影响线的应用

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1
§9-7 影响线的应用
9 利用影响线求固定荷载作用下的某
量值大小
9 确定移动荷载的最不利位置


利用影响线计算量值
绘制影响线时,考虑的是单位荷载FP=1 的作用。

当若干具体荷载作用于结构时,可根据叠 加原理,利用影响线计算出该内力所受的总影 响,即产生的该内力总值称之为影响量。


2


(1)一组集中荷载作用下的影响
FP1 FP2 FP3 FPn
3
y1
y2 y3 yn
S影响线
由FP1产生的S 值等于 FP1 ⋅ y1 由FP2产生的S 值等于 FP2 ⋅ y2 FP1、FP2、…、FPn共同作用下S 的数值为:
S = FP1 ⋅ y1 + FP 2 ⋅ y2 + FP 3 ⋅ y3 L FPn ⋅ yn


简化计算
当若干个荷载作用在影响线某一段直线的 范围内时,可用它们的合力来代替。


FR F FP1 FP2 FP i Pn
4
α
y1 xi
y2
y yi
yn
S影响线
S = FP1 ⋅ y1 + FP 2 ⋅ y2 + FP 3 ⋅ y3 Λ FP n ⋅ yn
= ∑ FP i ⋅ yi = ∑ FP i ( xi ⋅ tgR α ) = tg α ∑ FP i xi
S=F ⋅y


(2)均布荷载作用下的影响
q a x qdx b dx y S影响线
5
在均布荷载作用段上,将微段dx上的荷载qdx看 作一个集中荷载,则它引起的S 的量值为qdx · y。

在ab段均布荷载产生的S 的值为:
b b b
S = qA
a a
S =
∫ qdx ⋅ y = q ∫ y ⋅ dx = q ∫ dA = qA
a


6
工程中常见的荷载有集中荷载和均布荷载
FP1 FP2 q FP3
yi 和 A 是代数量
y3
⊕ y2
\
n
A \ y 1
m
由叠加原理
S = ∑ FP i yi + ∑ q j A j
i =1 j =1


例:利用影响线求图示梁K截面的弯矩
100kN
7
K
100kN 50kN/m
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓
30kN/m
30kN.m
6m
3m 3m 3m 4 6 5 4
6m A1 2
6m A2
3m A3 1
I.L.MK (m)
MK=P1y1+ P2y2 +q1A1+q2(A2- A3)+mtgθ
=100×4+100×5+50 × 18+30× 6-30 × 1.5 -30×1/3 =1925kN.m


中—活载(普通活载)
8
车头
煤水车
车箱


中—活载(普通活载)
9
使用中一活载时,可由图式中任意截取,但不得 变更轴距。

列车可由左端或右端进入桥梁。

图示为一个车道(一线)上的荷载,如果桥梁是单 线且有两片主梁,则每片主梁承受图示荷载的一半。




中—活载(特种活载)
10
特种活载虽轴重较大但轴数较少,故其仅对短跨度 梁(约7m以下)控制设计。


„


11
汽车活载
轮重
12
汽车活载的计算简图
轮重
13
汽车活载
各车辆之间的距离可任意变更但不得小于图示距离。

每个车队中,重车只有一辆,主车数目不限。

§9-9确定移动荷载最不利荷载位置
在结构设计中,我们需要求出某量值的最大值作为设计的依据,而要解决这个问题须先确定使其发生最大值的最不利位置。

(1)单个集中荷载
S= F
P
y
当y y
max
时荷载所处的位置即最不利荷载位置。

F
P

l
ab
I.L.M C y
S max = F
P
y
max
y
max
16
(2) 均布荷载S = qA

l
ab
I.L.M C
A q
k 当A A max 时荷载所处的位置即最不利荷载位置。

求最大正号值S max 时,应
在影响线正号部分布满荷载。

S max =qA max
S min =qA min
求最大负号值S min 时,应在影响线负号部分布满荷载。

S 影响线
max max S
qA
=k


17
例: 确定图示连续梁在可动均布荷载作用下M k 的最不利荷载分布。

使M k 发生最大值的荷载分布使M k 发生最小值的荷载分布
k
M k 影响线
18
(3)一组行列荷载(间距不变的行进荷载)

2
y 1
y 直观:F P1>F P2,要使S 达最大,应把较大的荷载放在影响线顶点.
k
F P1
F P2
r
S max =∑F P i y i max
19当荷载较多时,直观不宜
判断荷载最不利位置,可采
用临界荷载位置应满足的条
件确定
取得极值时的荷载位置;
极值荷载位置;
不利荷载位置;
20
荷载移动时S 的增量
S 影响线
x
1
α2
α3
αF R1
F R2
F R3
Δx
Δx
Δx
R i i
i S F y ==⋅∑3
1
R =⋅∑i i
ΔS F Δy i
y i
i y Δy +i
i x y αΔΔtan ⋅=∑⋅=i
i F x S αΔΔtan R 确定临界荷载位置的方法
'
R ()
i i i i S F y y ==⋅+Δ∑3
1
21
荷载的临界位置应满足的条件:
荷载自临界位置向左移动或向右移动时,S 量值均减少或等于零,即S 的增量应满足
≤S Δ∑⋅Δ=Δi
i F x S αtan R 使S 达S max 值时荷载的临界位置应满足的条件为:
R ≤⋅∑i i F x αΔtan
22
荷载的临界位置的判别式
该条件可以分为两种情况:
⎭⎬⎫
≥⋅<≤⋅>∑∑0 0 R R i i i i
F
F ααtan
,
)(tan ,)(0Δx 0Δx 当荷载向左移时当荷载向右移时上式说明:如果S 为极值,荷载稍向左、右移动
时,必须变号。

tan ⋅∑Ri i F α在什么情况下
才有可能变号???
tan ⋅∑Ri
i F
αS 达S max 值时荷载的临界位置的判别式。

23
改变的符号
为使整个荷载稍向左、右移动时,合力F R i 改变数值,则在临界位置中必须有一个集中荷载正好作用在影响线顶点上。

当整个荷载稍向左移,此集中荷载移到左段;当整个荷载稍向右移,此集中荷载移到右段。

∑⋅i i R αF tan 荷载移动时,各段的
合力F R i 改变
24
临界荷载临界位置
S 影响线
1
α2
α3
αF Pcr
Δx >0
tan ≤∑i i
F αR 0
Δx <0
tan ≥∑i i
F
αR 临界荷载
此时的荷载位置为临界位置
25
右移:
R ≤⋅∑i i
F
αtan 左移:
R ≥⋅∑i i
F
αtan F cr
k
F cr
k
荷载的临界位置的判别式
此时的荷载位置为临界位置
26通过判别式可以找到几个临界位置,进而
可求量值的几个极大值,取其最大者所对
应的行列荷载位置即最不利荷载位置。

根据经验:
行列荷载中数值较大且分布较密的部
分置于影响线最大竖值附近;
位于同号影响线范围内的荷载应尽可
能多才最容易产生S 最大值。

求中-活载截面K最大弯矩
27
(1)左行的情况:
D
右移:
59244083
4408122085R <×+×−×+×=⋅∑)(tan i i F α左移:
59222083
6608122085R <×+×−×+×=⋅∑)(tan i i F α未变号,说明轮4在D 点处不是
临界位置。

∑⋅i
i
R αF
tan 由左移时
<0可知,荷载将继续左移。

∑⋅i i
R αF
tan F P4
D
F P4
D
C
右移:
692220836608122085
R <×+×−×+×=⋅∑)(tan i i F α左移:
69222083
4408144085R >×+×−×+×=⋅∑)(tan i i F α变号,故轮2在C 点为一临界位置。

∑⋅i i
R αF
tan A =+∑K Pi i
M q F y m
kN 3357⋅=125
.16928125.22206875.26605625.1220××+×+×+×=F P2
C
F P2
C
(2)再考虑列车向右开行情况:
31
32
将轮4置于D 点试算
左移:
660834401928149285
R >×−+××+××=⋅∑)()(tan i i F α右移:
8808322019281
49285R <×−+××+××=⋅∑)()(tan i i F α变号,故轮4在D 点为一临界位置。

∑⋅i i
R αF
tan A =+∑K Pi i
M q F y 875
.166032208125.22205625.292)2
5.24(92×+×+×+×+××=m
kN 3212⋅=F P4
D
F P4
D
33
(3)比较
比较可知,列车由右向左开行时将轮2置于C 点时的荷载位置为最不利荷载位置。

截面K 的最大弯矩值为:
m
kN 3357max ⋅=K M
S 影响线α
β
F Pcr
a
b
c
L R
F
R R
F
当荷载向右移时
R R
P L R ≤+−βαtan )(tan F F F cr 当荷载向左移时
≤⋅∑0R i i
F αtan ⎭⎬≥⋅∑0R i i F αtan 0
R R
P L R
≥−+βαtan tan )(F F F cr a c =αtan b c =
βtan 三角形影响线临界位置的判别式:
⎪⎪⎭
⎬≥
+b F
a
F F cr
R R
P L R
将F Pcr 计入哪一边(左边或右边),则哪一边的荷载平均集度要大。

F Pcr
F Pcr
⎪⎪⎬⎫+≤b
F F a F
cr R R
P L
R
S 影响线
α
β
a
b
c
L R
F
R R
F
q
0R R L R
R =−=⋅∑b
c F a c F F
i
i
αtan b
F
a F R
R
L R
=该式表明:均布荷载跨过三角形影响线顶点时,左、右两边的平均荷载应相等。

36
直角三角形影响线
当荷载较简单时,一般可由直观判定。

当荷载较复杂时,可按前述估计最不利荷载位置的原则,布置几种荷载位置,直接算出相应的S 值,而选取其中最大者。

37
多边形I.L
S 影响线
1
α2
α3
α2
2+
+
2
S 影响线
多边形I.L??
38
最不利荷载分析步骤:
1、由临界荷载判别式确定哪些荷载是临界荷载;
2、计算荷载位于各临界位置时的量值;
3、比较得到的量值,取得最大值;
4、最大值发生时的临界位置即是最不利荷载位置。

39
15m
25m
C
70kN 1305010050
1004m 5m 4m
15m 4m
25
200
151********>
+25200
130+<M C =70×6.88+130×9.38+50×7.50
+100×6.00+50×0.38=2694kN.m
9.38
6.88
7.50
6.00
0.38
M C 影响线(m)
例求C 截面的最大弯矩
(汽-15级)
∴130kN 是临界荷载
40
100kN
5013070100
50
4m 5m 4m 15m 4m
25
220
13015150>
15150+25220
130+<15m
25m
C
M C 影响线(m)
9.386.25
7.88
0.75
3.75
2.25
M C =100×3.75+50×6.25+130×9.38
+70×7.88+100×2.25 +50 ×0.75=2720kN.m M cmax =2720kN.m
∴130kN 是临界荷载
(2)在中—活载作用下
41
M
影响线(m)
C
9.38
中—活载是前面重后面轻,故最不利位置必然发生在列车向左开行的情况
42
列车向左开行,将第5 轮置于顶点
F P5
25
5
.2392220152204×+<×F P5
25
5
.2392152205×<×可见这不是临界位置,且将第5轮算入左边
时,左边的平均荷载尚比右边的小,故荷载应继续左移。

43
设均布荷载左端跨过顶点x
x
设均布荷载左端跨过顶点x 时为临界位置,有
m
04.3 9215
922205==+×x x
92
38.915
46
.72205max +×××=C M m
kN 18280]22538.9)38.915
96.1138.9(204.3[⋅=×+×+××15
46.7
44问题
前面讨论的是求某量最大值,如何求
最小值(绝对值最大的负值)?
若荷载可以掉头,如何处理?
45
求图示简支梁C 截面剪力的最大值和最小值。

荷载运行方向不变。

C
例题
6m
2m A
B
3/4
F Q C 影响线
1/4

本题特点是量值S 的影响线为直角三角形,竖标有突变,不能用前述方法给予判断。

10kN
1m
20kN
3/4
F Q C 影响线
1/4

1
Q max
335
102020kN
446C F
=×+××=1
Q min
135
10()2010kN
446
C F
=×−+××=10kN
1m
20kN
3/4
F Q C 影响线
1/4

10kN
1m
20kN
2
Q max
31
201013.75kN
48C F
=×+×−=()2Q min
11
1020 6.25kN
84
C F =×−+×−=−()()Q max max 20,13.7520kN
C F ==()Q min min 10, 6.25 6.25kN
C F =−=−()。

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