湖北省黄冈中学高三数学第三轮综合能力测试卷六

湖北省黄冈中学高三数学第三轮综合能力测试卷六
一、选择题
an
1．数列 {a n } 的通项 a n ＝bn ＋ 1(a ＞ 0， b ＞ 0) ，则 a n 与 a n ＋ 1 的大小关系为 (
)
A ． a n ＞ a n ＋ 1
B ． a n ＜ a n ＋1
C ． a n ＝a n ＋ 1
D ．与 n 取值相关
2
a
2．若函数 f(x) ＝ log a (x －ax ＋ 3) 在区间 ( －∞， 2] 上为减函数，则 a 的取值范围是 (
)
A ．(0 ，1)
B ． (1 ，＋∞ )
C ．(1，2 3)
D ． (0 ，1)∪(1 ，2 3)
3．等差数列 {a n } 的首项 a 1＝－ 5，它的前 11 项的均匀值为 5，若从中抽去一项，余下的
10
项的均匀值为 4.6 ，则抽去的项为 ( )
A ． a 6
B ． a
C ． a
9
D ． a
8
10
4．在△ ABC 中，条件甲： A ＜B ，甲
2
2
)
乙： cos A ＞ cos B ，则甲是乙的 (
A ．仅充足条件
B ．仅必需条件
C ．充要条件 y
D ．非充足非必需条件
5．已知 f(x) ＝ ax 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 的图象如下图，则有
(
)
A ． b ＜ 0
B ． 0＜ b ＜1
o
1
2
x
C ． 1＜ b ＜2
D ． b ＞ 2
→ →
22
→
→ 1 1 →→→→
6．设平面向量 a ＝ (x ，y) ， b ＝ (x ，y ) ， c ＝(1 ，－ 1) ， d ＝ ( 9，－ 4) ，若 a · c ＝ b · d
＝ 1，则这样的向量 → 的个数是 ( )
a
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 4
7．以椭圆的两焦点为直径端点的圆与椭圆有两个交点，则椭圆的离心率的变化范围是
()
A ．(0 ，
2
B ． (0 ，
3
C ． (
2
D ． (
3
)
)
， 1)
，1)
2
3 2 3
8．掷一个骰子的试验，事件
A 表示“小于 5 的偶数点出现” ，事件
B 表示“小于 4 的点数
出现”，则一次试验中，事件
－
发生的概率为 (
) A ＋ B
1
1 2
5
A ． 3
B ． 2
C ． 3
D ． 6
t
t ＋ 2
9．不等式 t 2 ＋9≤ a ≤ t
2
在 t ∈(0 ， 2] 上恒成立，则 a 的取值范围是 ( )
1
2 1 4 A ．[ 6，1]
B ． [ 13， 1]
C ． [ 16， 13]
10．如图，在正三角形 ABC 中， D 、 E 、F 分别为各边的中点，G 、 H 、I 分别为 DE 、 FC 、EF 的中点，将△ ABC 沿 DE 、EF 、 FD
折成三棱锥此后，
BG 与 IH 所成角的弧度数为 ()
π
π
A ． 6
B ． 3
2
3
C ． arccos 3
D ． arccos 3
1
D ． [ 6，2 2]
A
D ·
·F
G
·
I ·
·H
B
C
E
11．有浓度为 90％的溶液 100g ，现从中倒出
10g ，再加进 10g 水，要使其浓度低于 10％，
A ． 19
B ． 20
C ． 21
D ． 22
12．如图是函数 f(x) ＝ x 3＋ bx 2＋ cx ＋ d 的大概图象，
y
则 x 2
＋ x 2
等于
(
)
1
2
A ． 8
B ．
10
－1
O
x 2
x
9
9
x
2
1
16
28
C ． 9
D ． 9
题号 1
2
3
4 5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13．海面上，地球球心角
1' 所对的大圆弧长为
1 海里 , 在赤道上 , 车经 140°与西经 130°
的海面上有两点
A 、
B ，则 A 、 B 两点的球面距离是＿＿＿＿海里．
14．已知 Sn 为数列 {a n } 的前 n 项和，且 Sn 与
1 ＋
1
的等比中项为 n(n ∈ N ) ，a 1
＝ ，则 lim Sn
n
2
n →∞
a
＝＿＿＿＿＿．
15．设 x 1、x 2、x 3 挨次是方程 log
1
x
eq
x ＋ 2＝ x ，log 2(x ＋2) ＝ －x ， 2 ＋ x ＝ 2 的实数
2
根，则 x 、 x 、 x 的大小关系为＿＿＿＿＿．
1
2
3
2
2 |x| 1
3
16．对于函数 f(x) ＝ sin x － ( 3) ＋ 2，有以下结论：① f(x) 为奇函数；② f(x) 最大值为 2；
1 1
③ x ＞ 2005 时， f(x) ＞ 2；④ f(x) 最小值为－ 2．此中正确命题的序号为＿＿＿
＿．三、解答题 17．已知 p ： |1 －
x － 1
| ≤ 2，q ： x 2－ 2x ＋1－ a 2≤ 0(a ＞ 0) ，若?p 是?q 的充足不用要条件，
3
务实数 a 的取值范围．
18．如图，半圆的直径 AB ＝d ，点 D 在半圆上挪动时， DC 切半圆于 D 点，且 DC ＝ d ， A 、C 两点位于 BD 双侧，问∠ DAB 取何值时，四边形 ABCD 的面积最大？最大面积为多少？
C
d
D )
A )
θ
B
专心爱心专心123 号编写2
19．在二项式 (ax m＋ bx n) 12(a ＞ 0，b＞0， m、n≠ 0) 中， 2m＋ n＝ 0，若它的睁开式中系数
最大的项恰巧是常数项．
(1)求常数项是第几项？
a
(2)求b的范围．
20．如图，四棱锥 P－ ABCD的底面是正方形，PA⊥底面 ABCD， PA＝ AD＝ 2，点 M、N 分别在棱 PD、 PC上，且 PC⊥平面 AMN．P
(1)求证： AM⊥ PD； (2) 求二面角 P－ AM－N 的大小；M
(3)求直线 CD与平面 AMN所成角的大小．A N D
B C
→ →21．在面积为 18 的△ ABC中， AB＝ 5，双曲线 E 过点 A，且以 B、 C 为焦点，已知 AB· AC＝→→
27， CA· CB＝ 54．
(1)成立合适的坐标系，求曲线 E 的方程；
(2)能否存在过点 D(1， 1) 的直线 L，使 L 与双曲线 E 交于不一样的两点M、 N，且
→→→
DM＋ DN＝0 ，假如存在，求出
L 的方程；假如不存在，说明原因．
22．已知数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，知足关系式 (2 ＋ t)S n＋1－ tSn ＝ 2t ＋ 4(t ≠－ 2，t ≠0，n ＝1， 2， 3， )
(1)当 a1为什么值时，数列 {a n} 是等比数列；
(2) 在 (1) 的条件下，设数列 {a n} 的公比为f(t)，作数列{b n}使b1＝1，b n＝f(b n－1)(n＝2，3，4， ) ，求 b n；
c
(3) 在 (2) 条件下，假如对全部n∈ N＋，不等式 b n＋ b n＋1＜2n＋1恒成立，务实数 c 的取值范围．
[ 参照答案 ]
1．B 2．C
3．B 解： S ＝55
d ＝ 2， 55－ [ － 5＋ (n － 1) · 2] ＝ 4· 6
n ＝ 8．
11
4． C 解： A －B ＜0 cos 2A － cos 2B ＝ (cosA ＋ cosB)(cosA － cosB)
A ＋
B A －B A ＋ B A － B
＝－ 4cos 2 cos
2 · sin
2 · sin
2 ＝－ sin(A ＋ B)sin(A －B)＞ 0
甲
乙
f(0) ＝d ＝ 0
5． A 解： f(x) ＝ ax(x － 1)(x － 2) ，则
f(1) ＝a ＋ b ＋ c ＝ 0 7a ＋ 3b ＝ 0
f(2) ＝8a ＋ 4b ＋c ＝ 0
令 x ＝ 3， f(3) ＝ 6a ＞ 0，∴ a ＞ 0，∴ 3b ＝－ 7a ＜ 0 b ＜ 0．
x － y ＝ 1
6． A
解： x 2 y 2 ，无交点．
9－ 4＝
1
2 2 2
x 2 y 2
1 1 2
c 2
2
2
2
7． C 解：将 x ＋y ＝ c 代入 a 2＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0) 得 ( b 2－ a 2)x ＝ b 2－ 1＞0
c ＞ b ，即 c ＞
2
2
2 a － c 2 ＜ e ＜1．
8． C
t
9． B 解：令 f(t)
＝ t 2＋ 9， f' (t) ＞ 0，f(t) 在 (0 ， 2] 上↑，
2 t ＋ 2
∴f(t)
max ＝ f(2) ＝ 13 ， g(t) ＝ t 2 ， g' (t) ＜ 0， g(t) 在(0 ， 2] 上↓，
A(B 、C)
∴ g(t) min ＝ g(2) ＝ 1．∴ 2
≤ a ≤ 1． 13
10． A 解：画出立体图形， IH ∥ AE ，
D ·H
π
即 BG 与 IH 所成的角．
G ·
F
∴∠ EAG ＝ 6 E
I
11． C 解：每操作 1 次，浓度变成前一次的 90％，
设起码操作 x 次才能使其浓度低于 10％，
x
1
∴0.9 × 0.9 ＜0.1
x ＞ 1－ lg9 － 1＝ 20.83 ．
∴ x min ＝21． 12． C 解： f(x)
3
2
是 f'(x)
2
－2＝0 的两根．
＝ x(x ＋ 1)(x － 2) ＝ x
－x
－ 2x ， x ，x
＝3x － 2x
1 2
2 2
2
2
2
2 16
∴x 1＋ x 2＝ (x 1＋ x 2) － 2x 1x 2＝ ( 3) ＋ 2× 3＝ 9 ．
13． 5400 解： d ＝ 90× 60＝ 5400．
＝ n － 1，
14． 1 解：∵ S ＝ n 2，∴ a n ＝ S n － S n － 1＝ n 2a n － (n －1) 2
a n －1
a
n
n
a n
a n － 1 n ＋ 1
递推相乘得 a ＝
1 S ＝ n
lim S ＝1．
n
n(n ＋ 1) n
n ＋ 1 n →∞ n
15． x ＜ x ＜ x
解：易知 x
＜ 0， x 看作 y ＝ log 1
的交点横坐标，
1
x 和 y ＝ x － 2
2
3
2
1
y 2
∴x 1∈ (1 ， 2)
1
2
2
x 3 看作 y ＝
x
x
交点的横坐标．
2－x 和 y ＝ 2 O
且 0＜ x 3＜ 1．故得 x 2＜ x 3＜ x 1．
O
1 2
16．④ 解： f(x)
偶， x ≥ 0 时， f(x)
2
2 x 1
1 ＝sin x － ( )
＋ ， x ＝ 0 时， f(x)
min
＝－ ．
3 2
2
17．解：由 P 得：－ 2≤ x<10，∴?p ：A ＝ {x|x ＜－ 2 或 x ＞10}
由 q 得： 1－ a ≤ x ≤ 1＋ a ，∴?q ： B ＝ {x|x ＜ 1－ a 或 x ＞ 1＋a ， a ＞ 0} 由?p
?q
∴ A ≠ B
∴ － 2≤ 1－ a 0＜ a ≤ 3．。

1＋ a ≤ 10 －2 1－a 1＋a 10
π
18．设∠ DAB ＝θ，则θ∈ (0 ， 2 ) ， AD ＝ dcos θ， BD ＝ dsin
θ，又∠ CDB ＝θ， DC ＝ d ．
ABCD △ ABD
△CDB
1 2
1 2
2
∴S ＝ S ＋ S ＝ 2d sin θ cos θ＋ 2d sin
θ
d 2 π
π
3π
＝ 4 [ 2sin(2 θ－ 4 ) ＋ 1]
当 sin(2 θ－ 4 ) ＝ 1 即θ
＝
8 时，
d 2
四边形 ABCD 面积最大，最大面积为 4
(
2＋1) ．
r 12－ r r 12m － mr ＋ nr 19．解： (1)T r ＋ 1＝C 12a b x
令 12m － mr ＋ nr ＝ 0
r ＝ 4，∴系数最大项为第
5 项．
2m ＋ n ＝0
4
8 4
3
9
3
C
a b ＞ C
a b
5
12 12
8 a 9
(2) ∵ T 系数最大，
4 8 4 5
7
5
5＜ b ＜ 4．
C 12a b ＞C 12a b
20．解： (1)PA ⊥面 ABCD PA ⊥ CD 又 CD ⊥ AD ，∴ CD ⊥面
PAD ∴CD ⊥ AM ，又 PC ⊥面 AMN ，∴ PC ⊥ AM ∴AM ⊥面 PCD ，∴ AM ⊥ PD ．
(2)PN ⊥面 AMN ， PM ⊥ AM ，∴ NM ⊥ AM ，∴∠ PMN 即为所求．又∠ PMN ＝∠ PCD ， ( 易证 rt △PNM ∽ rt △PDC)， PA ＝ AD ＝ 2，
∴∠ PMN ＝ arctan 2．
(3) 过 M 作 ME ∥ CD 交 PC 于 E ，则∠ NME 即求．
C
且∠ NME ＝∠ DPC ＝ arcsin
3 3 ．
21．解： (1) 如图，以 BC 所在直线为 x 轴， BC 中点 O 为原点，设∠ BAC ＝α，∠ ACB ＝β，∴ |AB| ＝ 5，设 |AC| ＝ m ， |BC| ＝n ．
→ →
5mcos α＝ 27
由 AB · AC ＝ 27
1 m ＝ 9．
S △ ABC ＝ 18
· 5msin α＝ 18
2
→ →
mncos β＝ 54 CA · CB ＝ 54
P
N
E
(
M
D
y
) A
m
α
B
O β (
C
x
由 1
mnsin β＝ 36
n ＝ 2 13．
mnsin β＝ 18
m ＝ 9
2
2
2
＝ 1，则
2a ＝
4
2
2
设双曲线方程为 x
2－
y 2 得 x
－
y
＝ 1．
专心爱心专心123 号编写6
→ → →
x 1 ＋ x 2＝ 2
由DM ＋ DN ＝ 0 ，得 D 为 MN 中点，∴ y 1 ＋ y 2＝ 2
2
2
9x 1－ 4y 1＝ 36
y 1－ y 2 9
由
2 相减得：
x 1－ x 2 ＝ ．
2
4
9x 2－ 4y 2＝36
∴ L 方程为 9x － 4y －5＝ 0．
代入 9x 2－ 4y 2＝36 得 45x 2－ 90x ＋ 169＝ 0．
∵△＜ 0，∴不存在合适条件的直线 L ．
22． (1)(2 ＋ t)S n ＋ 1－ tS n ＝ 2t ＋4
①
n ≥ 2 时， (2 ＋ t)S n － tS n － 1＝ 2t ＋ 4 ②
两式相减： (2 ＋ t)(S n ＋ － S ) － t(S － S )＝0，
1 n
nn － 1
a n ＋ 1
t
a n ＋ 1
t
(2 ＋ t)a n ＋ 1－ ta n ＝ 0， a n ＝2＋ t ．即 n ≥ 2 时， a n 为常数 2＋ t ．
当 n ＝ 1 时， (2 ＋ t)S
2 －tS
＝ 2t ＋4，
1
(2 ＋ t)(a
2t ＋ 4－2a 1 2＋ a 1 ) － ta 1＝ 2t ＋ 4，解得 a 2＝ 2＋ t
．
n
a 2 t ．
要使 {a } 是等比数列，一定
＝
a 1
2＋t
2t ＋ 4－ 2a
t
1
∴
(2 ＋ t)a 1
＝ 2＋ t ，解得 a 1＝ 2．
(2) 由 (1) 得， f(t) t b n － 1 ，
＝ 2＋t
，所以有 b ＝
2＋b －
n
1 2
＋ 1，整理得 1 ＋1＝ 2( 1
即 ＝
b ＋1) ．
b
b
－ 1
b
n n n n － 1
则数列 { 1 ＋ 1} 是首项为 1 ＋ 1＝ 2，公比为 2 的等比数列， 1 ＋ 1＝2· 2n －
1＝ 2n ，
b n b 1 b n
1
b n ＝ n
．
2 － 1
1
1
1 1 c
(3) 把 b n ＝ 2n － 1， b n ＋ 1＝ 2n ＋ 1－1代入得： 2n － 1＋ 2n ＋ 1－ 1＜ 2n ＋1，
2n ＋ 1
2n ＋ 1
即 c ＞ 2n － 1＋2n ＋ 1－ 1，
要使原不等式恒成立， c 一定比上式右侧的最大值大．
1 n ＋1 3
2n ＋ 1 2n ＋ 1
(2 n －1) ＋ 2 2(2
－ 1) ＋ 2 32 3
∴ 2n －1＋ 2n ＋ 1－ 1＝
2n － 1
＋
2n ＋
1－1
＝2＋ 2n － 1＋ 2(2 n ＋ 1－ 1) ，单一递减．
2n ＋ 1 2n ＋ 1
的值随 n 的增大而减小，则当 2n ＋1 2n ＋ 1
∴ n
＋ n ＋ 1
n ＝1 时， n
＋ n ＋1
获得最大值 4．
2 －1 2 － 1
2 －1
2 － 1
所以，实数 c 的取值范围是
c ＞4．。