请去附件查看】 16.
有时可用函数
0.115ln ,(6)
(){ 4.4
,(6)4
a
x a x
f x x x x +≤-=->-
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x ∈N ），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.
（1） 证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；
（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],
(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
【答案】（1）见解析（2）乙科 【解析】
【详解】⑴中，要证明掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降，只需利用函数的单调性证明(1)()f x f x +-单调递减即可；⑵中，根据题意，()60.85f =建立方程求a 的估计值，结合给出的范围，进行判断. ⑴证明：当7x ≥时，()()0.4
1(3)(4)
f x f x x x +-=
--，(3)(4)0x x -->，
函数(3)(4)y x x =--单调递增，故()()1f x f x +-单调递减， 所以当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降. ⑵解：由题意知0.115ln
0.85,6a a +=-整理可得0.05,6
a
e a =-
所以(]0.05
0.05620.506123.0,123.0121,127.1
e a e =⋅≈⨯=∈-由此可知，该学科为乙科.
【此处有视频，请去附件查看】
17.已知函数f （x ）＝cos （2x 23π+
）+2sin （4x π-）sin （4
π
+x ）． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的对称轴方程，并求函数f （x ）在区间[12
π
-，
2
π
]上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ； （Ⅱ）最小值为﹣1，最大值为2
． 【解析】
【详解】（Ⅰ）f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π
-）sin （4
π+x ） ＝cos 2xcos
23π-sin 2xsin 23π
+2cos （4π+x ）sin （4
π+x ） 1
2=-cos 2x sin 2x +sin （2
π+2x ）12=-cos 2x sin 2x +cos 2x
1
2=cos 2x sin 2x ＝cos （2x 3
π+）， 由2k π﹣π≤2x 3
π
+
≤2k π，k ∈Z 得k π23π
-
≤x ≤k π6
π-，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为[kπ23π-，kπ6
π
-]，k ∈Z ． （Ⅱ）由2x 3π+=kπ得x 26k ππ=
-，即函数的对称轴方程为x 26
k ππ
=-，k ∈Z ， 当122x ππ-≤≤时，6
π-≤2x ≤π，6π≤2x 433ππ
+≤， 所以当2x 3π+=π,即3
x π
=时，函数f （x ）取得最小值，最小值为f （x ）＝cosπ＝﹣1，
当2x 3
6
π
π
+
=
,即12
x π
=-
时，函数f （x ）取得最大值，最大值为f （x ）＝cos
6
π
=
． 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式,诱导公式,函数的单调区间,对称轴,最大最小值,属于中档题.
18.设函数f （x ）＝x ﹣x 2+3lnx ．
（Ⅰ）求函数f （x ）的极值；
（Ⅱ）证明：曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)． 【答案】（Ⅰ）极大值3ln 33
24
-；无极小值； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;
（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2
﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），转化为证明()0g x ≤,利用导
数求得最大值即可证明结论.
【详解】（Ⅰ）f （x ）的定义域是（0，+∞），f ′（x ）＝1﹣
2x ()()2231323x x x x x x x
--+-+++==
， 令f ′（x ）＞0，解得：0＜x 3
2＜，令f ′（x ）＜0，解得：x 32
＞
， 故f （x ）在（0，
32）递增，在（3
2，+∞）递减， 故f （x ）极大值＝f （32）3924=-+3ln 32=3ln 33
24
-；无极小值；
（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），
g ′（x ）＝﹣2x ﹣1()()2223132323
x x x x x x x x x x
+---++-+==-=-
， 令g ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1，令g ′（x ）＜0，解得：x ＞1， 故g （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 故g （x ）max ＝g （1）＝﹣1﹣1+2+3ln 1＝0，
故曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)．
【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值,等价转化思想,易错警示:忽视函数的定义域,本题属于中档题.
19.已知函数2(),()()x
f x x ax b
g x e cx d =++=+.若曲线()y f x =和曲线()
y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.
（Ⅰ）求a b c d ,,,
的值;
（Ⅱ）若2x ≥-时,()()f x kg x ≤,求k
的
取值范围.
【答案】（I ）4,2,2,2a b c d ====；（II ）2
[1,e ].
【解析】
试题分析：（1）先求导,根据题意()()02,02f g ==,由导数的几何意义可知
()()'04,'04f g ==,从而可求得a b c d ,,,的值．（2） 由（1）知，()()()242,21x f x x x g x e x =++=+,令()()()F x kg x f x =-,即证2x ≥-时
()0F x ≥．先将函数()()()F x kg x f x =-求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据
函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．
试题解析：（1）由已知得()()02,02f g ==，()()'04,'04f g == 而()()()'2,'x
f x x a
g x e
cx d c =+=++，
4,2,2,2a b c d ∴====（4分）
（2）由（1）知，()()()2
42,21x
f x x x
g x e
x =++=+，
设函数()()()()()22142,2x
F x kg x f x ke
x x x x =-=+---≥-，
()()()()
'2224221x x F x ke x x x ke =+--=+-．
由题设可得()00F ≥，即1k ≥，
令()'0F x =得12ln ,2x k x =-=-, ．．（6分） ①若21k e ≤<，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，
()'0F x <，当()1,x x ∈+∞时，()'0F x >，即F （x ）在()12,x x ∈-单调递减，在()
1,x +∞单调递增，故()F x 在1x x =取最小值()1F x ， 而()()2
111111224220F x x x x x x =+---=-+≥．
∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ．（8分） ②若2k e =，则()()()2
2'22x F x e
x e e =+-，
∴当2x ≥-时，()'0F x ≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增，
而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立， ③若2k e >，则()()
2
2222220F ke
e k e ---=-+=--<，
∴当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立． ．（10分）
综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．
（12分） 考点：用导数研究函数的性质． 【此处有视频，请去附件查看】
20.对于集合M ，定义函数()1,1,.x M
M f x x M -∈⎧=∉⎨⎩
对于两个集合M ，N ，定义集合
()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-V 已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}．
(Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B V ；
(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +V V 的最
小值；
(Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =V V V V ？
【答案】(1)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =，(2)4，（3）128 【解析】
试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X , ①a C ∈且a X ∉,则{}()
()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;②若a C ∉且a X ∉,则
{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出
()()ΔΔCard X A Card X B +的最小值．（Ⅲ）由P ，Q ⊆A ∪B ，且（P △A ）△（Q △B ）=A △B
求出集合P ，Q 所满足的条件，进而确定集合对（P ，Q ）的个数． 试题解析：
(Ⅰ)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =. (Ⅱ)根据题意可知：对于集合,C X ,
①a C ∈且a X ∉,则{}()
()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-; ②若a C ∉且a X ∉,则{}()
()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.
所以要使()()ΔΔCard X A Card X B +的值最小,2,4,8一定属于集合X ;1,6,10,16是否属于X 不影响()()ΔΔCard X A Card X B +的值;集合X 不能含有A B ⋃之外的元素. 所以当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,()()ΔΔCard X A Card X B +取到最小值4.
(Ⅲ)因为()(){|1
}A B A B x f x f x ∆=⋅=-, 所以ΔΔA B B A =.
由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅.
所以对任意元素x ,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅,
()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅.
所以()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =. 所以()()ΔΔΔΔA B C A B C =.
由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =知：()()ΔΔΔΔP Q A B A B =. 所以()()()()()ΔΔΔΔΔΔΔΔP Q A B A B A B A B =. 所以ΔΔP Q ∅=∅. 所以ΔP Q =∅,即P Q =. 因为,P Q A B ⊆⋃,
所以满足题意的集合对(),P Q 的个数为72128=.
点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,C X ,若a C ∈且a X ∉,则{}()
()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;若a C ∉且a X ∉,则
{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+，由此可得结论；(3)由题意易得ΔΔA B B A =，
由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅，易知()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =，由
()()ΔΔΔΔP A Q B A B =可得()()ΔΔΔΔP Q A B A B =，则结论易得.。