【人教版】八年级下学期数学《期中考试试题》及答案解析

人教版八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若式子3a +在实数范围内有意义，则a 的取值范围是（ ） A. 3a ≥ B. 3a ≥- C. 3a ≤- D. 3a ≠
2.下列各组线段a 、b 、c 能构成直角三角形的是（ ）
A. 30a =，50b =，50c =
B. 5a =，7b =，8c =
C. 1a =，2b =，3c =
D. 4a =，6b =，7c = 3.下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A. 57
B. 12
C. 6
D. 2x
4.下列计算错误的
是（ ）
A. 14772⨯=
B. 60523÷=
C. 9258a a a +=
D. =32-23 5.下列命题中错误的是（ ）
A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 三个角是直角四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
6.如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，//DE AB ，DE DC =，如果70C ∠=︒则A ∠等于（ ）
A. 70︒
B. 90︒
C. 100︒
D. 110︒
7.如图，点P 是平面坐标系中一点，则点P 到原点的距离是（ ）
A. 3
B. 2
C. 7
D. 53
8.已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD ＝120°，AC ＝4，则该菱形的面积是( )
A. 163
B. 16
C. 83
D. 8 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，//OM AB 交AD 于点M ，若3OM =，10BC =，则OB 的长为（ ）
A . 5
B. 4
C. 234
D. 34
10.如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积为16和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A. 1683-
B. 1283-+
C. 843-
D. 423-
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11.已知a ＜2，则2(2)a -＝________．
12.已知()2
x y+3+2y=0--，则x+y= ▲ ． 13.请写出数学命题“勾股定理”的含义，如果__________，那么__________．
14.在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是____(填写一个即可)．
15.如图，矩形纸片ABCD 中，8AB =，6AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则折痕处G 点与A 点的距离为__________．
三、解答题:本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.
16.计算:
（1）3212482
（2）1(253)(253)2)2
+ 17.如图所示，ABCD 是一个正方形花园，E ，F 是它的两个门，且DE CF =.要修建两条路BE 和AF ，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
18.如图，E 是ABCD 的边AD 的中点，连接CE 并延长交BA 的延长线于F ，若63CD =，求BF 的长.
19.如图，每个小正方形的边长为1.
（1）求出四边形ABCD 的周长；
（2）求证:90BCD ∠=︒.
20.如图:在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交BC 于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF ．
（1）求证:四边形ABEF 为菱形；
（2）AE ，BF 相交于点O ，若BF ＝6，AB ＝5，求AE 的长．
21.在化简m n +时，为了使式子的分母中不含根号，需要对原式进行恒等变形，这种变形我们称为分母有理化.甲、乙两位同学的做法如下: 甲:22()()()()()()()()
m n m n m n m n m n m n m n m n m n ----===-++-- 乙:22()()()()m m n m n m n m n m n m n
n -+-===-+++ （1）你认为甲乙两人的做法（ ）
A ．甲乙两人都对
B ．甲错乙对
C ．甲对乙错
D ．甲乙两人都错
（2）根据你对甲、乙同学解题方法的理解，请你使用一种方法对下面式子进行分母有理化.
化简:32
- 22.已知:在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 的中点；过点A 作//AF BC ，交BE 的延长线于F ，连接CF ．
()1求证:四边形ADCF 是平行四边形；
()2填空:
①当AB AC =时，四边形ADCF 是
______形；
②当90BAC ∠=时，四边形ADCF 是______形.
23.如图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，
(1)判断OE 与OF 的大小关系．并说明理由；
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说出你的理由．
答案与解析
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
在实数范围内有意义，则a 的取值范围是（ ）
A. 3a ≥
B. 3a ≥-
C. 3a ≤-
D. 3a ≠ 【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得30a +≥，再解不等式即可．
【详解】解:
∴30a +≥，
∴3a ≥-；
故选:B ．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 2.下列各组线段a 、b 、c 能构成直角三角形的是（ ）
A. 30a =，50b =，50c =
B. 5a =，7b =，8c =
C. 1a =，2b =
，c =
D. 4a =，6b =，7c =
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】A.∵222305050+≠，∴不能构成直角三角形，不合题意；
B. ∵222578+≠，∴不能构成直角三角形，不合题意；
C.
∵2221=2+，∴能构成直角三角形，符合题意；
D. ∵222467+≠，∴不能构成直角三角形，不合题意．
故选:C 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理判断三条线段是否构成直角三角形关键看两短
边的平方和是否等于最长边的平方．
3.下列各式属于最简二次根式的是（）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】]解:A
B=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C不能再开方，是最简二次根式；
D
故答案为C．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须同时满足以下两个条件:①被开方数不含分母；
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4.下列计算错误的是（）
=== D. =3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
【详解】A=
B=
C=
D、=
故选:D．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟练地掌握二次根式的运算法则．
5.下列命题中错误的是（ ）
A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 三个角是直角的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质以及菱形，矩形，正方形的判定定理，逐一判断命题的真假，即可得到答案.
【详解】∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是真命题，
∴A 不符合题意；
∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴B 符合题意；
∵“三个角是直角的四边形是矩形”是真命题，
∴C 不符合题意；
∵“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”是真命题，
∴D 不符合题意.
故选B.
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及菱形，矩形，正方形的判定定理，掌握直角三角形的性质和特殊平行四边形的判定定理是解题的关键.
6.如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，//DE AB ，DE DC =，如果70C ∠=︒则A ∠等于（ ）
A. 70︒
B. 90︒
C. 100︒
D. 110︒
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形性质求出70DEC C ∠=∠=︒，再根据平行线性质求解即可．
【详解】解:∵DE DC =，
∴70DEC C ∠=∠=︒，
∵//DE AB ，
∴70DEC B ∠=∠=︒，
∵//AD BC ，
∴180110A B ∠=︒-∠=︒．
故选:D
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质．解题关键是通过等腰三角形性质，平行线性质进行角的转化．
7.如图，点P 是平面坐标系中一点，则点P 到原点的距离是（ ）
A. 3 2 7 53【答案】A
【解析】 分析:连接PO ，在直角坐标系中，根据点P 的坐标是27，可知P 2，7，然后利用勾股定理即可求解．
详解:连接PO ． ∵点P 27，∴点P 到原点的距离2227+．
故选A ．
点睛:本题主要考查学生对勾股定理、坐标与图形性质的理解和掌握，解答此题的关键是明确点P的横坐标为2，纵坐标为7．
8.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是()
A. 163
B. 16
C. 83
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝120°可知∠ABC=60°，AB=AC，即△ABC为等边三角形，则AB=AC=BC=4，作AE⊥BC于点E，可得BE=2，AE=23，求得S菱形ABCD=BC·AE=4×23=83
【详解】在菱形ABCD中，有AB=AC
∵∠BAD＝120°
∴∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形
即AB=AC=BC=4
作AE⊥BC于点E
∴BE=2，AE=23
∴S 菱形ABCD =BC ·AE=4×23=83
故选C 【点睛】本题考查了菱形的性质，，等边三角形的判定，30°，60°，90°角三角形的边长关系，解本题的关键是发现图中的等边三角形，将对角线长度转化为菱形边长.
9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，//OM AB 交AD 于点M ，若3OM =，10BC =，则OB 的长为（ ）
A . 5
B. 4
C. 34
D. 34【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例可得CD =6，由勾股定理可得234AC =OB 的长．
【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB //CD ，AD =BC =10，
∵OM //AB ， ∴OM //CD ， ∴12AO OM AC CD ==， ∵OM =3，
∴CD =6，
在Rt △ADC 中，22234AC AD CD =+=，
∵点O 是斜边AC 上的中点，
∴1342
OB AC ==
故选:D ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD 的长度是本题的关键．
10.如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积为16和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A. 1683-
B. 1283-+
C. 843-
D. 423-
【答案】B
【解析】
【分析】 分别表示出空白矩形的长和宽，列式计算即可．
【详解】解:空白矩形的
12=231612423=-,
∴面积=()
23423=83-12-
故选:B ． 【点睛】本题考查了二次根式的计算，根据题意表示出空白矩形的边长是解题关键．
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11.已知a ＜22(2)a -________．
【答案】2－a
【解析】
∵a ＜2，∴a-2 ＜0，
()22a -＝|a-2|=2-a ，
故答案为2-a.
12.已知()2x y+3+2y=0--，则x+y= ▲ ．
【答案】1．
【解析】 非负数的性质，算术平方根，偶次方，解二元一次方程组．
【分析】根据算术平方根，偶次方的非负数的性质，由()2
x y+3+2y=0--得 x y+3=0{2y=0--，解得x=1{y=2
-．∴x+y=﹣1+2=1． 13.请写出数学命题“勾股定理”的含义，如果__________，那么__________．
【答案】 (1). 直角三角形两条直角边长分别是a ，b ，斜边长是c (2). 222+=a b c
【解析】
【分析】
根据勾股定理的定义，转化为“如果……那么”的形式即可．
【详解】解:根据题意，
如果直角三角形两条直角边长分别是a ，b ，斜边长是c ，那么222+=a b c ；
故答案为:直角三角形两条直角边长分别是a ，b ，斜边长是c ；222+=a b c ；
【点睛】本题考查了勾股定理，以及命题的定义，解题的关键是熟练掌握勾股定理的含义．
14.在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是____(填写一个即可)．
【答案】AC=BD 或四边形ABCD 有1个内角等于90度．
【解析】
【分析】
因为在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定，要使四边形ABCD 成为矩形，添加的一个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．
【详解】∵对角线AC 与BD 互相平分，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
要使四边形ABCD 成为矩形，
需添加一个条件是:AC=BD 或四边形ABCD 有1个内角等于90度．
故答案为:AC=BD 或四边形ABCD 有1个内角等于90度．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定定理:（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直
角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
15.如图，矩形纸片ABCD 中，8AB =，6AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则折痕处G 点与A 点的距离为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质以及翻折图形的性质，可利用等面积法结合图形性质列方程求解．
【详解】由题干矩形ABCD 以及翻折可知:AG A G '=，°'∠GA D=∠GAD=90，BD=10，
经计算得矩形ABCD 面积为48，△ABD 面积为24， ∵112422ABD BGD AGD S S S BD A G AG AD '=+=
••+••=△△△ ∴ 112422
BD AG AG AD ••+••= ∴111062422
AG AG ⨯•+⨯•= 得:AG=3．
【点睛】涉及翻折问题时，需要立即推出对应角等以及对应边等，几何问题求解具体长度时，勾股定理极为常见．
三、解答题:本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.
16.计算:
（1）3212482
（2）1(253)(253)2)2
+
【答案】（1）23
-；（2）19
【解析】
【分析】
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先计算乘除，再计算加减即可．
【详解】解:（1）
3
21248=4363=23
2
---；
（2）
1
(253)(253)(2)=2032=19
2
+-+÷-+．
【点睛】本题考查了二次根式计算，以前学习的运算法则，运算律，运算公式仍然适用．
17.如图所示，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE CF
=.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
【答案】相等，BE AF
⊥，理由见解析
【解析】
【分析】
由DE=CF可得AE=DF，则可得△DAF≌△ABE，然后根据全等三角形的对应角相等可得出BE与AF的关系．
【详解】解:BE=AF，BE⊥AF；
理由:∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，DE=CF，
∴AE=DF，
又∠BAE =∠D =90°，AB =AD ，
∴△BAE ≌△ADF
∴BE =AF ，∠ABE =∠F AD ，
∵∠ABE +∠AEB =90°，
∴∠F AD +∠AEB =90°，
∴BE ⊥AF ．
故BE =AF ，BE ⊥AF ．
【点睛】本题考察了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.
18.如图，E 是ABCD 的边AD 的中点，连接CE 并延长交BA 的延长线于F ，若
63CD =，求BF 的长.
【答案】123【解析】
【分析】
通过证明AEF ≌DEC 得到63AF CD ==BF AB AF =+即可求解．
【详解】解:∵E 是ABCD 的边AD 的中点，
∴AE DE =， ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴63AB CD ==，//AB CD ，
∴F DCE ∠=∠，
在AEF 和DEC 中，F DCE AEF DEC AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AEF ≌DEC ()AAS ，
∴63AF CD == ， ∴123BF AB AF =+=．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及平行四边形的性质，解题的关键是证明AEF ≌DEC ． 19.如图，每个小正方形的边长为1.
（1）求出四边形ABCD 的周长；
（2）求证:90BCD ∠=︒.
【答案】（1）263517++；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理分别求出AB 、BC 、CD 、AD 即可解决问题；
（2）求出BC 、CD 、BD ，利用勾股定理的逆定理即可证明；
【详解】解:（1）由勾股定理得:225126AB =+=，224225BC =+=，22215CD =+=，224117AD =+=，
故四边形ABCD 的周长是:2625517263517+++=
++；
（2）证明:连接BD ，
∵2223425BD =+=，2220525BC CD +=+=
∴222BC CD BD +=
∴BCD ∆是直角三角形，且90BCD ∠=︒；
【点睛】本题考查勾股定理．勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.如图:在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交BC 于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF ．
（1）求证:四边形ABEF 为菱形；
（2）AE ，BF 相交于点O ，若BF ＝6，AB ＝5，求AE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）8．
【解析】
【分析】
（1）先证四边形ABEF 为平行四边形，继而再根据AB=AF ，即可得四边形ABEF 为菱形；
（2）由四边形ABEF 为菱形可得AE ⊥BF ，BO=
12
FB=3，AE=2AO ，在Rt △AOB 中，求出AO 的长即可得答案．
【详解】（1）由尺规作∠BAF 的角平分线的过程可得AB=AF ，∠BAE=∠FAE ，
∵四边形ABCD 是
平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠FAE=∠AEB ，
∴∠BAE=∠AEB ，
∴AB=BE ，
∴BE=FA ， ∴四边形ABEF 为平行四边形，
∵AB=AF ，
∴四边形ABEF 为菱形；
（2）∵四边形ABEF 为菱形，
∴AE ⊥BF ，BO=12FB=3，AE=2AO ，
在Rt △AOB 中，，
∴AE=2AO=8． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21.
母有理化.甲、乙两位同学的做法如下:
甲
===
乙
===（1）你认为甲乙两人的做法（ ）
A ．甲乙两人都对
B ．甲错乙对
C ．甲对乙错
D ．甲乙两人都错
（2）根据你对甲、乙同学解题方法的理解，请你使用一种方法对下面式子进行分母有理化.
化简
【答案】（1）A ；（2【解析】
【分析】
（1）由分母有理化和平方差公式分别进行判断，即可得到答案．
（2）利用分母有理化和平方差公式分别进行计算，即可得到答案．
【详解】解:（1）甲同学利用了分母有理化进行化简，正确；
乙同学利用了平方差公式进行因式分解，然后再约分，化简正确；
故选:A ；
（2
==
22
==== 【点睛】本题考查了分母有理化进行化简，以及平方差公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
22.已知:在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 的中点；过点A 作//AF BC ，交BE 的延长线于
F ，连接CF ．
()1求证:四边形ADCF 是平行四边形；
()2填空:
①当AB AC =时，四边形ADCF 是
______形；
②当90BAC ∠=时，四边形ADCF 是______形.
【答案】（1）见解析；（2）①矩；②菱.
【解析】
【分析】
()1首先利用全等三角形的判定方法得出AEF ≌()DEB AAS ，进而得出AF BD =，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案；
()2①根据矩形的判定定理即可得到结论；②根据菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明://AF BC ，.AFE EBD ∴∠=∠
在AEF 和DEB 中 AFE DBE FEA BED AE DE ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF ∴≌().DEB AAS .AF BD ∴= AF DC ∴=． 又//AF BC ， ∴四边形ADCF 为平行四边形； ()2①当AB AC =时，四边形ADCF 是矩形； ②当90BAC ∠=时，四边形ADCF 是菱形． 故答案为矩，菱．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出AEF≌DEB是解题关键．
23.如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
(1)判断OE与OF的大小关系．并说明理由；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由．
【答案】（1）OE=OF，理由见解析；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF•是矩形，理由见解析．【解析】
【分析】
(1)先判断∠ECF=90°，再利用角平分线，平行线，等腰三角形的关系得到OE=OC，OF=OC；
(2)结合(1)中的结论，利用对角线相等的平行四边形是矩形说明．
【详解】解:(1)OE=OF，理由如下:
∵CE，CF分别是∠ACB和∠ACB外角的平分线，
∴∠ACE=∠BCE=1
2
∠ACB，∠ACF=∠GCF=
1
2
∠ACG.
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=1
2
∠ACB+
1
2
∠ACG=
1
2
(ACB+∠ACG)=
1
2
∠BCG=90°.
∵MN∥BC，∴∠FEC=∠BCE，∴∠FEC=∠ACE，
∴OE=OC
同理OF=OC，所以OE=OF
(2)由(1)得，OC=OE=OF，所以当OA=OC时，对角线AC与EF互相平分且相等，而对角线相等的平行四边形是矩形，
则当点O运动到AC的中点时，四边形AECF•是矩形．。