汽车操纵稳定性的影响因素分析

mul lk r
f
) 2 ω02
+
2mul f ξω0 lk r
⎤ + 1⎥
⎦
1
e −ξω0t
(1 − ξ 2 )
sin(ωt
⎤ + Φ)⎥
⎥⎦
其中，
⎡
⎤
Φ = arctan A1 A2
=
⎢ arctan⎢⎢
⎢− ⎣
− 1−ξ mul f ω0
lk r
2
−
ξ
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
这就是给汽车前轮一个角阶跃输入时，汽车的横摆角速度瞬态响应。横摆角速度最后趋
构参数对 ωr 的影响。显然 ξ < 1 时横摆角速度为
ωr (t)
=
B0δ 0 ω02
+ Ce−ξω0t
sin(ω0
1− ξ 2 t + Φ)
令 ω = ω0 1 − ξ 2 ，上式可写为
ωr (t)
=
B0δ 0 ω02
+ Ce−ξω0t
sin(ωt
+ Φ)
或ωr (t)
=
B0δ 0 ω02
+
A1e −ξω0t
这是一个二阶常系数非齐次微分方程，其通解等于它的一个特解与对应的齐次微分方程 的通解之和。显然其特解为
ωr
=
B0δ 0 ω02
=
u 1
= ωr δ
⎟⎞ ⎠
s
δ
0
即为稳态横摆角速度 ωr0
=
ωr δ
⎟⎞ δ ⎠s
。
0
对应的齐次方程式为
ωr
+ 2ω0ξω r
+
ω
ω2
0r
=0
齐次方程的通解为
.ξ > 1 称为大阻尼，当车速超过临界车速后， ωr 是发散的，趋于无穷大，此时汽车失
去稳定性。 ξ = 1，称为临界阻尼，横摆角速度 ωr 也是单调上升且趋进于 ωr0 。 ξ < 1 ，称
为小阻尼，横摆角速度 ωr 是一条收敛于 ωr0 减幅正弦曲线。由于正常的汽车都具有小阻尼
的瞬态响应，所以只讨论在角阶跃输入后，ξ < 1 时的横摆角速度 ωr 的变化规律，并讨论结
进于稳态横摆角速度 ωr0 ；当时间 t 在零与无穷大之间时， ωr 是衰减正弦函数。
二、二自由度操纵稳定性分析 1）选取车辆参数 这里选取某小型车进行角阶跃输入情况下响应的分析，该车的有关参数如下表所示：
参数名称
符号
量纲
参数值
整车质量
m
kg
1150
车轮半径
r
m
0.287
质心至前轴距
lf
m
1.4
质心至后轴距
图线如下：
后轮安装不同轮胎时角速度瞬态响应
可见，增加轮胎的侧偏刚度（子午线胎的侧偏刚度大于标准轮胎）可以减小横摆角速度 的峰值响应时间和稳定时间，但会增加一定的超调量。
sin(ωt
⎤ + Φ)⎥
⎥⎦
据此可求出相应的 ωr / ωr0 的表达式。
3）各因素对汽车操纵稳定性的影响 （1）不同速度下的特性 将输出的横摆角速度和稳态横摆角速度比较可以得到两者比值随时间变化的曲线，即汽 车的瞬态响应曲线。这里分别选取初始车速为 30km/h，60km/h 和 100km/h。 图线如下：
ωr0 (rad / s) 、ω0 (rad / s) 、ξ 、ω(rad / s) 和 Φ(°) 值。
将上述参数值代入 ωr 的表达式
ωr
(t)
=
ωr δ
⎟⎞ ⎠
s
δ
0
⎡ ⎢1 + ⎢⎣
⎡ ⎢(− ⎣
mul lk r
f
)
2
ω
2 0
+
2mul f ξω0 lk r
⎤ + 1⎥
⎦
1
e −ξω0t
(1 − ξ 2 )
ξ < 1,ωr = Ce−ξω0t sin(ω0 1 − ξ 2 t + Φ) ξ = 1, ωr = (C1 + C2t)e−ω0t
⎫ ⎪⎪ ⎬
ξ ω > 1,
⎪ (−ξω0 +ω0 ξ 2 −1)t
(−ξω0 −ω0 ξ 2 −1)t
= C e + C e ⎪⎭ r
3
4
其中， C、Φ、C1、C2、C3、C4 均为积分常数，可以根据运动的初始条件来确定。
cosωt
+
A2 e −ξω0t
sin ωt
下面确定积分常数 C、A1、A2 。
运动的起始条件为：t = 0 时，ωr = 0 ； v = 0 ，δ = δ 0 。另外，还可以求得 t = 0 时，
ω r = B1δ 0 。
综上，可推导出：
ωr
(t)
=
ωr δ
⎟⎞ ⎠
s
δ
0
⎡ ⎢1 + ⎢⎣
⎡ ⎢(− ⎣
（请补上横纵轴变量及量纲，背景不要为黑） 由图可见，随速度的增加，超调量增加，反应时间减少，但瞬态响应的稳定时间也相应 增加。 （2）不同轮胎对应的特性 根据该模型，还可分析具有不同侧偏特性的轮胎对瞬态特性的影响。 取 u=30km/h，
曲线 1 k f = 29500N / rad ， kr = 30000N / rad ； 曲线 2 k f = 29500N / rad kr = 45000N / rad 。
1.5863 × 108
c
mu(l f k f
−l
r
kr
)
+
l
2k f u
kr
7.8264 ×105 u + 1.0603×1010 u
ω0
c m′
ξ
h 2ω 0 m′
1.3243
+
1.7942 × u2
10
4
134.21 17942 + 1.3243u 2
ω
ω0 1− ξ 2
1.3243u 2 + 70.324 u
其中：
ω02
=
c m′
， ω0 称为固有圆频率；
ξ = h ，ξ 称为阻尼比； 2ω 0 m′
B1
=
b1 m′
； B0
=
b0 m′
汽车前轮角阶跃输入时，前轮转角的数学表达式为
t < 0,δ = 0 ⎫
t
≥
0,δ
=
δ
0
⎪ ⎬
t
> 0,δ = 0
⎪ ⎭
故当 t > 0 后，上式可进一步简化为
ωr + 2ω0ξω r + ω02ωr = B0δ 0
⎡
⎤
Φ
⎢ arctan ⎢⎢
⎢− ⎣
− 1−ξ mul f ω0
lk r
2
−
ξ
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ 1.3243u 2 + 70.324 ⎤
arctan⎢
⎥
⎢⎣
0.1301
⎥⎦
取不同的 u 值，分别令 u = 30km / h ， u = 60km / h ， u = 100km / h ，求出相应的
汽车操纵稳定性的影响因素分析
同济大学汽车学院 周莺莺 052071
一、汽车操纵稳定性的瞬态响应 用横摆角速度表示。
设系统的输入 δ 为阶跃形式，根据二自由度的汽车运动微分方程，可以写成以 ωr 为变
量的形式，通常写作
m′ωr + hω r + cωr = b1δ + b0δ
其中：
m′ = muI z
h = −[m(l f 2k f + lr 2kr ) + I Z (k f + kr )]
c = mu(l f k f
−l
r
kr
)
+
l
2k f u
kr
b1 = −mul f k f
b0 = lk f kr
上式为单自由度一般强迫振动微分方程式，通常写作
ωr + 2ω0ξω r + ω02ωr = B1δ + B0δ
lr
m
1.26
前轮侧偏刚度
kf
N / rad
18500
后轮侧偏刚度
kr
N / rad
22500
绕 z 轴转动惯量
Iz
kg ⋅ m2
1850
( ) 由上，稳定性因数 K = −9.5664 ×10−4 s 2 / m2 。
输入 δ 可以是任意的确定函数，因为这里考虑的是角阶跃输入，所以取：
δ
=
⎧1, (t ≥ 0) ⎩⎨0, (t < 0)
根据以上数据可对该二自由度模型进行分析，以得出各种因素对汽车操纵稳定性的影
响。
2）确定所需参数值 参数
表达式
参数值
ωr0
u 1+
/L Ku
2
δ
0
u
( ) 9.576 1 − 7.3815 ×10−5 u 2
m′
muI z
5.9097 ×105 u
h
− [m(l f 2k f + lr 2kr ) + I Z (k f + kr )]