连续小波与二进小波变换

第2章 连续小波与二进小波变换
信号处理的应用随处可见，当你用数码相机拍摄照片，当你听着MP3音乐，你有没有想过，正是信号处理技术使你轻松的获得娱乐。

信号处理的主要任务是将现有的信号处理技术进行总结和抽象，信号处理的任务是认识客观世界中存在的信号的本质特征，并找出规律。

从不同的角度去认识、分析信号有助于了解信号的本质特征。

信号的表示方式很多，时间形式和频率形式是最重要的两种形式。

时间形式是基于传感器采样得到的信号强度数据。

这种数据很直观。

除了时间以外，频率是一种表示信号特征最重要的方式。

频率的表示方法是建立在傅里叶分析（Fourier Analysis ）基础之上的，由于傅里叶分析是一种全局的变换，要么完全在时间域，要么完全在频率域，因此无法表述信号的时频局部性质，而时频局部性质恰好是非平稳信号最基本和最关键的性质。

为了分析和处理非平稳信号，在傅里叶分析理论基础上，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform ）、小波变换等。

短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，它选择一个时频局部化的窗函数。

短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg 不确定准则的限制，时频窗的面积有下界。

这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。

Gabor 变换是海森伯不确定准则下的最优的短时傅里叶变换。

高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时间分辨率与频率分辨率时的最优窗函数。

具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是Gabor 变换。

与短时傅里叶变换一样，Gabor 变换也是单一分辨率的。

小波变换使用小波基函数，时频窗面积不变，但形状可改变。

小波函数根据需要调整时间与频率分辨率，具有多分辨分析（Multiresolution Analysis ）的特点，克服了短时傅里叶变换分析非平稳信号单一分辨率的困难。

小波变换是一种时间-尺度分析方法，而且在时间、尺度（频率）两域都具有表征信号局部特征的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬间反常现象并展示其成分。

所以，小波变换被称为分析信号的显微镜。

小波变换不会“一叶障目，不见泰山”，又可以做到“管中窥豹，略见一斑”。

2.1 连续小波变换的定义
定义1 设)()(2
R L x f ∈，)(t ψ是基本小波或母小波函数，则
dx
a x x f a
a W R
f ⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
τψτ)(1
),( (2.1) 称为)(x f 的小波变换。

第1章 连续小波变换
·2· 式中0>a ，称为尺度因子，τ反映位移，其值可正可负。

上式还可以用内积的形式表示，><)(),(x g x f 的内积表示为
⎰>=<R
dx x g x f x g x f )()()(),(
则连续小波变换用内积表示为
>=<)(),(),(x x f a W a f τψτ
其中⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
a x a x a τψψτ1
)(是基本小波的位移和尺度伸缩。

(2.1)式中，x ，a 和τ均为连续变量，因此称为连续小波变换（continuous wavelets
transform ，CWT ）。

关于式(2.1)有以下几点补充说明 （1） 核函数
连续傅立叶变换和小波变换在变换形式上，都可以视为信号和和核函数的内积。

连续傅立叶变换的核函数为x
i e ω，基本小波()x ψ为小波变换的核函数。

小波变换的核函数的形式没有唯一确定，因此可以根据的应用需求选取不同的小波基，从而达到最佳的处理效果。

另外基本小波可以是实函数或者复函数，当基本小波是实函数时为实小波变换，当基本小波是复函数时就是复小波变换。

例如
21/4
2/2()(1)e x x x ψ--=
-（Mexhat 小波） x i T
x e e
x 02)(ωψ-
==x ie
x e
T
x T
x 00sin cos 22ωω-
-
+（Morlet 小波）
（2） 频率与尺度因子
小波作为时频分析工具，其将信号从时域变换到频域。

那么小波变换的频率是怎样表现的呢？
在连续小波变换中，尺度因子a 的作用是将基本小波)(x ψ作伸缩，可以直观的得到其
与频率是相关的。

a 愈大⎪⎭
⎫
⎝⎛a x ψ愈宽，相对于()x ψ，其信号频率降低了。

对于一个连续时间有限的小波)(x ψ与)(x a τψ关系如图
第1章 连续小波变换
·3·
2
小波函数的位移与伸缩
在不同尺度下，小波的持续时间随尺度因子a 的增大而增宽，幅度则与a 成反比减小，但波的波形形状保持不变。

（3） 内积与卷积
小波变换可以视为信号和小波核函数的内积，式（2.1）并不是卷积，由于
内积dx x x f x x f R
)()()(),(τψτψ->=
-<⎰
卷积
dx
x x f d x f d x f x x f R
R R
)()()()()()()()(-=-=-=*⎰⎰⎰τψττψττ
τψτψ
比较两式，如果()x ψτ-满足)]([)(x x --=-τψτψ，即如果)(x ψ是偶函数，则上面的积分计算结果没有差别。

从这一点出发，有些学者（Mallat ）直接按卷积来定义小波变换，他们所采用的定义是
dx a x x f a
a W R
f
⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=τψτ)(1),(*
如果)()(x x -=ψψ，则有
第1章 连续小波变换
·4· ),(1
),(*ττa W a a W f f =
（4） 尺度因子
)(x a τψ前加因子a 1
的目的是使不同a 值下)(x a τψ的能量保持相等，即基本小波的
能量为
⎰=R
dx x E 2
)(ψψ
而)(x a τψ得能量为
ψ
ψψψτE dx a x a dx a x a E R R
a =⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎰⎰
2
2
11
应该指出，目前小波函数的定义还不是唯一的，也就是说
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
a x a
x a τψψτ1)( 不是小波函数族的唯一定义，有些学者主张对小波函数采用如下定义
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=a x a x a τψψτ1)(
其优点是在不同尺度下，可以保持各)(x a τψ的频谱中幅频特征大小一致。

事实上
设)(x ψ的傅立叶变换是)(ˆωψ
，则)(1
x a ψ的傅立叶变换是 )(ˆ)(ˆωψωψa a a
a
= 可见与)(ˆωψ相比，只有频轴比例变化，没有幅度变化。

2.2 连续小波变换的性质
由于小波变换对)(x f 而言是以)(x ψ为核函数的线性变换，因此具有以下特性
性质1. 线性性
如果)(x f 的连续小波变换是),(τa W f ，)(x g 的连续小波变换是),(τa W g 则
第1章 连续小波变换
·5·
)()()(21x g k x f k x h +=的连续小波变换是
),(),(),(21τττa W k a W k a W g f h +=
这是线性变换的基本特性，根据式（2.1）小波变换的定义很容易证明。

性质2. 时移性质
如果)(x f 的连续小波变换是),(τa W f ，则)(0x x f -的连续小波变换是
),(0x a W f -τ。

也就是)(x f 的时移对应于小波变换的τ移。

证明 令)()(0x x f x g -=则
),(τa W g =
dx a x x x f a R
⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛--τψ)(1
0 令0x x y -=，即0x y x +=，dy dx =，则上式代入为
),(τa W g =
dy a x y y f a
R
⎰
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+τψ0)(1=),(0x a W f -τ
性质3. 尺度转换
如果)(x f 的连续小波变换是),(τa W f ，则⎪⎭
⎫
⎝⎛λx f 的连续小波变换是⎪⎭
⎫
⎝⎛λτλλ,a W f ，其中0>λ。

证明 令⎪⎭
⎫
⎝⎛=λx f x g )(，则 ),(τa W g =
dx a x x f a R
⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛τψλ1
=dy a y y f a R ⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛-τλψλ)( ][λx y = =
dy a y y f a
R
⎰
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-
λ
λτψλ
)( =dy a y y f a
R ⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλτψλ
λ)(1 =⎪⎭
⎫
⎝⎛λτλλ,a W f
此性质表明，当信号)(x f 做某一倍数伸缩时，其小波变换将在a ，τ两轴上作同一比
第1章 连续小波变换
·6· 例的伸缩，但是不发生失真变形，这是使小波成为“数学显微镜”的重要理论依据。

性质4. 交叉项性质
由于连续小波变换是线性变换，满足叠加性，因此不存在交叉项，但是由它引申出的能量分布函数2
),(τa W f 却仍然有交叉项。

设)()()(21x f x f x f +=，则
)cos(),(),(2),(),(),(2112
122
2
2
f f f f f f f a W a W a W a W a W θθτττττ-++=
式中1f θ，2f θ分别是),(1τa W f 和),(2
τa W f 的幅角。

证明 ),(τa W f 简记为f W ，则
2f W =))((21212
12
f f f f f f W W W W W W ++=+
=12212
1
2
2
f f f f f f W W W W W W +++
21f f W W 和12f f W W 共轭，因此上式可以简化为
)cos(22112
1
22
2
2
f f f f f
f f
W W W W W θθ-++=
由上式可见，小波变换的交叉项只出现在1f W 和2f W 同时不为零的),(τa 处，也就是两者相互交叠的区域中。

性质5 连续小波变换的等效频域形式
小波变换dx a x x f a
a W R
f ⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=τψτ)(1),(的等效频域表示为 ⎰
=
R
i d e a f
a a W f ωωψωπ
τωτ)(ˆ)(ˆ2),( 证明 由傅立叶变换与函数卷积的性质
ℱ )(ˆ)(ˆ)]()([ωψωψf
x x f =* 所以
ℱ )(ˆ)(ˆ])()([ωψωψf
x x f =-* 从而
ℱ[
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a x x f a ψ*)(1
]=)(ˆ)(ˆωψωa f a 可见
⎰
=
R
i d e a f
a a W f ωωψωπ
τωτ)(ˆ)(ˆ2),(
小波时频窗口性质
第1章 连续小波变换
·7·
式（1.19）定义的变换与短时傅立叶变换相比较，小波变换采用尺度的伸缩和平移因子平移。

同时引入时间平移与频率伸缩，能保证能够建立起具有时间、频率同时局部化的窗口函数。

为了研究小波的时频局部化性质，首先讨论如下一个基本性质。

对于函数f (x )的傅里叶变换)(ˆϖf
而言，满足： Ғi ˆ[()]e ()f x f τϖτϖ--= Ғˆ[()]||()x f a f
a a
ϖ= （1.30） 现在讨论由式（1.19）定义的窗口函数的时频局部化性质。

从时域角度来看，当Ψa ,b (t )作为窗口函数时，其中心t 0与窗口宽σψa,b 分别为
,1
22
20,,220,2,21{()|()|d }||||1|()|d ||||a a a a a t t t t t t t t τψττττσψψψψ⎧=
⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
⎰⎰R R
- 式（1.19）可以表示成卷积(
)f a
τ
ψ∙-*的形式。

而从频率的角度来看，利用Parseval 等式，又有,1ˆ
ˆ(,)()()d 2πa W f a f ψττϖψϖϖ+∞-∞
=⎰，因此利用1
i 2,ˆˆ||e ()a a a τϖτψψϖ-=，得到频率窗口的中心0ϖ与宽度,a τψσ分别为
,2
0,2
,212220,,21
ˆ()d ˆ1
ˆ{()()d }ˆa a a a a τττψττϖϖψϖϖ
ψσϖϖψ
ϖϖψ⎫=
⎪
⎪⎪
⎬⎪=-⎪⎪⎭
⎰⎰R R （1.31） 记a =1，τ=0，此时,()()a t t τψψ=，而相应的时、频窗口参数分别记为*0t ，ψσ以及*0ϖ，
ψσˆ。

于是，可以建立下面等式：
,,00ˆ0ˆ0*,*
,a a t at a a a ττψψ
ψψτσσσϖϖσ=+=⎧⎪
⎨==⎪⎩
（1.32） 下面讨论式（1.32）的证明。

由于两个等式的证明相似，因此，为节省篇幅，只证明式（1.32）中第一行的等式。

事实上，直接计算有
220022()|d ()|()|d *1|()|d ()|d t t t ax x x a t at t x x t a ττψττψ-+===+-⎰⎰⎰⎰R R R R
类似得到,a b a ψψσσ=。

由式（1.32）建立时-频窗口满足：
,,,,0000[,][,]a b a b a b a b t t ψψψψσσϖσϖσ-+⨯-+
第1章 连续小波变换
·8· ˆ000[*,*][
,
at a at a a
ψψψϖστστσ-=+-++⨯ˆ
0]a
ψϖσ+
此时，窗口的时间宽度为2a ψσ，频率宽度为2ˆ/a ψσ，因此其面积为4ψψσσˆ⨯，与a 和τ的选取无关。

窗口的特点：当需要检测高频分量时，减少a 的值，此时时间窗口自动变窄，而频率窗口自动变宽，此时为一时宽窄而频宽大的高频窗；而在检测低频分量时，增加a 值，时间窗口自动变宽，频率窗口自动变窄，此时为一时宽大而频宽窄的低频窗。

小波时频窗口面积ˆ4ψψσσ⨯
基本小波ψ(x )应该具有快速衰减性质，其振幅为正负相间的震荡形式。

特别地，将式（1.19）所定义的变换称之为小波变换，而相应的函数ψ(t )称之为小波函数。

2.3 小波变换的反演及对基本小波的要求
定理3.1 小波变换的内积定理（Moyal 定理）
以基本小波)(x ψ分别对)(1x f 和)(2x f 作小波变换，设
)(1x f 的连续小波变换为：>=<)(),(),(11x x f a W a f τψτ )(2x f 的连续小波变换为：>=<)(),(),(22
x x f a W a f τψτ
其中⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
a x a x a τψψτ1
)(，则有
><>=<)(),(),(),,(2121x f x f c a W a W f f ψττ （*）
式中ωω
ωψ
ψd c ⎰
∞
+=
2
)(ˆ。

第1章 连续小波变换
·9·
（*）式可以写成更明确的形式，左边的内积石对τ,a 作双重积分，而且由于式中a 以倒数形式出现，所以微分为
da a
21
，从而可将（*）式写为更具体的形式。

dx x f x f c da d x f x x x f a
R R a a )()()(),()(),(1
21210
2⎰⎰⎰
=>><<+∞
ψτττψψ （**） 左边第二个内积中的两个因子次序对调反映了取共轭。

证明 首先根据Parseval 等式的广义形式
ωωωπ
d g f
x g x f R
⎰
>=
<)(ˆ)(ˆ21
)(),( 得到
><)(),(1x x f a τψ=
ωωψωπ
τd f R a ⎰)(ˆ)(ˆ211 （i ） ><)(),(2x f x a τψ=ωωωψπ
τd f R a ⎰)(ˆ)(ˆ212 （ii ） 又⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a x a x a τψψτ1)(的傅立叶变换为
)(ˆωψ
τa =ωτωψi e a a )(ˆ （iii ） )(ˆωψ
τa =ωτωψi e a a -)(ˆ （iv ） 将式（iii ）、（iv ）代入（i ）、（ii ），再把式（i ）（ii ）代入（**）式左边，并由
)(2)(⎰
'-='-R
i d e ωωπδττωω
整理后得到
左边=
ωωψωψωωπ
dad a a f f a R )(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ
121210⎰⎰+∞
=ωωωωψπd f f da a a R )(ˆ)(ˆ)(ˆ212102
⎰⎰⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∞+ 设⎰∞+02
)(ˆda a
a ωψ积分存在，即
ωω
ωψ
ωψ⎰⎰∞+∞+=02
02)(ˆ)(ˆda a a da a a =⎰∞+02~~)~(ˆωω
ωψd =ψc
则上式最后成为
左边=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡⎰
R
d f f c ωωωπ
ψ)(ˆ)(ˆ21
21=><)(),(21x f x f c ψ=右边
第1章 连续小波变换
·10· 由证明可见，内积定理的成立以ψc 存在为条件，存在的条件可以明确地表示成
∞<=⎰
∞
+ωω
ωψ
ψd c 0
2
)(ˆ 小波与常用变换的区别在于没有固定的核函数，但也不是任何函数都可以用作小波变换的基本小波)(x ψ。

任何变换只有存在反变换才有意义，对于小波变换而言，只有基本小波满足“容许条件”，反变换才存在。

2.4.1 容许条件
定理2.2 （小波反演公式）
当∞<=
⎰
∞
+ωω
ωψ
ψd c 0
2
)(ˆ时，才能由小波变换),(τa W f 反演原函数)(x f ，此时 ⎰⎰
+∞
=
R
a f da d x a W a c x f τψττψ
)(),(1
1
)(0
2 =⎰⎰
-+∞
R
f da d a x a
a W a c ττ
ψτψ
)(1),(110
2 ∞<=⎰
∞
+ωω
ωψ
ψd c 0
2
)(ˆ，便是对基本小波)(x ψ提出的容许条件。

证明 利用内积定理来证明
令)()(1x f x f =，)()(2y x x f -=δ 由)(x δ的采样性
)()(),(y f y x x f >=-<δ
则
⎰⎰
>-><<=+∞
R
a a da d y x x x x f a y f c τδψψττψ)(),()(),(1
)(02
=⎰⎰-+∞R f
da d a y a
a W a ττ
ψτ)(1),(102 即
⎰⎰
-=
+∞
R
f da d a x a
a W a c x f ττ
ψτψ
)(1),(11)(0
2 此式成立条件为∞<=
⎰
∞
+ωω
ωψ
ψd c 0
2
)(ˆ，也就是内积定理存在的条件。

注意连续小波变换中ψ取共轭，而反演公式中，ψ不取共轭。

另外由容许条件
∞<=⎰
∞
+ωω
ωψ
ψd c 0
2
)(ˆ，可以推出，基本小波的一个必要条件就是0)0(ˆ=ψ。

事实上，
第1章 连续小波变换
·11·
对于积分ωω
ωψ
d ⎰∞
+02
)(ˆ，由于包含奇点0=ω，只有当0)0(ˆ=ψ
时积分才有可能存在。

基于此，对于基本小波)(x ψ，其在时域上的表现形式事实上由于
⎰-=R
ix dx e x ωψωψ
)()(ˆ ⎰=R
dx x )()0(ˆψψ
=0 说明基本小波函数为上下交替的震荡波，其在整个实域上的积分为0。

这也是小波的
消失矩特性，小波的消失矩越高，其局部性能越好。

2.4.2 能量的比例性
由Moyal 公式可以引出小波Parseval 等式，即小波变换幅度平方的积分和函数的能量成正比。

⎰⎰+∞
R f da d a W a ττ202),(1
=dx x f c R 2)(⎰ψ
证明 令)()()(21x f x f x f ==，得
>=<)(),(),(x x f a W a f τψτ
>=<)(),(),(x f x a W a f τψτ
dx x f x f x f R
2
)()(),(⎰
>=
<
代入内积公式可得
⎰⎰
+∞
R f da d a W a
ττ20
2),(1
=dx x f c R 2)(⎰ψ
2.4 消失矩条件
满足容许条件的)(x ψ可以用作基本小波，但是实际上要求更高，必须对)(x ψ施加“正
规性条件”。

以便ˆ()ψω在频域上表现更好的局部性，也就是要求(,)f W a τ随a 的减少而迅
速减少。

在小波理论中，正规性条件也被称为消失矩条件。

这要求)(x ψ的前n 阶原点矩等
于0，且n 越高局部性能越好，即
()0p R
x x dx ψ=⎰
，1,2,...,p n = （i ）
从上式可以看出，当0p =时也就是容许条件。

说明基本小波函数是一个在x 轴上下震动，且面积相等的函数。

下面来分析一下消失矩条件的等价频域性质。

定理 2.1小波函数的消失矩越高，则小波的在频域上的局部分析能力越强（(,)f W a τ随a
第1章 连续小波变换
·12· 的减少而迅速减少）。

基本小波函数)(x ψ具有n 阶消失矩，等价于ˆ()ψ
ω在0ω=有n 阶零点，其中一阶零点是容许条件。

即
10ˆˆ()()n ψ
ωωψω+=，0ˆ(0)0ψω=≠ （ii ） 式（i ）和式（ii ）就是消失矩条件。

证明 先证（i ），由于
dx
a x x f a
a W R
f ⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
τψτ)(1
),(
将()f x 在x τ=处泰勒展开有
2(1)(2)()(,)[()()()....]1!2!f R t t x W a f f f dx a
τττ
ττττψ---⎛⎫=+++
⎪⎝⎭
只取上式前n 项，得
()
0()[()]!p n p R p x x f dx p a τττψ=--⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰
()1()
[()]!p p n p R p a y f y dy p τψ+=⎰ [,]x y dx ady a
τ
-== 也就是
()132
()
20
(,)[()]()!
p p
n
n p f R
p a
y W a f
y dy o a p ττψ+
+==+∑⎰
=1313(1)()
2
22201()()
()...()1!!
n n n n f f f M a M a M a o a n τττ+++
+++ 式中()p
p R
M x x dx ψ=⎰
由容许条件00M =，如果进一步有0p M =，1,2,...,p n =，则(,)f W a τ随a 的减少，而不低于3
2
n a +的速度减少。

下证（i ）等价于（ii ）
由于ˆ()ψ
ω是)(x ψ的傅立叶变换，所以有 ˆ()()ix R
x e dx ωψ
ωψ-=⎰ 由此有
ˆ()()()ix R d ix x e dx d ωψωψω-=-⎰，故，0ˆ()|()()R d i x x dx d ωψ
ωψω
==-⎰ 222ˆ()()()ix R d ix x e dx d ω
ψωψω-=-⎰，故，22202ˆ()|()()R d i x x dx d ωψωψω
==-⎰ …………..
第1章 连续小波变换
·13·
ˆ()()()n n ix n R d ix x e dx d ωψωψω-=-⎰，故，0ˆ()|()()n n n
n R d i x x dx d ωψωψω
==-⎰ 可见要求()0p
R x x dx ψ=⎰，1,2,...,p n =等效于要求0ˆ()|0p p d d ωψωω
==，1,2,...,p n =。

也就是要求10ˆˆ()()n ψ
ωωψω+=，0ˆ(0)0ψω=≠
这项要求消除了()f x 的多项式展开式中()p
x p n ≤各项在小波变换中的贡献，以便突
出信号的高阶起伏和高阶导数种可能存在的奇点。

即小波变换将反映信号中的高阶变化。

基于消失矩条件的小波构造由Daubechies 提出，是小波构造的最重要的方法。

在后面的小波构造的章节，我们将详细介绍。

以二维数据（图像）为例，高的消失矩可使矩阵变得更加稀疏，这样使得数据非常利于压缩，因此在信号压缩处理中，我们往往选择消失矩较大的小波基比如CDF9/7。

在信号检测的应用中为了能够有效地检测奇异点，小波基的消失矩也必须具有足够的阶数，它与Lipschitz 指数密切相关。

然而，突变信号的Lipschitz 指数一般在0到1 内，因此为了分析突变信号，消失矩的阶数也不能太高，过高的阶数将使分析结果模糊，也增加计算量。

因此选择合适的消失矩的小波变换来进行信号处理，是非常重要的因素。

2.5 重建核与重建核方程
重建核方程是小波变换的另一个重要性质，它说明小波变换的冗余性，即a τ-平面上各点的小波变换值是相关的。

00(,)a τ处的小波变换值00(,)f W a τ可以表示成半平面（a R +∈，R τ∈）上其他各处
小波变换值的贡献。

000020
1
(,)(,)(,,,)f f R
W a W a K a a d da a ψτττττ+∞
=⎰
⎰ （ｉ） 式中
()()00
00,1(,,,)a
a R
K a a x x dx c ψττψττψψ
=
⎰
=001x x dx c a a ψ
ττ⎛⎫--⎛ ⎪ ⎝⎝⎭
⎰
=
()()001
,a a x x c ττψ
ψψ<>
第1章 连续小波变换
·14· K ψ是小波()()00,a a x x ττψψ的内积，它反映两者的相关程度，称为重建核；（ｉ）式
称为重建核方程。

证明 由小波变换的定义式和反变换式，有 00(,)()()f a R
W a f x x dx ττψ=⎰
⎰⎰
+∞
=
R
a f da d x a W a c x f τψττψ
)(),(1
1
)(0
2 将下式代入上一式得到
00002
11(,)(,)()()f f
a a R
R W a W
a x x dx d da c a ττψ
ττψψτ+∞
⎡⎤=
⎣⎦
⎰
⎰⎰
则得到
0000201
(,)(,)(,,,)f f R
W a W a K a a d da a ψτττττ+∞
=⎰
⎰
记()()00
00,1(,,,)a a R K a a x x dx c ψττψττψψ=⎰=()()001
,a a x x c ττψψψ<>
重建核定理还可以写成
000020
1
(,)(,),
f f R
a W a W a W d da a a
a ψ
τττττ+∞
-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
⎰
⎰ 实际上就是要证明
00
()()a a R
x x dx ττψψ⎰=00,a W a a ψττ
-⎛⎫
⎪⎝
⎭
证明
00
00()()a a R
R
x x x x dx dx a
a ττττψψψψ⎛⎫
--⎛⎫=
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎰
⎰
()00()R
ay y dy a ττψψ⎛⎫--
⎪
⎝⎭
令x y a τ
-=
()00()R y a y dy a a ττψψ-⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
=00,a W a
a ψττ-⎛⎫
⎪⎝⎭
第1章 连续小波变换
·15·
连续小波变换的冗余性
说明
1、 容许条件是小波的必要条件，只有满足容许条件的的函数()f x 才可以充当基本小波，
重建核方程是二元函数(,)F a τ能够成为某个函数小波变换(,)f W a τ的必要条件。

也就是说不是所有的(,)F a τ都可以作为(,)f W a τ，(,)F a τ必须满足重建核方程。

2、 重建核00(,,,)K a a ψττ反映的是()()00a a x x ττψψ和的相关性。

当0a a =，0ττ=时
00(,,,)K a a ψττ达到最大。

如果(,)a τ偏离（00,a τ）时K ψ衰减较快，两者的相关区
域便愈小。

如果0000(,,,)(,)K a a a a ψττδττ=--，此时a τ-半平面内各点的小波变换值互不相关，小波变换所包含的信息才没有冗余，这就要求不同尺度及不同位移的小波相互正交。

由于,a τ是连续变量，这种正交性是不存在的。

因此，当()f x 被变换成(,)f W a τ后信息是有冗余的。

连续小波变换可以直观的看，用一个平面去表示一条曲线。

从重建核方程，很容易看出，一个一维的信号变换到二维以后，存在的信息冗余是非常大的。

因此连续变化的尺度因子(0,)a ∈+∞是不必要的。

连续小波变换
怎样来选取一部分尺度因子{(0,)}a λ∈Γ∈+∞（其中Γ为指标集）
，
使得函数()f x 能重构。

Γ与自然数集同构时，a λ∈Γ成为一个点列，这样的方式是不是能实现信号的重构呢 ？
第1章 连续小波变换
·16· 尺度因子离散化方案中，a λ∈Γ的元素如何选取也是我们需要解决的问题。

在实际应用中，信号进行离散采样，其小波变换中的位移因子τ可以对应于信号的历史采样点的采样位置。

当a 取所有大于0的实数值时，频率轴[0,+∞]将会被完全覆盖，同时也不难发现，这种覆盖存在严重的交叉覆盖因而产生覆盖的冗余。

为了在完全覆盖的前提下避免冗余现象的出现。

如何通过选取频率值a 的离散值，仍能实现原信号的精确重构这是小波理论的重要研究问题。

设ˆψ∆为频域上的一个固定的窗口宽度，做如下的频域轴分解：
ˆ[0,)[2j j ψ∆+∞
=-∞
+∞=
1
ˆ,2
)j Δψ+
2.6 连续小波的计算
计算连续小波变换的基本方法是数值近似积分法，这种方法包括矩形法和梯形法。

设0a >，且()t ψ为实函数小波 1. 矩形数值积分法
在给定的尺度下，对待分析信号()
f t 和分析小波()t ψ按照S t nT =，s kT τ=进行采样，其中S nT 为采样间隔，则采用矩形数值积分法，小波变换可以近似计算如下：
()(,)()s f s s n
n k T W a kT f nT a ψ-⎡⎤
=
⎢⎥⎣⎦
简记为
(,)()f n
n k W a k f n a ψ-⎡⎤
=
⎢
⎥⎣
⎦ 式中，s T T ∆=，()f n 表示信号()f t 的采样序列，()n ψ表示分析信号()t ψ的采样序列。

对每个给定的a 值，依次求出不同k 值下的一组小波系数。

在实际计算时，a 也需要
第1章 连续小波变换
·17·
取离散值，通常取2j
a =。

梯形数值积分法
同样的，对待分析信号()f t 和分析小波()t ψ按照S t nT =，s kT τ=进行采样，其中S nT 为采样间隔。

为使计算的数值更加精确，可采用梯形法做近似积分。

其计算公式如下：
1(,)()((1))f s s s s s n n k n k W a kT f nT T f n T T a a ψψ⎡-+-⎤
⎛⎫⎛⎫=
++ ⎪ ⎪⎢
⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
式中，s T T ∆=，简记为
1(,)()((1))f n n k n k W a k f n T f n T T a a ψψ⎡-+-⎤
⎛⎫⎛⎫=
∆++∆∆ ⎪ ⎪⎢
⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
这说明，对于任何一个a 值，可以通过计算离散信号序列与小波函数采样序列的卷积来计算小波系数。

应用小波变换分析的步骤为“
（1） 计算每一尺度下各个离散位置的小波变换，然后将结果显示。

（2） 从频域上来看，用不同的a 值做处理，相当于用不同中心频率的带通滤波器做
处理；从时域上来看，表现为信号在各局部时段的处理结果。

（3） 两者结合起来就能将一定范围内的信号特征加以凸显。

在Matlab 小波工具箱中，用cwt()函数计算连续小波变换。

例如，对Matlab 中提供的某一信号进行连续小波变换，尺度a 分别为12.12，10.24，16.38，1.2，2，4，5，8，10，小波函数用db3，则连续小波变换的系数的灰度表示图，在图形中，小波系数
的大小(,)f W a τ使用灰度的深浅表示，颜色越深，则表示变换以后的系数越大。

离散小波变换的尺度和位移参数只能在二进栅格上离散取值，因此只能得到二进尺度和二进栅格上的小波系数，使得它在许多信号分析场合显得粗糙。

利用连续小波变换可以计算任意尺度上和相位上的小波系数，比离散小波变换具有更大的灵活性。

第1章 连续小波变换
·18·
三维显示
信号的连续小波变换
第1章 连续小波变换
·19·
2.7常用小波介绍
与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数
()x ψ具有多样性。

但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。

目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。

根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有： (1) ψ、φ、ψ和φ的支撑长度。

即当时间或频率趋向无穷大时，ψ、φ、ψ和φ从一个有限值收敛到0的速度。

(2)对称性。

它在图像处理中对于避免移相是非常有用的。

(3) ψ和φ如果存在的情况下)的消失矩阶数。

它对于压缩是非常有用的。

(4)正则性。

它对信号或图像的重构获得较好的平滑效果是非常有用的。

但在众多小波基函数(也称核函数)的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常有用的。

我们可以通过waveinfo 函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小波函数ψ和尺度函数φ可以通过wavefun 函数计算，滤波器可以通过wfilters 函数产生。

我们主要介绍一下MATLAB 中常用到的小波函数。

1 Haar 小波
Haar 函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数。

Haar 函数与下面将要介绍的db1小波函数是一样的。

Haar 函数的定义为
101/2
1
1
120
H x x ψ≤≤⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪⎩其它
尺度函数为
101()0
x x ϕ≤≤⎧=⎨
⎩其它
在MATLAB 中，可以输入命令waveinfo(‘haar ’)获得Haar 函数的一些主要性质，如图1.3所示。

第1章 连续小波变换
·20·
2 Daubechies(dbN)小波系
Daubechies 函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies 构造的小波函数，除了db1(即haar 小波)外，其他小波没有明确的表达式，但转换函数h 的平方模是很明确的。

db N 函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。

假设1
10
()N N k k k k P y C
y --+==
∑，其中1N k k C -+为二项式的系数，则有
2
2
2()(cos )(sin ())22
N H P ω
ω
ω= 其中21i 0
1()e 2N k k k H h ω
ω--==∑。

22
()()1H H ωωπ++=
计算出2
()H ω，利用Riesiz 引理，求出()H ω，最后我们可以利用
1
()(
)2k
k x H ω
ϕ+∞
==∏
当然无限乘积可能没有解析表示式解，这也是Daubechies 小波没有解析表达式的原因。

具体的构造过程在后面的小波构造理论中会详细介绍。

Daubechies 小波特点
（1） 小波函数ψ和尺度函数φ的有效支撑长度为2N －1，小波函数y 的消失矩阶数为N 。

（2） 大多数db N 不具有对称性，对于有些小波函数，不对称性是非常明显的。

（3） 正则性随着序号N 的增加而增加。

（4） 函数具有正交性。

第1章 连续小波变换
·21·
在这里，画出db4和db8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如下图所示。

Daubechies 小波函数提供了比Haar 组更有效的分析和综合。

Daubechies 系中的小波基记为db N ，N 为序号，且N ＝1，2， (10)
在MATLAB 中，可以输入命令waveinfo(‘db ’)获得Daubechies 函数的一些主要性质。

3 Biorthogonal(bior N r.N d)小波系
Biorthogonal 函数系的主要特性体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中，通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。

众所周知，
如果使用同一个滤波器进行分解和重构，对称性和重构的精确性将成为一对矛盾，而采用
第1章 连续小波变换
·22· 两个函数，将有效地解决这个问题。

设函数用于信号分解，而函数y 用于信号重构，则分解和重构的关系式为
___________
,,()()d j k j k C s x x x ψ=⎰
,,,j k j k j k
S C ψ=∑
另外具有双正交性
,,0,0,()()d 0
()()d 0j k j k k
k x x x x x x ψψϕϕ'''=⎧⎪⎨
=⎪⎩ 这样，利用函数,()j k x ψ和,()j k x φ的特性，在信号分解时可以获得一些很好的分解性
质(如振动、零力矩)，而利用,()j k x ψ和,()j k x φ的特性，在信号重构时又可获得一些很好的重构性质(如正则性)。

Biorthogonal 函数系通常表示成bior N r.N d 的形式：
其中，r 表示重构(Reconstruction)；d 表示分解(Decom position)。

在这里，我们画出bior2.4和bior4.4小波(分别用于分解与重构)的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图1.5所示。

在MATLAB 中，可输入命令waveinfo(‘bior ’)获得该函数的主要性质。

第1章 连续小波变换
·23·
4 Coiflet(coif N )小波系
Coiflet 函数也是由Daubechies 构造的一个小波函数，它具有coif N (N ＝1，2，3，4，5)这一系列。

Coiflet 具有比db N 更好的对称性。

从支撑长度的角度看，coif N 具有和db3N 和sym3N 相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coif N 具有和db2N 和sym2N 相同的消失矩数目。

在这里，我们画出coif3和coif5小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如下图所示。

在MATLAB 中，可输入命令waveinfo(‘coif ’)获得该函数的主要性质。

第1章 连续小波变换
·24·
5 SymletsA(symN)小波系
Symlets 函数系是由Daubechies 提出的近似对称的小波函数，它是对db 函数的一种改进。

Symlets 函数系通常表示为sym N (N ＝2，3，…，8)的形式。

在这里，我们画出sym4和sym8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图1.7所示。

在MATLAB 中，可输入waveinfo(‘sym ’)获得该函数的主要性质。

第1章 连续小波变换
·25·
6 Morlet(morl)小波 Morlet 函数定义为
2/2
()e cos(5)x x C x ψ-= 它的尺度函数不存在，且不具有正交性。

在MATLAB 中，可输入waveinfo(‘morl ’)获得该函数的主要性质，如下图所示。

第1章连续小波变换·26·
7Mexican Hat(mexh)小波
Mexican Hat函数为
2
1/42/2
()(1)e x
x x
ψ--
=-
它是Gauss函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数(如上图所示)。

墨西哥帽函数在时间域与频域都有很好的局部化，并且满足()d0
x x
ψ
∞
-∞
=
⎰
由于它的尺度函数不存在，因此分析不具有正交性。

在MATLAB中，可输入waveinfo(‘mexh’)获得该函数的主要性质。

第1章 连续小波变换
·27·
8 Meyer 函数
Meyer 小波的小波函数ψ和尺度函数φ都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。

1/2i /2
1/2i /2π32π4π(2π)e sin((1)),22π33π34π8πˆ()(2π)e cos((1)),22π332π8π0,[,]33ωωνωωψωνωωω--⎧-≤≤⎪⎪
⎪
=-≤≤
⎨⎪
⎪
∉⎪⎩
其中，v (a )为构造Meyer 小波的辅助函数，且有v (a )＝a 4
(35－84a ＋70a 2－20a 3
) a ∈［0，1］
1/21/22π(2π)3
π32π4π
()(2π)cos((1))
22π33
4π03
Φωωνωωω--⎧≤
⎪⎪
⎪
=-≤≤
⎨⎪
⎪>
⎪⎩
在MATLAB 中，可输入waveinfo(‘meyr ’)获得该函数的主要性质，如下图所示。

9 Battle-Lemarie 小波
Battle-Lemarie 小波在MATLAB 工具箱中不存在，但它也是我们常用到的一个小波函数。

它具有两种形式，一种具有确定的正交性，一种不具有确定的正交性。

当N ＝1
时，。