2019届北京市西城区高三4月统一测试(一模)数学(文)试题(解析版)

2019届北京市西城区高三4月统一测试（一模）数学（文）
试题
一、单选题
1．设全集，集合，，则集合( ) A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据集合补集与交集定义求结果.
【详解】
，所以，
故选：B
【点睛】
本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题.
2．若复数，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】先根据复数除法法则得代数形式，再根据复数几何意义得结果.
【详解】
＝，对应的点为（），在第四象限
故选：D
【点睛】
本题考查复数除法法则以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.
3．下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．
【详解】
（A）的值域不是R，是［－1，＋∞），所以，排除；
（B）的值域是（0，＋∞），排除；
（D）＝，在（0，）上递减，在（，＋∞）上递增，不符；
只有（C）符合题意.故选C.
【点睛】
本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．4．执行如图所示的程序框图，则输出的k值为( )
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【解析】根据条件执行循环，输出结果.
【详解】
第1步：S＝－3，k＝3；第2步：S＝－，k＝5；第3步：S＝，k＝7；
第4步：S＝2，k＝9，退出循环，此时，k＝9
故选：D
【点睛】
本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基本题.
5．在△中，已知，，，则c＝( )
A．4 B．3 C．D．
【答案】C
【解析】由三角形的内角和定理，诱导公式可求sin C的值，根据正弦定理即可解得c 的值．
【详解】
∵a＝2，，，
∴sin C＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），
∴由正弦定理，可得：c．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，诱导公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6．设均为正数，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据不等式性质化简不等式，再判断充要关系.
【详解】
由，为正数，得：，即，
即，所以，有，即充分性成立，
反过来，当时，有，化简，得：，必要性成立，
所以，“”是“”的充要条件，
故选：C
【点睛】
本题考查不等式性质以及充要关系，考查基本分析论证能力，属基本题.
7．如图，阴影表示的平面区域是由曲线，所围成的. 若点在
内（含边界），则的最大值和最小值分别为( )
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【解析】根据目标函数表示直线，结合图象确定可行域，确定最优解，即得结果.
【详解】
目标函数化为：，画出的图象，并平移，如图，
当平移到与圆相切时，目标函数在y轴上的截距最大，由圆心O到直线距离d＝，得z的最大值为,
当平移到直线与圆的交点B时，目标函数在y轴上的截距最小，由，得B 点坐标为（－1，－1），所以，z的最小值为－7，
故选：A
【点睛】
本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基本题.
8．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线
围成的平面区域的直径为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】化简曲线方程，在平面直角坐标系中画出图形，利用新定义判断求解即可．【详解】
等价于，如图：
由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大：4，
那么曲线|y|＝2﹣x2围成的平面区域的直径为：4．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，曲线的图形的画法，考查数形结合以及计算能力．
二、填空题
9．设向量，满足||＝2，||＝3，，60°，则•（）____．【答案】7
【解析】利用已知条件，通过向量的数量积化简求解即可．
【详解】
向量，满足||＝2，||＝3，，60°，则•（）
4+27．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．
10．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．
【答案】3
【解析】根据双曲线几何条件列方程解得离心率.
【详解】
依题意，得：2a＝c－a，即a＝，所以，离心率
故答案为：3
本题考查双曲线离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．能说明“在△中，若，则”为假命题的一组，的值是____．【答案】答案不唯一，如，
【解析】取A＝60°，B＝30°代入检验可得．
【详解】
当A＝60°，B＝30°时，sin2A＝sin120°，sin2B＝sin60°，此时
，但A与B不相等，故答案为：A＝60°，B＝30°．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断与应用，涉及到特殊角的三角函数值，属于基础题．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．
【答案】
【解析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.
【详解】
由三视图知该几何体如图，V＝＝
故答案为：
本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．设函数当时，____；如果对于任意的
都有，那么实数b的取值范围是____．
【答案】
【解析】由分段函数解方程可得a的值；由对数函数和一次函数的单调性，可得f（x）的值域，由不等式恒成立思想可得b的范围．
【详解】
若a≥－1，则有，解得：a＝，不符；
若a＜－1，则有－2a－4＝－1，解得：＜－1，符合题意，
所以，；
画出函数的图象，由图可知f（x）的值域为（﹣2，+∞），
对于任意的x∈R都有f（x）≥b，
则有，所以，
故答案为：，（﹣∞，﹣2]．
【点睛】
本题考查分段函数的运用：求自变量和值域，考查不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于基础题．
14．团体购买公园门票，票价如下表：
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.
【答案】7040
【解析】根据990不能被13整除，得两个部门人数之和：a+b≥51，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组进行求解即可．
【详解】
∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，
（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①
由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②
解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．
（2）若a+b≥100，则9 （a+b）＝990，得a+b＝110 ③
由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，
得11a+13b＝1290 ④，
解③④得：a＝70人，b＝40人，
故答案为：70，40．
【点睛】
本题主要考查函数的应用问题，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力．
三、解答题
15．已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值,最小值．
【解析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再根据三角函数的周期性得出结论．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最小值和最大值．
【详解】
（Ⅰ）
=
，
所以函数的最小正周期.
（Ⅱ）因为，所以．
所以当，即时，取得最大值.
当，即时，取得最小值．
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
16．已知数列的前项和，其中.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若（）为等比数列的前三项，求数列的通项公式.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当n＝1时，S1＝a1＝4，当n≥2时，由题意，得S n＝n（n+1）+2，S n﹣1＝（n﹣1）n+2，相减即可得出．
（Ⅱ）由题意，得．利用通项公式可得k，进而得出公比q，利用通项公式即可得出．
【详解】
（Ⅰ）当时，，
当时，由题意，得，，，
由，得，其中
所以数列的通项公式
（Ⅱ）由题意，得.
即.
解得（舍）或.
所以公比.
所以.
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”
活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.
（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；
（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为. 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为，试比较，的大小.（结论不要求证明）
（注：，其中为数据的平均数）
【答案】（Ⅰ）或. （Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）分别求出甲组10名学生阅读量的平均值和乙组10名学生阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．
（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M．甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为A1，A2；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为B1，B2，B3．从所有的“阅读达人”里任取2人，利用列举法能求出从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率．
（Ⅲ）由茎叶图直接得．
【详解】
（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为
，
乙组10名学生阅读量的平均值为
.
由题意，得，即.
故图中a的取值为或.
（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M.
由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为，；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为，，.
则从所有的“阅读达人”里任取2人，所有可能结果有10种，即，，
，，，，，，，.
而事件M的结果有7种，它们是，，，，，，
所以.
即从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率为.
（Ⅲ）由茎叶图直接观察可得.
【点睛】
本题考查平均数、概率、方差的求法，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，
，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？并说明理由．
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析
【解析】（I）由AD⊥DE，AD⊥CD可得AD⊥平面CDE，故而AD⊥CE；
（II）证明平面ABF∥平面CDE，故而BF∥平面CDE；
（III）取CE的中点P，BE的中点Q，证明CE⊥平面ADPQ即可得出平面ADQ⊥平面BCE．【详解】
（Ⅰ）由底面为矩形，知.
又因为，，
所以平面.
又因为平面，
所以.
（Ⅱ）由底面为矩形，知，
又因为平面，平面，
所以平面.
同理平面，
又因为，
所以平面平面.
又因为平面，
所以平面.
（Ⅲ）结论：线段上存在点（即的中点），使得平面平面.
证明如下：
取的中点，的中点，连接，则.
由，得.
所以四点共面.
由（Ⅰ），知平面，
所以，故.
在△中，由，可得.
又因为，
所以平面.
又因为平面
所以平面平面（即平面平面）.
即线段上存在点（即中点），使得平面平面
【点睛】
本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质定理的应用，线面平行的判定，熟练运用定理是解题的关键，属于中档题．
19．设函数，其中．
（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或
【解析】（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，
，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）由函数是偶函数，得，
即对于任意实数都成立，
所以.
此时，则.
由，解得.
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在，上单调递减，在上单调递增.
所以有极小值，有极大值.
（Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.
对函数求导，得.
由，解得，.
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在，上单调递减，在上单调递增.
又因为，，，，
所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.
即当或时，函数在区间上有两个零点.
【点睛】
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
20．已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动
直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ），离心率（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）由题意可知：m＝1，可得椭圆方程，根据离心率公式即可求出
（Ⅱ）设直线CD的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理，由S ACBD＝S△ACB+S△ADB，换元，根据函数的单调性即可求得四边形ACBD面积的最大值．
（Ⅲ）点M在一条定直线上，且该直线的方程为x＝4
【详解】
（Ⅰ）由题意，得 , 解得.
所以椭圆方程为.
故，，.
所以椭圆的离心率.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，
代入椭圆的方程，得，，
又因为，，
所以四边形的面积.
当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立方程消去，得.
由题意，可知恒成立，则，
四边形的面积
，
设，则四边形的面积，，
所以.
综上，四边形面积的最大值为.
（Ⅲ）结论：点在一条定直线上，且该直线的方程为.
【点睛】
本题考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，函数性质的运用，计算量大，要求能力高，属于难题．。