高中数学：圆锥曲线椭圆的性质及其应用教案苏教版选修1

第四讲 椭圆
教学目标：理解椭圆的概念；掌握椭圆的标准方程；理解椭圆的性质
教学重点：椭圆概念的理解；椭圆标准方程的求解；椭圆离心率等性质的掌握 教学难点：标准方程的求解；椭圆性质的应用 教学过程：
一、知识要点： 1、椭圆的概念：“一动两定〞到两个定点的距离和等于定长的动点轨迹〔定长大于定点距离〕
2、椭圆的标准方程：焦点在x 轴22
a x ＋22b
y ＝1〔a ＞b ＞0〕在y 轴22y a ＋2
2x b ＝1〔a ＞b ＞0〕
二、基础自测
1、F 1F 、2是椭圆162x +9
2
y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，那么△MNF 2的周长为
___________。

2、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值X 围是___________。

3、椭圆中心在原点，一个焦点为F 〔-0〕，且长轴长是短轴长的2倍，那么该椭圆的标准方程为____________
4、点P 在椭圆252x +9
2y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P 的横坐标是
___________。

5、椭圆4
2x +y 2
=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，那么|2PF |
等于___________。

6、椭圆标准方程为162x +2
y
k
=1，那么其离心率=__________,渐近线为___________
三、例题精讲
题型一、概念，基本量
例1、〔2009〕椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，假设1||4PF =，那么2||PF =；12F PF ∠的大小为.
[解析]此题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本
运算的考查. ∵2
2
9,3a b ==，
∴22927c a b =-=-=， ∴1227F F =，
又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，
又由余弦定理，得()
2
22
122427
1
cos 224
2
F PF +-∠=
=-⨯⨯，
∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒
.
例2、设F 1，F 2是椭圆22
194
x y +=大的两个焦点，P 为椭圆上一点，P ，F 1，F 2是一个直角三角形的顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求
12||||
PF PF 的值
题型二、求椭圆方程
例3、(1)椭圆中心在原点，长轴是短轴的3倍，并且过点P 〔3，0〕，求椭圆的方程 〔2〕椭圆的中心在原点，且经过点12(6,1);(3,2)P P --,求椭圆方程，
例4、〔2009某某卷理〕巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x
轴上，离心率为2
，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆G 的方程为．
解析：23=e ，122=a ，6=a ，3=b ，那么所求椭圆方程为
19
362
2=+y x . 变式：假设椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的距离的最小值为3
题型三：性质及其应用
例5．F 1，F 2F 1，当 〔1〕PO ∥AB 〔O
例6、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且120PF PF = 试求该椭圆的
离心率e 的取值X 围。

例7、椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，
(3,1)OA OB +=-与a 共线，求椭圆的离心率。

解：设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 〔c ，0〕，那么直线AB 的方程为y=x-c
带入椭圆，化简得2
2
2
2
22
22
()20a b x a cx a c a b +-+-=，令1122(,),(,),A x y B x y 那么
22222
12122222
2,a c a c a b x x x x a b a b -+=⋅=++则，由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a +=++=- (3,1)OA OB +=-与a 共线，得12123()()0y y x x +++=，又1122,y x c y x c =-=-
所以12121233(2)()0,2
c x x c x x x x +-++=∴+=即22223,2a c c c a b =∴==+题型四：向量直线与椭圆
例8、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右两个焦点为F 1，F 2，A 是椭圆上一点位于第一象限内的点，点B
也在椭圆上，且满足0OA OB +=〔O 为坐标原点〕，2120AF F F =， 〔1〕求直线AB 的方程；
〔2〕假设三角形ABF 2的面积等于
解析：〔1〕由题意，直线过原点，由离心率以及垂直易得221
,22
c a b a =
=，所以椭圆方程为
2222x y a +=；设A 〔x ，y 〕，由2120AF F F =得x=c 将A 代入椭圆得1
2
y a =
1(,)22A a a ∴
可求直线斜率为
2。

〔2〕连接1122,,,,AF BF AF BF 由椭圆的对称性可知
2
1
12
11
,c a 22
ABF ABF AF F S
S
S
==⋅⋅=所以又由c =，解得a 2=16,b 2=8. 例9、设,x y R ∈,,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量,假设向量
(2)a xi y j =++,(2)b xi y j =+-,且||||8a b +=.
〔1〕求点(,)M x y 的轨迹C 的方程;
〔2〕过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于,A B 两点,设OP OA OB =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形
OAPB 是矩形?假设存在,求出直线l 的方程;假设不存在,试说明理由.
解析：〔1〕由||||8a b +=,84=>,设12(0,2),(0,2)F F -那么动点M 满
足1212||||84||MF MF F F +=>=,所以点M 在椭圆上,
且椭圆的4,2,a c b ===所以轨迹C 的
方程为
22
11612
y x +=. 〔2〕设直线的斜率为k ,那么直线方程为3y kx =+,联立方程组22311612
y kx y x =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y
得:22(43)18210k x kx ++-=,22
(18)84(43)0k k ∆=++>恒成立,设1122(,),(,)A x y B x y ,那
么121222
1821
,4343k x x x x k k
+=-
=++.由AP OB =,所以四边形OAPB l ,使四边形OAPB 为矩形,那么OA OB ⊥,即212121212(1)3()90OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++=,
解得4
k =±
,所以直线l
的方程为34
y x =±
+,此时四边形OAPB 为矩形. 选、点,A B 分别是椭圆
22
13620
x y +=长轴的左、右端点,点F P 在椭圆上,且位于x 轴的上方,PA PF ⊥. 〔1〕求点P 的坐标;
〔2〕设M 椭圆长轴AB 上的一点, M 到直线AP 的距离等于||MB ,求椭圆上的点到点M 的距离d 的
最小值.
解析：〔1〕由可得点(6,0),(0,4)A F -, 设点(,)P x y ,那么(6,)AP x y =+,(4,)FP x y =-,由可得
22
213620(6)(4)0x y x x y ⎧+
=⎪⎨
⎪+-+=⎩
.那么2
29180x x +-=解得3,62x x =
=-或.由于0y >,只能3
,2
x =
于是2y =
所以点P
的坐标是3(,
22
. 〔2〕直线AP
的方程是60x +=.设点(,0)M m ,那么M 到直线AP 的距离是
2
6
+m . 于是
6
|6|2
m m +=-,又66m -≤≤,解得2m =. 椭圆上的点(,)x y 到点M 的距离d 有222225(2)44209d x y x x x =-+=-++-249()1592x =-+,由于66x -≤≤,所以当9
2
x =
时,d
四、能力提高
1、假设椭圆的两焦点为〔－2，0〕和〔2，0〕，且椭圆过点)2
3,2
5(-，那么椭圆方程是___________。

2、设定点F 1〔0，－3〕、F 2〔0，
3〕，动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，那么点P 的轨迹是___________。

3、椭圆12222=+b y a x 和k b
y a x =+22
22()0>k 具有相同的___________。

4、假设椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，那么这个椭圆的离心率为___________。

5、P 是椭圆136
1002
2=+y x 上的一点，假设P 到椭圆右准线的距离是217，那么点P 到左焦点的距离是
6、离心率21
=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为。

7、与椭圆4 x 2
+ 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________。

8、椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，那么椭圆Ｅ的离心率等于。

9、一动圆与圆O 1223)1x y ++=（外切，与圆O 222
(3)81x y -+=内切，试求动圆圆心的轨迹方程
10、椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程。

11、P 是椭圆2
214
x y +=上的点，F 1，F 2为椭圆的左，右焦点，∠F 1PF 2=60o 求△F 1PF 2的面积 12、F 1，F 2为椭圆的左，右焦点， P 为椭圆上的点，∠F 1PF 2=60o ，
求离心率e 的取值X 围。