课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性

课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性
(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)和(0，＋∞)
D ．R
2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
3．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫
12，c ＝f (3)，则( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <c <a
4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3]
D ．[3，＋∞)
5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．
6．(2014·河南省三市调研)若函数f (x )＝13x 3－3
2x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实
数a 的值为________．
7．(2014·武汉武昌区联考)已知函数f (x )＝ln x ＋k
e x
(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲
线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．
(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．
8．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .
(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．
第Ⅱ卷：提能增分卷
1．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．
2．(2014·深圳第一次调研)已知函数f(x)＝a x＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．
(1)试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点．
3．(2014·石家庄质检)已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若A，B是函数f(x)图像上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．
答案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋e
x >0，故单调增区间是(0，＋∞)．
2．选D ∵f (x )＝(x －3)·e x ， f ′(x )＝e x (x －2)>0，∴x >2. ∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．
3．选C 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<1
2<1，
因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫
12，
即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫
12，c <a <b .
4．选D f ′(x )＝2x ＋a －1
x 2，因为函数在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，所以f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，设g (x )＝1x 2－2x ，g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2
x 3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )<0，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4－1＝3，所以a ≥3，故选D.
5．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增
6．解析：∵f (x )＝13x 3－3
2
x 2＋ax ＋4，
∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.
答案：－4
7．解：(1)由题意得f ′(x )＝1
x
－ln x －k e x ，
又f ′(1)＝1－k
e ＝0，故k ＝1.
(2)由(1)知，f ′(x )＝1
x
－ln x －1e x
.
设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1
x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．
由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.
综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 8．解：(1)对f (x )求导， 得f ′(x )＝3x 2－2ax －3.
由f ′(x )≥0，得a ≤3
2⎝⎛⎭
⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝⎛⎭⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，∴t (x )min ＝3
2(1－1)＝0.∴a ≤0. (2)由题意，得f ′(3)＝0， 即27－6a －3＝0，
∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ， f ′(x )＝3x 2－8x －3.
令f ′(x )＝0，得x 1＝－1
3
，x 2＝3.
当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： ∴f (x )的单调递增区间为⎝⎦⎤－∞，－13，[3，＋∞)，f (x )的单调递减区间为⎣⎦－1
3，3. 第Ⅱ组：重点选做题
1．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ， ∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0， ∵e x >0，∴－x 2＋2>0， 解得－2<x <2，
∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)． (2)若函数f (x )在R 上单调递减， 则f ′(x )≤0对任意x ∈R 都成立．
即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对任意x ∈R 都成立． ∵e x >0，
∴x 2－(a －2)x －a ≥0对任意x ∈R 都成立． ∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0， 即a 2＋4≤0，这是不可能的． 故函数f (x )不可能在R 上单调递减． 若函数f (x )在R 上单调递增， 则f ′(x )≥0对任意x ∈R 都成立，
即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对任意x ∈R 都成立．
∵e x >0，
∴x 2－(a －2)x －a ≤0对任意x ∈R 都成立． 而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4>0， 故函数f (x )不可能在R 上单调递增． 综上可知函数f (x )不是R 上的单调函数．
2．解：(1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a . ∵a >1，∴当x ∈(0，＋∞)时， ln a >0，a x －1>0，∴f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)∵f (x )＝e x ＋x 2－x －4，
∴f ′(x )＝e x ＋2x －1，∴f ′(0)＝0， 当x >0时，e x >1，∴f ′(x )>0， ∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数； 同理，f (x )是(－∞，0)上的减函数． 又f (0)＝－3<0，f (1)＝e －4<0， f (2)＝e 2－2>0，当x >2时，f (x )>0， ∴当x >0时，函数f (x )的零点在(1,2)内， ∴k ＝1满足条件；
f (0)＝－3<0，f (－1)＝1
e －2<0，
f (－2)＝1
e 2＋2>0，
当x <－2时，f (x )>0，
∴当x <0时，函数f (x )的零点在(－2，－1)内，∴k ＝－2满足条件． 综上所述，k ＝1或－2.
3．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1
x ＋2mx ＝1＋2mx 2x .
当m ≥0时，f ′(x )>0， f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m <0时，由f ′(x )＝0得x ＝ －1
2m
. 当x ∈⎝
⎛⎭
⎫
0，
－12m 时，f ′(x )>0， f (x )在⎝
⎛⎭
⎫
0，
－12m 上单调递增；
当x ∈⎝⎛
⎭⎫－12m ，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在 ⎝
⎛
⎭
⎫－12m ，＋∞上单调递减． 综上所述，当m ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当m <0时，f (x )在⎝
⎛⎭⎫
0，
－12m 上单调递增，在⎝⎛⎭
⎫－12m ，＋∞上单调递减．
(2)依题意，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，不妨设a >b >0， 则k AB ＝
f (a )－f (b )
a －b
>1恒成立， 即f (a )－f (b )>a －b 恒成立， 即f (a )－a >f (b )－b 恒成立， 令g (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx 2－x ， 则g (x )在(0，＋∞)上为增函数，
所以g ′(x )＝1
x ＋2mx －1＝2mx 2－x ＋1x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，
所以2mx 2－x ＋1≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，
即2m ≥－1x 2＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －122＋14对x ∈(0，＋∞)恒成立，因此m ≥1
8. 故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫18，＋∞.。