高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系课堂探究新人教B版必修2

2.3.3 直线与圆的位置关系
课堂探究
探究一 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判断方法：
(1)(几何法)由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断； (2)(代数法)根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；
(3)(直线系法)若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
【典型例题1】 (1)已知圆C ：x 2
＋y 2
－4x ＝0，l 是过点P(3,0)的直线，则( ) A.l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 解析：(方法一)圆C 的方程是(x －2)2
＋y 2
＝4，所以点P 到圆心C(2,0)的距离是d ＝1＜2，所以点P 在圆C 内部，所以直线l 与圆C 相交．
(方法二)将点P 的坐标代入圆的方程，得32
＋02
－4×3＝9－12＝－3＜0，所以点P(3,0)在圆内，所以过点P 的直线l 与圆C 相交．
答案：A
(2)已知动直线l ：y ＝kx ＋5和圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝1，则当k 为何值时，直线l 与圆C 相离？相切？相交？
解：(方法一)(代数法)
联立得方程组22
5,(1)1,y kx x y =+⎧⎨-+=⎩
得(k 2
＋1)x 2
＋(10k －2)x ＋25＝0，
则Δ＝(10k －2)2
－4(k 2
＋1)·25＝－40k －96， 所以当直线l 与圆C 相离时，－40k －96＜0，即k>－
12
5
； 当直线l 与圆C 相切时，－40k －96＝0，即k ＝－
125
； 当直线l 与圆C 相交时，－40k －96>0，即k ＜－125
. (方法二)(几何法)
圆C ：(x －1)2＋y 2
＝1的圆心为C(1,0)，半径r ＝1. 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则d
.
当d>r
>1时，k>－
12
5
，此时直线l与圆C相离．
当d＝r
＝1时，k＝－
12
5
，此时直线l与圆C相切．
当d＜r
＜1时，k＜－
12
5
，此时直线l与圆C相交．
探究二弦长问题
1．直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理．
2．若用代数法求弦长，请参考基础知识自主梳理中“3”．
【典型例题2】求直线y＝x被圆(x－2)2＋(y－4)2＝10所截得的弦长．
思路分析：求直线被圆所截得的弦长的方法：一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形，二是用弦长公式．
解法一：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d
于是，弦长为
解法二：联立方程y＝x与(x－2)2＋(y－4)2＝10，
得x2－6x＋5＝0.①
设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程①的两个根，于是由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，x1x2＝5，
则|AB|
探究三圆的切线问题
求过圆外一点的圆的切线的三种常用方法：
(1)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率；
(2)设切点坐标，利用切线的性质解出切点坐标，由直线方程的两点式写出直线方程；
(3)设切线斜率，利用判别式等于零，解出斜率．
对第(1)和(3)两种方法应用时务必注意切线斜率不存在的情形．
【典型例题3】已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝__________.
解析：由题意，得圆心C(1,0)，半径r＝1，
＝1，解得m＝8或－18.
答案：8或－18
探究四 与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题，可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置，再进行计算．有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心，有时注意考虑表达式中字母的几何意义，如两点间距离公式、斜率公式、在y 轴上的截距等．
【典型例题4】 已知实数x ，y 满足y ，求m ＝1
3
y x ++及b ＝2x ＋y 的取值范围．
思路分析：y 可化为x 2
＋y 2
＝3(y≥0)，即以(0,0)为圆心，m ＝
13y x ++＝(1)
(3)
y x ----，可看作半圆上的点与点(－3，－1)连线的斜率；b 可看作与半圆相交的直线2x ＋y －b ＝0在y 轴上的截距．
解：y m ＝1
3
y x ++表示过点(－3，－1)和(x ，y)的直线的斜率，如图(1)所示．
图(1) 图(2)
可知k AB ≤m≤k AC .
所以k AB
＝36-.
因为AC 与半圆x 2
＋y 2
＝3(y≥0)相切，
所以k AC ＝
36
+.
所以m 的取值范围是3366⎡⎢⎣⎦
. 由b ＝2x ＋y ，知b 表示直线2x ＋y －b ＝0在y 轴上的截距，如图(2)所示． 可知直线b ＝2x ＋y 一定位于两直线l 1与l 2之间．
由直线l 2与半圆相切，得b l 1过D(0)，得b ＝－
故b 的取值范围是[－．
点评 本题解决的关键是理解m 和b 的几何意义，同时要借助分界线探求参数的取值范
围．
探究五易错辨析
易错点：因忽视斜率不存在的情况而致误
【典型例题5】若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
错解：设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.
因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，
＝1，所以k＝12
5
.
所以直线l的方程为12x－5y－9＝0.
错因分析：忘记讨论斜率不存在的情况．
正解：(1)若直线l的斜率存在，
设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0. 因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，
＝1，所以k＝12
5
.
所以直线l的方程为12x－5y－9＝0.
(2)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.。